2022年中考数学专题复习之二待定系数法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【20XX 年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨在数学问题中, 如得知所求结果具有某种确定的形式,就可设定一些尚待确定的系数或参数 来表示这样的结果,这些待确定的系数或参数 ,称作待定系数；然后依据已知条件,选用恰当的方法,来确定这些系数,这种解决问题的方法叫待定系数法；待定系数法是数学中的基本方法之一；它渗透于中学数学教材的各个部分,在全国各地中考中有着广泛应用；应用待定系数法解题以多项式的恒等学问为理论基础,通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；排除待定系数法；比较系数法：通过比较等式两端项的系数而得到方程（组）

2、,从而使问题获解；例如：“ 已知 x 2 3=（1 A）x 2 Bx C,求 A , B,C 的值” ,解答此题,并不困难,只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后,就可得到 A ,B,C 的值；这里的 A ,B,C就是有待于确定的系数；代入特殊值法：通过代入特殊值而得到方程（组）,从而使问题获解；例如：“ 点（ 2, 3）在正比例函数图象上,求此正比例函数”,解答此题,只需设定正比例函数为 y=kx ,将（ 2, 3）代入即可得到 k 的值,从而求得正比例函数解析式；这里的 k 就是有待于确定的系数；排除待定系数法：通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获,解；例

3、如：“ 已知b a2,求a ab的值” ,解答此题, 只需设定b a2 =k 3,就 a=3k,b=2k3b代入a ab即可求解；这里的k 就是排除的待定参数；b应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）依据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数,从而使问题得到解决；在中学阶段和中考中应用待定系数法解题经常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面；下面通过 中考的实例探讨其应用；20XX 年和 20XX 年全国各地一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用

4、待定系数法解有关代数式变型的问题中, 依据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组）,解出方程 （组）即可求得答案；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典型例题：例：（2022 云南玉溪3 分） 如x26xk 是完全平方式,就k =【】A 9 B 9 C9 D 3 【考点】 待定系数法思想的应用；练习题：1.（2022 江苏南通3 分） 已知 x2 16xk 是完全平方式,就常数k 等于【】；A64 B48 C 32 D16 2.（2022 贵州黔东南4 分）二次三项式x2 kx+9

5、 是一个完全平方式, 就 k 的值是 3.（2022 江苏连云港3 分） 运算x2 2 的结果为 x 2x4,就 “ ”中的数为【】A 2 B2 C 4 D4 4.（2022 湖北荆州 3 分） 将代数式x24x1化成xp2q 的形式为【】A.x223B.x224C.x225D.x424二.待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中,已知一比例式求另一分式的值,可设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求分式,从而使问题获解；典型例题：例：（2022 四川凉山4 分） 已知b a5 13,就ab的值是【】abA2 3B3 2C9 4D4 9【考点】 比例的性质；练习题：1.（2022

6、北京市 5 分） 已知a 2=b0,求代数式5a2b2ba2 的值；3a+2ba2.（2022 四川巴中 3 分） 如ab2,就b a= ；2a3三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中,除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外仍可应用待定系数法求解,特殊对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x36x2+11x6,3x25xy2y2x9y4 ,目前这类考题很少,但不失为一种有效的解题方法）；典型例题：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料x欢迎下载 ；例 1：（2022

7、 湖北黄石 3 分） 分解因式：x22 【考点】 因式分解；例 2：分解因式：3x25xy2y2x9y4 ；【考点】 因式分解；练习题：21. （2022 四川南充 3 分） 分解因式：x 4x 12 = ；2.（2022 山东潍坊 3 分） 分解因式： x3 4x 212x= ；3. （2022 贵州黔东南 4 分） 分解因式：x 2 2 x 8；四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法, 求函数解析式是中学阶段待定系数法的一个主要用途；确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数与常数, 我们经常先设它们为未知数,依据点在曲线上,点的坐标满意方程

8、的关系,将已知的条件代入方程,求出待定的系数与常数；这是平面解析几何的重要内容, 是求曲线方程的有效方法；中学阶段主要有正比例函数、一次函数、 反比例函数、二次函数这几类函数,前面三种分别可设 y=kx ,y=kx+b ,y k 的形式 其中 k、b 为待定系x数,且 k 0；而二次函数可以依据题目所给条件的不同,设成一般式 y=ax 2+bx+ca 、b、c为待定系数 ,顶点式 y=a x h 2+ka、k、h 为待定系数 ,交点式 y=a x x 1x x 2 a 、x 1、x2为待定系数 三类形式； 依据题意 可以是语句形式, 也可以是图象形式 ,确定出 a、b、c、k、x1、x2 等待

9、定系数,求出函数解析式；典型例题：例 1：（2022 江苏南通 3 分） 无论 a 取什么实数,点 是直线 l 上的点,就 2mn32 的值等于 Pa1,2a3都在直线 l 上, Qm,n【考点】 待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值；例 2：（2022 山东聊城 7 分） 如图,直线AB 与 x 轴交于点 A（ 1,0）,与 y 轴交于点B（ 0, 2）（1）求直线 AB 的解析式；（2）如直线 AB 上的点 C 在第一象限,且S BOC=2,求点 C 的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀

10、学习资料 欢迎下载【考点】 待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系；【分析】（1）设直线 AB 的解析式为y=kx+b ,将点 A（1,0）、点 B（0, 2）分别代入解析式即可组成方程组,从而得到 AB 的解析式；（2）设点 C 的坐标为 （x,y）,依据三角形面积公式以及 再代入直线即可求出 y 的值,从而得到其坐标；S BOC=2 求出 C 的横坐标,例 3：（2022 湖南岳阳 8 分） 游泳池常需进行换水清洗,图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程 “排水 清洗 灌水”中水量 y（ m3）与时间 t（min ）之间的函数关系式（1）依据图中供应的信息,求整个换水清洗过程水量 y（m3）

11、与时间 t（min）的函数解析 式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【考点】 一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系；【分析】（1）依据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式,以及清洗阶段：y=0 和灌水阶段解析式即可；（2）依据（ 1）中所求解析式,即可得出图象与x 轴交点坐标,即可得出答案；例 4：（2022 湖南娄底 3 分）已知反比例函数的图象经过点（1,2）,就它的解析式是 【】 A y1By2Cy2Dy12xxxx【答案】 B；【考点】 待定系数法求反比例函数解析式,曲线上点的坐标与方程的关系；名师归纳总结 例 5：（2022 江苏连云港12 分

12、）如图,抛物线y x2bx c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轴交于点 C,点 O 为坐标原点,点优秀学习资料欢迎下载E 在抛物线上,点F 在 x 轴上,D 为抛物线的顶点,点四边形 OCEF 为矩形,且 OF2, EF3,1 求抛物线所对应的函数解析式；2 求 ABD 的面积；3 将 AOC 绕点 C 逆时针旋转90,点 A 对应点为点G,问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由例 6：（2022 江苏无锡2 分）如抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2,1）,且经过点 B（1,0）

13、,就抛物线的函数关系式为 【答案】 y= x2+4x 3；【考点】 待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系；例 7：（2022 浙江宁波 12 分） 如图,二次函数y=ax2 +bx+c 的图象交 x 轴于 A（ 1,0）,B（2,0）,交 y 轴于 C（0, 2）,过 A,C 画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上,且PA=PC,求 OP 的长；AC 相切,切点为H（3）点 M 在二次函数图象上,以M 为圆心的圆与直线如 M 在 y 轴右侧,且CHM AOC （点 C 与点 A 对应）,求点 M 的坐标；名师归纳总结 如 M 的半径为4 55,求点 M 的坐标第 5

14、 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【考点】 二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,相像三角形的判定和性质,解一元二次方程；【分析】（1）依据与 x 轴的两个交点 A、B 的坐标,故设出交点式解析式,然后把点 C 的坐标代入运算求出 a 的值,即可得到二次函数解析式；（2）设 OP=x,然后表示出 PC、PA 的长度,在 Rt POC 中,利用勾股定理列式,然后解方程即可；（3）依据相像三角形对应角相等可得MCH= CAO ,然后分（ i）点 H 在点 C下方时,利用同

15、位角相等,两直线平行判定 CM x 轴,从而得到点 M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同,是-2,代入抛物线解析式运算即可；（ii ）点 H 在点 C 上方时,依据（ 2）的结论,点 M 为直线 PC 与抛物线的另一交点,求出直线 求解即可得到点 M 的坐标；PC 的解析式,与抛物线的解析式联立在 x 轴上取一点 D,过点 D 作 DEAC 于点 E,可以证明AED 和 AOC相像,依据相像三角形对应边成比例列式求解即可得到 AD 的长度,然后分点 D 在点 A 的左边与右边两种情形求出 OD 的长度,从而得到点 D 的坐标,再作直线 DM AC ,然后求出直线 DM 的解析式,与抛物线解析式联

16、立求解即可得到点 M 的坐标；练习题：1. （ 2022 上海市 10 分）某工厂生产一种产品,当生产数量至少为 10 吨,但不超过 50 吨时,每吨的成本 y（万元 /吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如下列图（1）求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280 万元时,求该产品的生产数量（注：总成本 =每吨的成本 生产数量）2. （2022 山东菏泽7 分） 如图,一次函数y=2x2的图象分别与x 轴、 y 轴交于点 A、3B,以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 析式Rt ABC , BAC=90 求过 B、C 两点直线的解名师归纳总结 - -

17、- - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.（2022 甘肃兰州优秀学习资料欢迎下载xm 成反比例,已知400 度近4 分） 近视眼镜的度数y度与镜片焦距视眼镜镜片的焦距为0.25m,就 y 与 x 的函数关系式为【】y=ax2bxc 的解Ay=400By=1Cy=100Dy=1x4xx400x4.（2022 广东佛山8 分） 1任选以下三个条件中的一个,求二次函数析式； y 随 x 变化的部分数值规律如下表：x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 有序数对（1,0）,（1,4）,（3,0）满意 y=ax 2bxc；已知函数 y=ax

18、 2bxc 的图象的一部分（如图）2直接写出二次函数 y=ax 2bxc 的三个性质5.（2022 山东莱芜12 分） 如图,顶点坐标为2, 1的抛物线 yax2bxca 0与 y 轴交于点 C0,3,与 x 轴交于 A、B 两点1求抛物线的表达式；2设抛物线的对称轴与直线BC 交于点 D,连接 AC 、AD ,求 ACD 的面积；3点 E 为直线 BC 上一动点,过点E 作 y 轴的平行线EF,与抛物线交于点F问是否存在点 E,使名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得以 D、E、F 为顶点的三角形与优秀学习资料欢迎

19、下载E 的坐标；如不存在,请说明BCO 相像？如存在,求点理由6. （2022 山东潍坊 11 分） 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A 2,O、B2,0、C0,l 三点,过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M 、N 两点分别过点C、 D0, 2作平行于 x 轴的直线1l 、2l 1求抛物线对应二次函数的解析式；2求证以 ON 为直径的圆与直线1l 相切；2l的距离之和等于线段MN3求线段 MN 的长 用 k 表示 ,并证明M 、N 两点到直线的长五.待定系数法在求解规律性问题中的应用：近几年中考数学中常会显现一种名师归纳总结 查找规律的题型, 其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶

20、等差数列,由于中学没有第 8 页,共 16 页学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项,因此中考同学在确定数列的通项时有肯定的困难；对于等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d其中 a1为首项, d 为公差, n 为正整数 ,如将 n 看成自变量,an 看成函数,就an 是关于 n 的一次函数；如一列数 a1,a2, an 满意anan 1knb其中 k,b 为常数 ,就这列数是二阶等差数列,即每一后项减去前项得到一新的数列,这一新数列是等差数列；它的通项anan2bnc 是关于n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载

21、的二次函数；前面,我们讲过用待定系数法确定函数解析式,由于数列是特殊的函数,因此 我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项；典型例题：例 1：（2022 湖北孝感 3 分） 20XX 年北京胜利举办了一届举世瞩目的奥运会,今年的奥运 会将在英国伦敦 举办,奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896 1900 1904 2022 届数1 2 3 n 表中 n 的值等于 ,待定系数法；【考点】 分类归纳（数字的变化类）例 2：（2022 山西省 3 分） 如图,是由外形相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,就第n 个图案中阴影小三角形的个数是 【考点】 分类归纳（图形的

22、变化类）,待定系数法；例 3：（2022 湖南永州 3 分） 我们把依据肯定次序排列的一列数称为数列,如 1,3,9,19,33, 就是一个数列,假如一个数列从其次个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差如 2,4,6,8,10 就是一个等差数列,它的公差为2假如一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,就称这个数列为二阶等差数列例如数列 1,3,9,19,33, ,它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 2,6,10,14, ,这是一个公差为 4 的等差数列,所以,数列 1,3, 9,19, 33, 是一个二

23、阶等差数列那么,请问二阶等差数列 1,3,7,13, 的第五个数应是 【答案】 21；【考点】 新定义,分类归纳（数字的变化类）,待定系数法；练习题：1. （2022 山东济宁 6 分） 问题情境：用同样大小的黑色棋子按如下列图的规律摆放,就第2022 个图共有多少枚棋子？名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨,详细步骤：第一步,确定变量；其次步：在直角坐 标系中画出函数图象；第三步：依据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某 一点代入验证,如

24、成立,就用这个关系式去求解解决问题：依据以上步骤,请你解答“问题情境 ” 2.（2022 江苏宿迁 3 分） 依据如下列图的方法排列黑色小正方形地砖,就第 14 个图案中黑 色小正方形地砖的块数是 . 3.（2022 广西桂林 3 分） 下图是在正方形网格中按规律填成的阴影,依据此规律,就第 n 个图中阴影部名师归纳总结 分小正方形的个数是 第 10 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4.（2022 青海省 2 分） 观看以下一组图形：它们是按肯定规律排列的,依照此规律,第n 个图形中共有 个5.（2022 浙江宁

25、波 6 分） 用同样大小的黑色棋子按如下列图的规律摆放：（1）第 5 个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有 2022 颗黑色棋子？请说明理由六. 待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中,常有一些比例问题（如 相像三角形对应边成比例,平行线截线段成比例,锐角三角函数等）,对于这类问题应用消 除待定系数法,通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解；典型例题：例 1：（2022 江苏南京2 分） 如图,菱形纸片ABCD 中, A=600,将纸片折叠,点A 、D】分别落在 A 、D 处,且 AD经过 B,EF 为折痕,当DFCD 时,CF FD的值为【A. 31B. 3C

26、. 2 3 61D. 31268名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【考点】 翻折变换（折叠问题）,菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值；例 2：（2022 江苏扬州3 分）如图, 将矩形 ABCD 沿 CE 折叠, 点 B 恰好落在边AD 的 F 处,假如AB BC2,那么 tanDCF 的值是3【答案】5；2例 3：（2022 贵州铜仁 10 分） 如图,定义：在直角三角形ABC 中,锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切,记作角 ctan ,即 ctan

27、 =角的邻边AC,依据上述角的余切定义,解的对边BC以下问题：（1）ctan30 = ；B、C 不（2）如图,已知tanA=3 ,其中 A 为锐角,试求 4ctanA 的值例 4：（2022 江苏镇江11 分） 等边 ABC 的边长为 2,P 是 BC 边上的任一点（与重合）,连接 AP,以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边APE,分别与边AB 、AC 交于点 M 、N（如图 1）；（1）求证： AM=AN ；（2）设 BP=x；如, BM=3 8,求 x 的值；S,求 S 与 x 之间的函数关系式以及S 的最记四边形ADPE 与 ABC 重叠部分的面积为小值；连接 DE,分别与边AB 、

28、AC 交于点 G、H（如图 2）,当 x 取何值时, BAD=150？并判断此时以 DG 、GH 、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解得 x=1 2或 x=3 2；当 x=1 时, S 的最小值为3 3；4当 BP=2 3 2 时, BAD=15 0；猜想：以 DG 、GH、 HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形；【考点】 等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相像三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,

29、特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理；练习题：1.（2022 江苏连云港 3分）小明在学习 “锐角三角函数 ” 中发觉,将如下列图的矩形纸片 ABCD沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 上的点 E 处,仍原后,再沿过点 E 的直线折叠,使点 A 落在 BC 上的点 F 处,这样就可以求出 67.5 角的正切值是【】A3 1 B2 1 C2.5 D52.（2022 广西河池 3 分） 如图,在矩形ABCD 中,AD AB ,将矩形 ABCD 折叠,使点 C与点 A 重合,名师归纳总结 折痕为 MN ,连结 CN 如 CDN 的面积与CMN 的面积比为1

30、4,就MN的值为【】第 13 页,共 16 页BM- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 2 B4 优秀学习资料欢迎下载D 2 6C 2 53.（2022 广西柳州10 分） 如图, AB 是 O 的直径, AC 是弦（1）请你按下面步骤画图（画图或作帮助线时先使用铅笔画出,确定后必需使用黑色字迹的签字笔描黑） ；第一步,过点 A 作 BAC 的角平分线,交O 于点 D；其次步,过点 D 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 E第三步,连接 BD （2）求证： AD 2=AE.AB ；（3）连接 EO,交 AD 于点 F,如 5AC=3AB ,求EO

31、 的值FO4. （2022 黑龙江哈尔滨 10 分）已知： 在 ABC 中, ACB=900 ,点 P 是线段 AC 上一点,过点 A 作 AB 的垂线,交 BP 的延长线于点（1）如图 l,求证： PC=AN ；（2） 如图 2,点 E 是 MN 上一点,连接M ,MN AC 于点 N,PQAB 于点 Q,A0=MN EP 并延长交 BC 于点 K ,点 D 是 AB 上一点,连接 DK ,DKE= ABC ,EFPM 于点 H,交 BC 延长线于点 F,如 NP=2,PC=3,CK： CF=2：3,求 DQ 的长名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料

32、 - - - - - - - - - 5.（2022 四川泸州优秀学习资料欢迎下载9 分） 如图,ABC 内接于 O,AB 是 O 的直径, C 是的弧 AD 中点,弦 CEAB 于点 H,连结 AD ,分别交 CE、 BC 于点 P、Q,连结 BD；1求证： P 是线段 AQ 的中点；2如 O 的半径为 5,AQ=15 2,求弦 CE 的长；中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题,如得知所求结果具有某种确定的形式,就可讨论和引入一些尚待确定的系数 或参数 来表示这样的结果 通过变形与比较 建立起含有待定字母系数 或参数 的方程 组,并求出相应字母系数 法【范例讲析 】：或参数 的值

33、,进而使问题获解这种方法称为待定系数【例 1】二次函数的图象经过 A1 ,0、B3 ,0、C2, 1三点1求这个函数的解析式2求函数与直线y=x+1 的交点坐标8的图象上的A 、B 两点,且点A 的横坐标【例 2】一次函数的图象经过反比例函数yx与点 B 的纵坐标都是 2；（1）求这个一次函数的解析式；（2）如一条抛物线经过点A、B 及点 C（1,7）,求抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【闯关夺冠】1.已知：反比例函数和一次函数图象的一个交点为（3,4）,且一次函数的图象与 x 轴的交点到原点的距离为 5,分别确定这两个函数的解析式；2、如下列图,已知抛物线的对称轴是直线 x=3,它与 x 轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于 C点,点 A、C 的坐标分别是 8,0、0,4,求这个抛物线的解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页