2022年中考数学复习专题题型圆的有关计算与证明.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - （2022 浙江衢州第学习好资料欢迎下载CD切半圆 O于点 D；连结 OD,作 BE19 题）如图, AB为半圆 O的直径, C为 BA延长线上一点,CD于点 E,交半圆 O于点 F；已知 CE=12,BE=9 （1）求证：COD CBE；（2）求半圆 O的半径 r 的长：试题解析：（1） CD切半圆 O于点 D,CDOD, CDO=90 ,BECD, E=90 =CDO,又 C=C, COD CBE（2）在 Rt BEC中, CE=12,BE=9,BC=CE 2BE =15, COD CBEOD BEOC,即r1515r,O交 AB于点 E.

2、 BC9解得： r=45 8考点： 1. 切线的性质； 2. 相像三角形的判定与性质. 2. （2022 山东德州第20 题）如图,已知Rt ABC,C=90 , D为 BC的中点 . 以 AC为直径的圆（1）求证： DE是圆 O的切线 . 2 如 AE:EB=1:2,BC=6,求 AE的长 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 如下列图,连接OE,CE 学习好资料欢迎下载AC是圆 O的直径 AEC=BEC=90D是 BC的中点ED1 2BCDC 1=2 OE=OC 3=4 1+3=2+ 4, 即 OED=AC

3、D ACD=90 OED=90 , 即 OE DE 又 E 是圆 O上的一点DE是圆 O的切线 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考点：圆切线判定定理及相像三角形 3. （2022 甘肃庆阳第 27 题）如图, AN是 M的直径, NB x 轴, AB交 M于点 C（1）如点 A（ 0,6）, N（0,2）, ABN=30 ,求点 B 的坐标；（2）如 D为线段 NB的中点,求证：直线 CD是 M的切线（1） A的坐标为（ 0,6）,N（0,2）,AN=4, ABN=30 , ANB=90

4、,AB=2AN=8,由勾股定理可知：NB=2 AB2 AN4 3,B（ 4 3 ,2）（2）连接 MC,NC AN是 M的直径, ACN=90 , NCB=90 ,在 Rt NCB中, D为 NB的中点,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - CD=1 2NB=ND,学习好资料欢迎下载 CND=NCD,MC=MN, MCN=MNC, MNC+CND=90 , MCN+NCD=90 ,即 MCCD直线 CD是 M的切线考点：切线的判定；坐标与图形性质4. （ 2022 广西贵港第24 题）如图,在菱形ABCD 中,点 P

5、在对角线 AC 上,且 PAPD ,eO是PAD 的外接圆. （1）求证： AB 是eO的切线；（2）如AC8, tanBAC2,求eO的半径 . 2【答案】 1 证明见解析； （2）3 6 4（1）连结 OP、OA,OP交 AD于 E,如图,PA=PD,弧 AP=弧 DP,OPAD,AE=DE,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 1+OPA=90 ,OP=OA, OAP=OPA, 1+OAP=90 ,四边形 ABCD为菱形, 1=2, 2+OAP=90 ,OAAB,直线 AB与 O相切；（2）

6、连结 BD,交 AC于点 F,如图,四边形 ABCD为菱形,DB与 AC相互垂直平分,AC=8,tan BAC=2 2,2,AF=4,tan DAC=DF AF=2DF=2 2 ,AD=AF22 DF=26 ,AE= 6 ,在 Rt PAE中, tan 1=PE AE=2,2PE= 3 ,设 O的半径为 R,就 OE=R3 ,OA=R,第 5 页,共 32 页在 Rt OAE中, OA 2=OE 2+AE 2,R 2=（R6 ）2+（3 ）2,R=3 6 4,即 O的半径为3 6 4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考

7、点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形5. （ 2022 贵州安顺第 25 题）如图, AB是 O的直径, C是 O上一点, ODBC于点 D,过点 C作 O的切线,交 OD的延长线于点 E,连接 BE（1）求证： BE与 O相切；（2）设 OE交 O于点 F,如 DF=1,BC=2 3 ,求阴影部分的面积【答案】 1 证明见解析； （2）43 4 3（1）证明：连接 OC,如图,CE为切线,OCCE, OCE=90 ,ODBC,CD=BD,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 即 OD垂

8、中平分 BC,EC=EB,在 OCE和 OBE中OCOB,OEOEECEB OCE OBE, OBE=OCE=90 ,OBBE,BE与 O相切；（2）解：设 O的半径为 r ,就 OD=r 1,在 Rt OBD中, BD=CD=1 BC= 3 ,2（ r 1）2+（3 ）2=r 2,解得 r=2 ,tan BOD=BD = 3 ,OD BOD=60 , BOC=2BOD=120 ,在 Rt OBE中, BE= 3 OB=2 3 ,阴影部分的面积 =S 四边形 OBEC S 扇形 BOC =2S OBE S扇形 BOC=21 2 2 23 1203602 2=43 4 3考点：切线的判定与性质；

9、扇形面积的运算6. （2022 湖北武汉第21 题）如图,ABC 内接于eO,ABAC CO 的延长线交 AB 于点 D 第 7 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求证 AO 平分BAC ；学习好资料欢迎下载（2）如 BC 6,sin BAC 3,求 AC 和 CD 的长5【答案】（ 1）证明见解析； （2） 3 10 ；90 . 13（2）过点 C作 CEAB于 E sin BAC=3 5, 设 AC=5m,就 CE=3m AE=4m, BE=m 在 Rt CBE中, m 2+3m2=36 m=3 10 5,AC=

10、3 10延长 AO交 BC于点 H,就 AHBC,且 BH=CH=3,过点 O作 OF AH交 AB于点 F, HOC=BAC OH=4,OC=5 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载AH=9 tan BAH=1 3OF=1 3AO=5 3OF BC OF BCDO,即 DC5DC-5=AD,3 = 6DCDC=90 13. 考点： 1. 全等三角形的判定与性质；2. 解直角三角形；3. 平行线分线段成比例. 7.（2022 湖南怀化第23 题）如图,已知 BC 是O的直径,点 D 为 BC 延长

11、线上的一点, 点 A 为圆上一点,且 ABAC=CD. 1 求证：ACDBAD；2 求证： AD 是O的切线 . 试题解析：（1） AB=AD, B=D,AC=CD, CAD= D, CAD=B, D=D, ACD BAD；（2）连接 OA,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载OA=OB, B=OAB, OAB=CAD,BC是 O的直径, BAC=90 ,OAAD,AD是 O的切线考点：相像三角形的判定与性质；切线的判定11. （2022 江苏盐城第25 题）如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC

12、的斜边 AB在 y 轴上,边 AC与 x 轴交于点 D,AE平分 BAC交边 BC于点 E,经过点 A、D、E 的圆的圆心F恰好在 y 轴上, F 与 y 轴相交于另一点G（1）求证： BC是 F 的切线；（2）如点 A、 D的坐标分别为 A（0,-1 ）, D（2,0）,求 F 的半径；（3）摸索究线段 AG、 AD、CD三者之间满意的等量关系,并证明你的结论【答案】（ 1）证明见解析；（2） F 的半径为5；（ 3）AG=AD+2CD证明见解析 . 2名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 试

13、题解析：（ 1）连接 EF,AE平分 BAC, FAE=CAE,FA=FE, FAE=FEA, FEA=EAC,FE AC, FEB=C=90 ,即 BC是 F 的切线；（2）连接 FD,设 F 的半径为 r ,就 r2=（r-1 ）2+2 2,；解得, r=5 2,即 F的半径为5 2（3）AG=AD+2CD 证明：作 FR AD于 R,就 FRC=90 ,又 FEC=C=90 ,四边形 RCEF是矩形,EF=RC=RD+CDFRAD,AR=RD,EF=RD+CD=1 AD+CD,2AG=2FE=AD+2CD. 考点：圆的综合题13.（2022 甘肃兰州第27 题）如图,ABC内接于 , B

14、C 是O的直径,弦 AF 交 BC 于点 E,延长 BC 到点 D ,连接 OA , AD ,使得FAC=AOD,D=BAF. 第 11 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1 求证： AD 是O 的切线；2 如O 的半径为 5,CE = 2,求 EF 的长 . （1）由 BC是 O的直径,得到BAF+FAC=90 ,等量代换得到D+AOD=90 ,于是得到结论；（2）连接 BF,依据相像三角形的判定和性质即可得到结论（2）连接 BF, FAC=AOD, ACE DCA,AC OCAECE,OAACAC

15、5AE2,AC5AC=AE= 10 , CAE=CBF, ACE BFE,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - AE CEBE,学习好资料欢迎下载EF108,2EFEF=8 10 5考点：切线的判定与性质；相像三角形的判定与性质14. （2022 贵州黔东南州第21 题）如图,已知直线PT 与 O相切于点 T,直线 PO与 O相交于 A,B 两点（1）求证： PT 2=PA.PB；（2）如 PT=TB= 3 ,求图中阴影部分的面积（ 1）证明：连接 OTPT是 O的切线,PTOT, PTO=90 , PTA+OTA=

16、90 ,AB是直径, ATB=90 , TAB+B=90 ,OT=OA, OAT=OTA, PTA=B, P=P, PTA PBT,PT PBPA,第 13 页,共 32 页PT名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载PT 2=PA.PB（2） TP=TB= 3 , P=B=PTA, TAB=P+PTA, TAB=2B, TAB+B=90 , TAB=60 , B=30 ,tanB=AT3TB3AT=1,OA=OT, TAO=60 , AOT是等边三角形,S 阴=S 扇形 OAT S AOT=603602 132 163.

17、44考点：相像三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的运算16. （2022 四川泸州第24 题）如图, O与 Rt ABC的直角边 AC和斜边 AB分别相切于点C、D,与边 BC相交于点F,OA与 CD相交于点 E,连接 FE并延长交 AC边于点 G（1）求证： DF AO；（2）如 AC=6,AB=10,求 CG的长【答案】（ 1）证明见解析； （2）2. （1）证明：连接OD第 14 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载AB与 O相切与点 D,又 AC与 O相切与点,AC=AD, OC=OD,OA

18、CD,CDOA,CF是直径, CDF=90 ,DFCD,DF AO（2）过点作 EMOC于 M,AC=6,AB=10,BC=AB 2AC =8,2AD=AC=6,BD=AB-AD=4,BD 2=BF.BC,BF=2,CF=BC-BF=6OC=1 CF=3,2OA= AC 2 OC =3 5 ,OC 2=OE.OA,OE=3 5,5EM AC,EM ACOMOE1,5OCOAOM=3 5,EM=6 518,FM=OF+OM=5EM CGFM3.63,FC65CG=5 3EM=2考点：切线的性质17. （2022 四川宜宾第23 题）如图, AB是 O 的直径,点C在 AB的延长线上, AD平分

19、CAE交 O于点 D,且 AE名师归纳总结 第 15 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CD,垂足为点E学习好资料欢迎下载（1）求证：直线CE是 O的切线（2）如 BC=3,CD=3 2 ,求弦 AD的长（1）证明：连结 OC,如图,AD平分 EAC, 1=3,OA=OD, 1=2, 3=2,OD AE,AEDC,ODCE,CE是 O的切线；（2） CDO=ADB=90 , 2=CDB=1, C=C, CDB CAD,CD CACBBD,CDADCD 2=CB.CA,（ 32 ）2=3CA,CA=6,名师归纳总结 - - - - - -

20、 -第 16 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB=CA BC=3,BD AD3 22学习好资料欢迎下载, 设 BD= 2 K,AD=2K,62在 Rt ADB中, 2k2+4k2=5,k=30,6AD=30 3考点：切线的判定与性质18.（2022 新疆建设兵团第 22 题）如图,AC为 O的直径,B 为 O上一点,ACB=30 ,延长 CB至点 D,使得 CB=BD,过点 D作 DE AC,垂足 E 在 CA的延长线上,连接 BE（1）求证： BE是 O的切线；（2）当 BE=3时,求图中阴影部分的面积【答案】（ 1）证明见解析； （2）3 2-3 32（

21、1）如下列图,连接 BO, ACB=30 , OBC=OCB=30 ,DEAC,CB=BD,Rt DCE中, BE=1 2CD=BC, BEC=BCE=30 , BCE中, EBC=180 BEC BCE=120 , EBO=EBC OBC=120 30 =90 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载BE是 O的切线；（2）当 BE=3时, BC=3,AC为 O的直径, ABC=90 ,又 ACB=30 ,AB=tan30 BC= 3 ,AC=2AB=2 3 ,AO= 3 ,阴影部分的面积=半圆

22、的面积Rt ABC的面积 =1 2 AO 2 12AB BC=1 2 31 23 3=3 2-3 32考点：切线的判定与性质；扇形面积的运算1. 2022 北京第 24 题 如图, AB是eO的一条弦, E 是 AB 的中点,过点 E 作 ECOA 于点 C ,过点 B 作eO的切线交 CE 的延长线于点 D . （1）求证： DB DE ；（2）如AB12,BD5,求eO的半径 . （1）证明： DCOA, 1+3=90 , BD为切线, OBBD, 2+5=90 , OA=OB, 1=2,3=4, 4=5,在 DEB中, 4=5, DE=DB. 2 作 DFAB于 F, 连接 OE,DB=

23、DE, EF=1 2BE=3,在 RT DEF中,EF=3,DE=BD=5,EF=3 , DF=2 52 34sin DEF=DF DE= 4 5 , AOE=DEF, 在 RT AOE中, sin AOE= AEAO4 , 5AE=6, AO=15 2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 考点：圆的性质,切线定理,三角形相像,三角函数2. 2022 天津第 21 题 已知 AB是 O 的直径, AT 是 O 的切线,ABT500,BT 交 O 于点 C ,E 是 AB上一点,延长 CE 交

24、 O 于点 D . （1）如图,求 T和 CDB的大小；（2）如图,当 BE BC 时,求 CDO的大小 . ：1 如图,连接 AC, AB 是 O 的直径, AT 是 O 的切线,ATAB,即 TAB=90 . ABT500, T=90 - ABT=40由 AB 是 O 的直径,得 ACB=90 , CAB=90 - ABC=40 CDB=CAB=40 ; （2）如图,连接 AD, 在 BCE中, BE=BC, EBC=50 , BCE=BEC=65 , BAD=BCD=65OA=OD ODA=OAD=65 ADC=ABC=50名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 32

25、页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 CDO=ODA- ADC=15 . 3. 2022 福建第 21 题 如图,四边形 ABCD 内接于eO,AB 是eO的直径,点 P 在 CA 的延长线上,CAD45o （）如AB4,求弧 CD 的长；（）如弧 BC弧 AD , ADAP ,求证： PD 是eO的切线 AB=2, CD 的长 =901802（）连接 OC,OD, COD=2 CAD,CAD=45 , COD=90 ,AB=4,OC=1 2= ；（） BC= AD , BOC=AOD, COD=90 , AOD=180 COD =45 , OA=OD, O

26、DA=OAD,2 AOD+ODA+ OAD=180 , ODA=180 AOD =67.5 ,AD=AP, ADP= APD, CAD=ADP+APD,2CAD=45 , ADP=1CAD=22.5 , ODP= ODA+ADP=90 ,又 OD是半径, PD是 O的切线 . 24. 2022 河南第 18 题 如图,在 ABC中, AB AC ,以 AB 为直径的 O交 AC 边于点 D ,过点 C 作 CF / / AB ,与过点 B 的切线交于点F ,连接 BD . 第 20 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）

27、求证： BDBF；4学习好资料欢迎下载（2）如AB10,CD,求 BC 的长 . 1 ABAC ABC=ACB CF/ /AB ABC=FCB ACB=FCB,即 CB平分 DCF AB 为 O 直径 ADB=90 ,即 BD ACBF为 O 的切线 BF/ /ABCFAB BFCFBD=BF 考点：圆的综合题 . 6.（2022 湖南长沙第23 题） 如图, AB 与 O 相切于 C ,OA,OB分别交 O 于点D,E,.CD.CE （1）求证：OA OB；（2）已知 AB 4 3,OA 4,求阴影部分的面积【答案】（ 1）证明见解析（2）S阴影 =2 3 23名师归纳总结 - - - -

28、- - -第 21 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载试题解析：（1）连接 OC,就 OCAB .CD.CE AOC=BOC 在 AOC和 BOC中,AOCBOC90oOCOCOCBOCA AOC BOC（ ASA）AO=BO （2）由（ 1）可得 AC=BC=1 2AB=2 3在 Rt AOC中, OC=2 AOC=BOC=60SBOC=1BC OC=12 32=23的外接圆于点D ,ABC 的平分线交 AD 于点 E . 22S 扇形 BOC =60o360o2 2=23S 阴影=SBOCS 扇形 BOC =2323考点： 1、切线的性质

29、,2、三角形的面积,3、扇形的面积7. （2022 山东临沂第23 题）如图,BAC 的平分线交VABC（1）求证： DEDB ；第 22 页,共 32 页（2）如BAC90,BD4,求VABC外接圆的半径 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【试题解析：（1）Q AD 平分BAC , BE 平分ABC ,QBAD4CAD,ABECBE ,又,DBCDAC ,BEDDBE .DEDB . BEDABEBAD ,DBEDBCCBE ,（2）解：连接 CD ,QBAC90o,BC 是圆的直径 .BDC90o ,BDC90

30、o .QBADCADBD .CD ,.BDCD ,BCD 是等腰直角三角形.BD,BC4 2.ABC 的外接圆的半径为2 2 . 考点： 1、三角形 的外接圆的性质,2、圆周角定理,3、三角形的外角性质,4、勾股定理8. 2022 四川泸州第24 题 如图, O与RtABC的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点C, D;与边 BC 相交于点F , OA与 CD 相交于点 E ,连接 FE 并延长交 AC 边于点 G . （1）求证： DF / AO（2）如 AC 6 AB 10 , 求 CG 的长 . （1）证明：AB 与 O相切与点 D名师归纳总结 BCDBDF（弦切角定理）第 23 页

31、,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又AC 与 O相切与点 C;CAO学习好资料欢迎下载由切线长定理得：ACAD,DAO;CDAOBCDCAODAODAOBDF,即： DF/AO （2）：过点 E 作EMOC与 M32;AC6 ,AB8BCAB2AC28ADAC6 ,BDABAD4由切割线定理得：BD2BFBC, 解得：BF5FCBCBF6 ,OC1FC3 ;2OAAC2OC235由射影定理得：OC2OEOA ,解之得：OE5EMOMOE1;ACOCOA5OM3,EM6;FMOFOM18;555EMFM36.3;CGFC65CG5EM239

32、. 2022山东滨州第23 题 （本小题满分10 分）如图,点 E是 ABC的内心, AE的延长线交 使 BDM DAC（1）求证：直线 DM是 O的切线；（2）求证： DE 2DFDA【答案】详见解析 . BC于点 F,交 ABC的外接圆 O于点 D；连接 BD,过点 D作直线 DM,名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 试题解析：证明：（1）如图 1,连接 DO,并延长交 O于点 G,连接 BG；点 E 是 ABC的内心, AD平分 BAC, BAD DAC G BAD, MDB G,DG为

33、 O的直径, GBD90 , G BDG90 DM是 O的切线； MDB BDG 90 直线（2）如图 2,连接 BE点 E是 ABC的内心, ABE CBE, BAD CAD EBD CBE CBD, BED ABE BAD, CBD CAD EBD BED,DBDE CBD BAD, ADB ADB, DBF DAB,BD 2DFDA22 题 如图,在ABC 中,以 BC 为直径的eO交 AC 于点 E ,过点 E 做 EFAB 于点 F ,DE 2DFDA10. 2022辽宁沈阳第延长 EF 交 CB 的延长线于点G ,且ABG2C . 第 25 页,共 32 页名师归纳总结 - - -

34、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求证： EF 是eO的切线；学习好资料欢迎下载（2）如 sin EGC 3,e O 的半径是 3,求 AF 的长 . 5【答案】（ 1）详见解析； （ 2）24 . 5试题解析：1 连接 OE,就EOG2C , ABGCAABG2CABGEOGAB/ /OE EFABAFE900GEOAFE900 OEEG又 OE是eO的半径 EF 是eO的切线；（2）ABG2C ,CABA=BC 又eO的半径为 3,OE=OB=OC BA=BC=2 3=6 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 32 页精选学习资料

35、- - - - - - - - - 在 Rt OEG中, sin EGC=OE OG学习好资料欢迎下载,即3 53 OGOG=5 在 Rt FGB中, sin EGC=BF,即3 FBGB 5 2BF=65AF=AB-BF=6-6 =24 . 5 5考点：圆的综合题 . 13. 2022 山东菏泽第 22 题 如图, AB 是 O 的直径, PB 与 O 相切于点 B ,连接 PA 交 O 于点 C . 连接 BC . （1）求证：BAC CBP；（2）求证：PB 2 PC PA；（3）当 AC ,6 CP 3 时,求 sin PAB 的值 . 【答案】 1 详见解析；（2）详见解析；（3）3 . 【解析】试题分析：（1）依据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等,即可证得PA,得BAC33CBP；（2）先证PBC ABP,依据相像三角形的性质即可得结论；（3）利用PB2PCPB,从而求sinPAB=3试题解析：【解】（1） AB 是 O 的直径 ACB=90