2022年《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄课后习题答案 .pdf

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1、第十一章线性算子的谱1 设0,1, ()( )( ),XCAxttx txX。证明( )0,1A，且其中没有特征值。证明当0,1时，常值函数1 不在IA的值域中，因此IA不是满射，这样()A。反之若0,1，定义算子1:( )RRx tt。则由于0,1，且11max( )( ,0,1)a t bR xx txtd因此R是 C0，1 中有界线性算子。易验证()()RIAIA RI，所以()A。总之()0,1A，若Aff，则对任意t，( )( )tf tf t，可推得( )0f t。由于( )0,1f tC，必有( )0f t，所以 A 无特征值。证毕。2 设0,2,()( )( ),.itXCAx

2、 te x txX，证明()1 A。证明对任意000,() ( )() ( )ititititee IA x teex t。 因为常值函数1 不在0ite IA的值域中，因此0( )iteA。这样1()A。反之，若1，定义1:()( )( )itRR x tx te。类似第1 题可证R是有界线性算子，且()()RIAIA RI。即()A。因此()1 A。证毕。3 设21223,(,)(,)nnXlAxA x xxxxx，试求()A。解对任意，若1，定义( 1 ,nx，显然22,( ,)(1, ,)nnxlAxx，因此1的内点都名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

3、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 是 A 的点谱，由于()A是闭集，则1 ( )A。对任意xA，显然Axx，因此1A，所以( )1 AA。这样我们就证明了( )1A。4 设 F 是平面上无限有界闭集，n是 F 的一稠密子集，在2l中定义算子T：121 1(,)(,)nnnTxx xxxx则n都是特征值，( ),nTF F中每个点是T 的连续谱。证明对任意 n，(0,0,1,0,)ne，其中 1 在第 n 个坐标上。由题设，nnnTee，因此n是 T 的特征值。又由于( )T是闭集，

4、所以( )nFT。若F，则( ,)0dF。定义算子R，若212(,)nxx xxl，1212111(,)nnR xxxx易验证1( ,)R xxdF，且()()RITIT RI。因此( )TF。若nF，且212(,)nxx xxl，使Txx。则对任意n，nnnxx。由于n，则0nx，1,2,n。这样 x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。5 设为线性算子nA的特征值，则的 n次根中至少有一个是算子A 的特征值。证明设是nA的特征值，的 n 次根为12,n。 存在0 x， 使()0nAIx，则12()()()()0nnAI xAIAIAI x。若1()0AI x，则1就是 A 的特征值，否则

5、必有某i，11()()()0iiAIAIAI x，而11()()()0iiAIAIAI x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 则1i是 A 的特征值。证毕。6 设 A 为 Banach 空间 X 上的有界线性算子，0( )A，又设nA为 X 上一列有界线性算子，且lim0nnAA，证明当 n 充分大后，nA也以0为正则点。证明00()nnIAIAAA100()() ()nIA IIAAA。当 n 充分大时，10()

6、()1nIAAA，这样10() ()nIIAAA是可逆的。此可逆性由本章2 定理 1 可证，又0IA也是可逆的。因此当n 充分大后，0nIA也可逆。证毕。7 设 A 是为 Banach 空间 X 上的有界线性算子，则当A时，110()nnnARAI，1RA。证明当A时幂级数01nnnA收敛，因此级数10nnnA必按算子范数收敛。11110000()()1nnnnnnnnnnnnAAAAIAIA这就证明了110()nnnAAI，11001nnnnnnAARA。证毕。8 设 A 为 X 上的有界线性算子，,( )A，则()RRR R。其中与,RR的意义同第7 题。证明在等式11()()RRIAIA

7、两边左乘R右乘R得()()()RRRIAIA RRR。因此()RRR R，证毕。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 设 A 是 Hilbert空间 H上的有界线性算子，A*为 A的共轭算子，证明( *)()()AAA证明先证若T 是 Hilbert空间 H 上的有界线性算子，若T 可逆，则T*也可逆，且11( *)()*TT。事 实 上 ， 对 任 意, x yH，11,()*x yTT x yx TTy。 这

8、样1,() *0 x yTTy对 任 意xH成 立 ， 因 此1() *yTTy恒 成 立 ， 进 而1* () *TTI。同理1*()*TTI。这一证明了T*也可逆，且11()*( *)TT。现在设()A， 则AI可逆，因此()*AIAI也可逆，从而( *)A。同理若( *)A，则( )A，这就证明了( *)()AA。证毕。10设1T是1X到2X的全连续算子，2T是2X到3X的有界线性算子， 则21T T是1X到3X的全连续算子。证明设nx是1X中有界点列。因为1T全连续，所以1nT x中必有收敛子列。我们记之为1knT x。又因为2T有界，所以21knT T x也收敛，因此2 1nT Tx

9、有收敛子列。这就证明了21T T是全连续算子。证毕。11设 A是2l上线性算子，记1(0,0,0,1,0,)nne个，1kjkjjAea e其中2,1kiji jAea，证明 A是全连续的。证明若12(,)nxx xx，定义11:()nnnkjkjjkAA xx ae：则nA是有界秩算子，且2211()nkjkjnkAAxx a22111()()kjkj nkkxa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2211jkjn

10、kax所以2110njkjnkAAa()n。由本章 3 定理 2，A是全连续算子。证毕。12ne的符号同第11 题。作2l上算子 U。11,1,2,.kkUeekk证明 U是2l上全连续算子且()0U。证明若21iiixx el，则111iiiUxx ei。令111niiiU xx ei，则nU是有限秩算子，且222211111()( )niiiininUUxxxii2211ixi所以2110()ninUUni。这样 U是有限秩算子nU的极限， U必是全连续算子。由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证()0U，只要证 U无非零特征值。倘若0，211111,iiiiiiiiixx elUxx

11、x ex ei。即121211(0,)(,)2nnxxxx xxn。则1110,1,2,iixxx ii， 由此可得0,1,2,ixi。 因此不是 U的特征值。证毕。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 13设10()( )( )s tAset dt，求 A的特征值和特征函数。（提示：记10( )tcet dt）解记10( )tcet dt。设为对应特征值的特征函数， 则A，即sce。若0， 则sce。 代 入c的 表

12、 达 式 ：10ssccee ds， 解 得12201(1)2se dse。 因此非零特征值21(1)2e，特征函数为0( )ssc e，其中0c为任意非零常数。若0，则10( )0ses ds，特征函数se为中任意非零函数。14积分算子的核为，1( , )( )( )nkkkK s tps qt，其中kp为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量e 有形式1nkkkec p，kc是常数。若记( )( )bijijaqq x px dx，则kc可由下式决定：1,1,2,nkiikicc qkn。证明( , ) ( )baAK s tt dt1( )( ) ( )nbkkakps qtt

13、dt1( ) ( )( )nbkkakqtt dt ps。若为 A的特征值，为对应的特征向量，则1( ) ( )( )( )nbkkakqtt dt pss。即1( )( )nkkksc ps，其中1( ) ( )bkkacqtt dt。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 将1( )( )nkkksc ps代入表达式得11( )( )nbkkiiaicqtc p s dt11( )( )nbikiaicqt p t

14、dt11( )nikiiqt c。即kc1( )nikiiqt c，1,2,kn。证毕。15在 14 题中，若( )( ),0,()iiijq xp xp qij。试求特征值和特征函数。解采 用14 题 的 符 号 ， 因 为,0,()ijq pij， 所 以0ijq，()ij，2( ),1,2,biiiaqpx dx i。这样决定kc的方程组1,1,2,.nkikiicq ckn。变为()0kkkqc，1,2,.kn。因此1kkkq就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个kkq，其相应的特征函数为kp。显然由12,nppp张成的有限维线性子空间M 的正交补空间M中任一非零函数都是相应于0

15、的特征函数。16若( , )cos(),0,.K s tsts t，求积分算子K 的特征值和特征函数。解cos()cos cossin sinstststcos cos( sin )( sin ),stis it。令1122( )( )cos ,( )( )sin ,p tq ttp tq tit可验证120,cos * sin0pptitdt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 21110( ),2qpt dt220

16、sin * sin2qtitdt。因此积分算子K有两个非零特值1,222。其中1相应于特征函数为cosct，2相应于特征函数为sinct。 如 15 题，0 相应的特征函数为cos ,sin tt中非零函数。17解方程。0( )2cos() ( )1sxss ds解( , )2cos()2(cos cossinsin )K x sxsxsxs。11222 cos ,2 sin ,pqxpqix211022cos,cos ,xdxex222022sin,sin ,xdxex设3422cos ,sin ,xx e e为20,L的完全规范正交系，则由本章5 定理 1，方程解为003122122( )

17、cos*cossin*sin1,11kkksxdxsxdxsee34s i n1,(1)kkksee。但31,1kkkee，因此1122341,11,1,1sinkkkeeeeees所以444sin1sin1sin(1)1sss是积分方程的解。本题及第 16 题也可以用待定系数法直接解得。18解方程20( )3( )32.sxss dsx。解11( , )3,3 ,K x sxspqx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 221110338,8qx dxex。 。设233,8x e e为20,2L的完全规范正交系，由本章5定理 1，202133( )(32)*32,1888kkksxxdxsxee23*432,7*8kkksxee1133232,14ssxee2033332(32)*1488ssxxdxs927s因此9( )27ss为本积分方程的解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -