2022年中考数学专题：最短距离问题分析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载最短距离问题分析最值问题是中学数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿中学数学的始终,是中考的热点问题,它主要考察同学对平常所学的内容综合运用,无论是代数问题仍是几何问 题都有最值问题,在中考压轴题中显现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段 最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）；利用一次函数和二 次函数的性质求最值；一、“ 最值” 问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范畴内函 数的最大或最小值 、归于几何模型,这

2、类模型又分为两种情形：（1）归于“ 两点之间的连线中,线段最短”大都应用这一模型；凡属于求“ 变动的两线段之和的最小值” 时,（2）归于“ 三角形两边之差小于第三边” 凡属于求“ 变动的两线段之差的最大值” 时,大 都应用这一模型；几何模型：A B A P B l 条件：如图,A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点P ,使 PAPB 的值最小A方法：作点A 关于直线 l 的对称点 A ,连结 A B 交 l 于点 P ,就 PAPBA B 的值最小（不必证明） 模型应用：B （1）如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 AB 的中点,P 是 AC 上一动点

3、连结BD ,由正方形对称性可知,B 与 D 关于直线 AC 对称连结ED 交 AC 于 P ,就PBPE 的最小值是 _；图 1 A （2）如图 2,O的半径为 2,点 A、 、C在O上,图 2 P C OAOB ,AOC60 , P 是 OB 上一动点,B 求 PAPC 的最小值；解：（ 1） PB PE 的最小值是 DE 5（2） PA PC 的最小值是 2 3【典型例题分析】名师归纳总结 1.如下列图,正方形ABCD 的面积为 12,ABE是等边三角形,点E 在正方形 ABCD 内,在D 第 1 页,共 5 页对角线 AC 上有一点 P ,使 PDPE 的和最小,就这个最小值为（）A A

4、 2 3B 2 6C3 D6P C E B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2如图,抛物线y1x2x2优秀学习资料欢迎下载By 4的顶点为A,与 y 轴交于点1求点 A、点 B 的坐标；PA-PBAB；A O B x 2如点 P 是 x 轴上任意一点,求证：3当 PA-PB 最大时,求点P 的坐标 . 解： 1令 x=0,得 y=2,B0,2 y1x2x21x22344 A-2 ,3 2证明： .当点 P 是 AB 的延长线与x 轴交点时, PA-PB=AB ；.当点 P 在 x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时,y P Ax x在点 P、A

5、、B 构成的三角形中,PA-PB AB. 综合上述： PA-PB AB. 3作直线 AB 交 x 轴于点 P P 是所求的点A B 由2可知：当PA-PB 最大时,点作 AH OP 于 H BOOP BOP= AHP ,且 BPO= APH H O AHHPy BOP AHP BOOP32OP由1可知： AH=3 、OH=2 、OB=2 即2OP OP=4 , P4, 0 标为1 1,2 2PED的周长即是CEDE102B4. 一次函数ykxb 的图象与x、y 轴分别交于点A（2,0）,B（0,4）D（1）求该函数的解析式；P（2） O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、 D,P 为 OB

6、上一动点,OC求 PC PD的最小值,并求取得最小值时P 点坐标解： 1将点 A、B 的坐标代入ykxb 并运算得 k 2,b4第 4 题解析式为： y 2x4；2设点 C 关于点 O 的对称点为C,连结 PC、DC ,就 PCPCPCPDPCPDCD,即 C、P、D 共线时, PCPD 的最小值是CD0,2连结 CD ,在 Rt DCC 中, CD C C2CD222 ；易得点 P 的坐标为 0,1亦可作 Rt AOB 关于 y 轴对称的 5. 已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A3 0, 、C（1）求这条抛物线的函数表达式名师归纳总结 - - - - - -

7、 -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）已知在对称轴上存在一点优秀学习资料欢迎下载P 的坐标P,使得PBC的周长最小恳求出点A y C B x A y C B x O O 5 题图解：（1）此抛物线的解析式为y2x24x2x 33（2）连结 AC 、BC . 由于 BC 的长度肯定, 所以PBC周长最小, 就是使 PCPB 最小 . B 点关于对称轴的对称点是A 点, AC 与对称轴x1的交点即为所求的点P .设直线AC的表达式为ykxby 就b3 kb0,k2此直线的表达式为y2x2A E P O B 3D 2解得b23把x1代入得y4P点的坐标为1

8、,4C 336. 如图,抛物线y2 axbxc的顶点 P 的坐标为1,4 3（第 24 题图）3,交 x 轴于 A、B 两点,交y 轴于点C0,3（1）求抛物线的表达式y （2）把 ABC绕 AB的中点 E旋转 180,得到四边形ADBCD 判定四边形ADBC的外形,并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F,使得FBD的周长最小,A O E B x 如存在,请写出点F 的坐标；如不存在,请说明理由解：（ 1）由题意知C P y D 名师归纳总结 O E B x C 第 3 页,共 5 页P - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得a3,b2 3优秀

9、学习资料欢迎下载x22 3x3y3 333抛物线的解析式为33 2 2 3x x 3 0（2）设点 A（1x,0）,B（2x,0）,就 3 3,| OB |3解得 x 1 1,x 2 3 OA 1, OB 3又 tanOCB | OC | OCB 60,同理可求 OCA 30 ACB 90由旋转性质可知 AC BD,BCAD 四边形 ADBC 是平行四边形 又 ACB 90四边形 ADBC 是矩形（3）延长 BC 至 N,使CN CB 假设存在一点 F,使 FBD 的周长最小即 FD FB DB 最小DB 固定长只要 FD+FB 最小又 CABN FD+FB FD+FN 1FC AC当 N、F

10、、D 在一条直线上时,FD+FB 最小 又 C 为 BN 的中点,2（即1 3F 为 AC 的中点）又 A（ 1,0）,C（0,3） 点 F 的坐标为 F（2 ,2 ）1 3 存在这样的点 F（2 ,2 ）,使得FBD 的周长最小7. 如图（ 1）,抛物线 y 3x 2 18x 3 和 y 轴的交点为 A, M 为 OA 的中点,如有一动点 P ,5 5自 M 点处动身,沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E ）,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F ）,最终又沿直线运动到点 A ,求使点 P 运动的总路程最短的点 E ,点 F 的坐标,并求出这个最短路程的长；y解：如图（ 1）

11、,由题意可得A （0,3）, M,03,抛物线的对称点A F 2为x3,点 M 关于 x轴的对称点为M0,3 2 A ,点 A 关于抛物线；对称轴x3的对称点为A （6,3）；连结MM 名师归纳总结 依据轴对称性及两点间线段最短可知,AM 的长就是所求点P 运动中OE x最短总路程的长,AM 在直线的方程为第 4 页,共 5 页y3 x 43（过程略）；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设A M 与 x 的交点为优秀学习资料欢迎下载yE 就 E 为在 x 轴上所求的点,A M 与直线名师归纳总结 x3的交点为所求的F 点；3 A E F Ax可得 E 点的坐标为（ 2,0）,F 点的坐标为,33）；4由勾股定理可求出AM15（过程略）2所以点 P 运动的总路程（MEEFFA）最短时间为15 ；2M 不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,总是化归到 “ 两点之间的所OB 3 第 5 页,共 5 页有连线中,线段最短”,而转化的方法大都是借助于“ 轴对称点”M- - - - - - -