2022年《抽屉原理》 .pdf

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1、黄冈市南湖学校抽屉原理（一）如果将 5 个苹果放到3 个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2 个，即放 1 个或不放，那么3 个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有 5 个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。同样，有5 只鸽子飞进4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2 只鸽子。以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。抽屉原理1：将多于 n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2 件。说明这个原理是不难的。假定这n 个抽屉中，每一个抽屉

2、内的物品都不到2 件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过n 件，这与有多于 n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2 件”不能成立，从而抽屉原理1 成立。从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1 件物品，共放入n 件物品，此时再放入1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有 1个抽屉不少于2 件物品。这就说明了抽屉原理1。例 1某幼儿园有367 名 1996 年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析与解： 1996 年是闰年， 这年应有 366

3、 天。把 366 天看作 366 个抽屉， 将 367 名小朋友看作367个物品。这样，把367 个物品放进366 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例 2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3 整除？分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2 三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3的余数相同。这两个数的差必能被3 整除。例 3在任意的五个自然数中，是否其中必有

4、三个数的和是3 的倍数？分析与解：根据例2 的讨论，任何整数除以3 的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3 后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3 倍，故能被3 整除，所以这三个数之和能被3 整除。第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3 除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3 整除。综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3 的倍数。例 4 在长

5、度是10 厘米的线段上任意取11 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？分析与解：把长度10 厘米的线段10 等分，那么每段线段的长度是1 厘米（见下图）。将每段线段看成是一个“抽屉” ，一共有 10 个抽屉。 现在将这 11 个点放到这10 个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1 厘米。所以， 在长度是10 厘米的线段上任意取11 个点， 至少存在两个点， 它们之间的距离不大于1厘米。例 5 有苹果和桔子若干个，任意分成5 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶

6、数？分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4 种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 黄冈市南湖学校将这 4 种情形看成4 个抽屉，现有5 堆水

7、果，根据抽屉原理可知，这5 堆水果里至少有2 堆属于上述4 种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。例 6用红、蓝两种颜色将一个25 方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。在上面的几个例子中，例1 用一年的 366 天作为 366 个抽屉；例2

8、 与例 3 用整数被3 除的余数的三种情形0，1，2 作为 3 个抽屉； 例 4 将一条线段的10 等份作为10 个抽屉； 例 5 把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4 个抽屉；例6 将每列中两个小方格涂色的4 种情形作为4 个抽屉。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。练习1. 某班 32 名小朋友是在5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？2. 班上有 50 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？3. 在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？4. 幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞

9、机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？5. 用红、蓝、黄三种颜色将一个27方格图中的小方格涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？6. 一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5 双同色的袜子？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - -

10、- - - 黄冈市南湖学校抽屉原理（二）这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子：如果将 13 只鸽子放进6 只鸽笼里， 那么至少有一只笼子要放3 只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2 只鸽子， 6 只鸽笼共放 12 只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3 只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。抽屉原理2：将多于 m n 件的物品任意放到n 个抽屉中， 那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于 m+1 。说明这一原理是不难的。假定这n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m 件，这样，n 个抽屉中可放物

11、品的总数就不会超过m n 件。这与多于 m n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m1。从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于（m1）件，最不利的情况就是 n 个抽屉中每个都放入m 件物品，共放入（m n）件物品，此时再放入1 件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m1）件物品。这就说明了抽屉原理2。不难看出，当m1 时，抽屉原理2 就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2 是抽屉原理1 的推广。例 1 某幼儿班有40 名小朋友，现有各种玩具122 件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4 件或 4 件以上的玩具

12、？分析与解： 将 40 名小朋友看成40 个抽屉。今有玩具122 件， 122=340 2。应用抽屉原理2，取 n40 ，m3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4 件或 4 件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4 件或 4 件以上的玩具。例 2 一个布袋中有40 块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4 的各有 10 块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3 块号码相同的木块？分析与解： 将 1，2，3，4 四种号码看成4 个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3 件物品，根据抽屉原理2，至少要有4 21=9 （件）物品。所以一次至少要取出9 块木块，才能保证其中有3 块号码相同

13、的木块。例 3 六年级有100 名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？分析与解： 首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3 种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3 种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1 种情况。总共有 331=7 （种）订阅方法。我们将这7 种订法看成是7 个“ 抽屉 ” ，把 100 名学生看作 100 件物品。因为10014 72。根据抽屉原理2，至少有 14115（人）所订阅的报刊种类是相同的。例 4 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81 个小朋友，如果每个小朋友都从中

14、任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？分析与解： 首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4 种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4 610 （种）。将这10 种搭配作为10 个“ 抽屉 ” 。8110=81 （个）。根据抽屉原理2，至少有 819（个）小朋友拿的水果相同。例 5 学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5 名同学参加学习班的情况完全相同？分析与解： 首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班

15、有1 种情况，只参加一个学习班有 3 种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3 种情况。共有133 7（种）情况。将这7 种情况作为7 个“ 抽屉 ” ，根据抽屉原理2，要保证不少于5 名同学参加学习班的情况相同，要有学生7 （5-1 ）129（名）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 黄冈市南湖学校练习1.礼堂里有253 人开会，这253 人中至少有多少人的属相相同？2.一兴趣小组有10 名学生

16、，他们都订阅甲、乙两种杂志中的一种或两种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？3.把 130 件玩具分给幼儿园小朋友，如果不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4 件或 4 件以上的玩具，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友？4.体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41 名同学往操场拿球，每人最多拿两个。问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？5.口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。要保证有4 人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？6.10 个足球队之间共赛了11 场,赛得最多的球队至少赛了几场？1.从 1， 2，3，4，5，6，7，8，

17、9，10，11，12 中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2 倍? 【分析与解】方法一：直接从1 开始选 1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出8 个数；而从 2 开始选 2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出8 个数 3包含在组内，因此只用考虑这两种情况即可所以，在满足题意情况下，最多可以选出8 个数方法二：我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11 均为奇数，并且有偶数中4 的倍数，但不是8 的倍数的也满足，有4，12 是这样的数所以，在满足题意情况下最多可以选出8个数2从 1，2，3，, ， 49，50 这 50 个数中取出若

18、干个数，使其中任意两个数的和都不能被7 整除，则最多能取出多少个数? 【分析与解】利用除以 7 的余数分类：余 0： (7 ，14，21，28，35，42，49) ；余 1： (1 ，8， 15，22，29，36，43，50) ；余 2： (2 ，9， 16，23，30，37，44) ；余 3： (3 ，10，17，24，31，38，45) ；余 4： (4 ，11，18，25，32，39，46) ；余 5： (5 ，12，19，26，33，40，47) ；余 6： (6 ，13，20，27，34，41，48) 第一组内的数最多只能取1 个；如果取第二组， 那么不能取第七组内任何一个数；取第三组， 不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7 个数，所以最多可以取1+8+7+7=23 个数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -