2022年中考数学总复习重点知识专题讲解《坐标系中的几何问题》.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学总复习学习必备欢迎下载坐标系中的几何问题第一部分 真题精讲【例 1】已知：如图 1,等边 ABC 的边长为 2 3 ,一边在x轴上且 A 1 3 0, , AC 交y轴于点 E ,过点 E 作 EF AB交BC于点F（1）直接写出点 B、C 的坐标；（ 2）如直线 y kx 1 k 0 将四边形 EABF 的面积两等分,求 k 的值；（ 3）如图 2,过点 A、 、C 的抛物线与 y 轴交于点 D ,M 为线段 OB 上的一个动点, 过 x 轴上一点 G 2,0作 DM 的垂线,垂足为 H,直线GH交 y 轴于点N,当M点在线段OB上运

2、动时,现给出两个结论： GNM CDM MGN DCM ,其中有且只有一个结论正确,请判定哪个结论正确,并证明y yC CDE FA BA O 1 B x O x-1图 1 图 2【分析】第一问不难,C 点纵坐标直接用 tg60 来算；其次问看似较难,但需要知道“ 过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分” 这肯定理就轻松解决了,这个定理的证明不难；由于 EFAB仍是一个等腰梯形,所以对角线交点特别好算；最终有点麻烦,不过略微仔细点画图,不难猜出式成立；抛物线倒是好求,由于要证的是角度相等,所以应想到全等或者相像三角形,过D 做一条垂线就发觉图中有多个全等关系,下面就遗忘抛物线吧,单独将

3、三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简洁了；【解析】解： （1）B13 0；C1 3, （2）k523y y名师归纳总结 - - - - - - -CCAERQFBxGADHTBxON OMP-1（3）正确结论：GNMCDM 【例 2】如图 , 在平面直角坐标系xoy 中, 抛物线y1x24x10与正半轴交于点A, 与轴交于点B,189过点 B作 x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结 AC现有两动点P、Q分别从 O、C两点同时动身 , 点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点 A 移动 , 点 Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点 B 移动 , 点 P 停止运动时 , 点 Q第

4、1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载也同时停止运动 , 线段 OC,PQ相交于点 D, 过点 D作 DE OA,交 CA于点 E,射线 QE交 x 轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t 单位 : 秒 1 求 A,B,C 三点的坐标 ; 2 当 t 为何值时 , 四边形 PQCA为平行四边形 .请写出运算过程 ; 3 当 0t 9 时, P QF的面积是否总为定值 .如是 , 求出此定值 ,2如不是 , 请说明理由 ; 4 当 t _ 时, P QF为等腰三角形 . 【分析】留意平行于X 轴的直线交抛物线的两个点肯定是关于对称轴对称的；其

5、次问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系；在运动中, QC和 PA始终是平行的, 依据平行四边形的判定性质, 只要 QC=PA时候即可；第三问求PQF是否为定值, 由于三角形的一条高就是 Q到 X轴的距离, 而运动中这个距离是固定的,所以只需看 PF是否为定值即可；依据相像三角形建立比例关系发觉 OP=AF,得解；第四问由于已经知道 PF为一个定值,所以只需 PQ=PF=18即可, P 点（ 4t,0 ）Q 8-t,-10,F18+4t,0 两点间距离公式分类争论即可【例【解析】解： 1A 18,0,B 0,10,C8, 10（2）t185（3） PQF的面积总为90

6、（4） 当t4 142时, PQR是等腰三角形；53】如图,已知抛物线C ：yax225的顶点为 P ,与x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左边）,点 B 的横坐标是 1（1）求 P 点坐标及a的值；（2）如图（1）,抛物线 C 与抛物线 C 关于x轴对称, 将抛物线 C 向右平移, 平移后的抛物线记为 C ,C 的顶点为 M ,当点 P 、 M 关于点 B 成中心对称时,求 C 的解析式；（3）如图（2）,点 Q 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线 C 绕点 Q 旋转 180 后得到抛物线 C 抛物线 C 4的顶点为 N ,与x轴相交于 E 、 F 两点（点 E 在点 F 的左边）,当以点

7、P 、 N 、 F 为顶点的三角形是直角名师归纳总结 三角形时, 求点 Q 的坐标C1 P y B M C3 x C1 y B Q E N F x 第 2 页,共 17 页A O C2 A O 图P 图 2 C4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：a5学习必备欢迎下载C1 y N 9抛物线C 的表达式为y5x425A H B Q G K F x 9O E 抛物线C 由C 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180 得到P 图2 C4 顶点 N 、 P 关于点 Q 成中心对称由得点 N 的纵坐标为5设点 N 坐标为 m,5作 PHx 轴于 H ,作 NGx

8、轴于 G作 PKNG于 K旋转中心Q 在x轴上EFAB2BH6FG3,点 F 坐标为 m3,0H 坐标为2,0, K 坐标为 m,5,依据勾股定理得PN2NK2PK22 m4m10419 3,0PF2PH2HF2m210m50NF22 52 334当PNF90时,PN2NF22 PF ,解得m44,Q 点坐标为3当PFN90时,PF2NF22 PN ,解得m10,Q 点坐标为2 3,03PNNK10NF ,NPF 90综上所得,当Q 点坐标为19 3,0或2 3,0时,以点 P 、 N 、 F 为顶点的三角形是直角三角形【例 4】 2022,房山,一模如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线 l

9、1 ：y3 x6 3交x轴、y轴于 A 、 B 两点,点Mm n是线段 AB 上一动点,点C 是线段 OA的三等分点（1）求点 C 的坐标；名师归纳总结 （2）连接 CM ,将ACM绕点 M 旋转 180 ,得到A C M第 3 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当BM1AM 时,连结A C 、学习必备欢迎下载2l将四边形A CAC 分成面积相等的两个四AC ,如过原点 O 的直线2边形,确定此直线的解析式；过点A作A Hx 轴于 H ,当点 M 的坐标为何值时, 由点A、H、C、M构成的四边形为梯形？BMO A【思路分析】此题运算方面

10、不是很繁琐,但是对图形的构造才能提出了要求,也是一道比较典型的动 点移动导致特别图形显现的题目；第一问自不必说,其次问第一小问和前面例题是一样的,也是要把握过 四边形对角线交点的直线肯定平分该四边形面积这肯定理；求出交点就意味着知道了直线 . 其次小问较为麻 烦 , 由于 C点有两种可能 ,H 在 C点的左右又是两种可能 , 所以需要分类争论去求解 . 只要利用好梯形两底平行 这一性质就可以了 . 【解析】（1）依据题意：A6, 0,B0, 6 3 C 是线段 OA 的三等分点名师归纳总结 C2, 0或C4, 0-2分第 4 页,共 17 页（2）如图,过点M 作 MNy 轴于点 N ,就BM

11、NBAOBM1AM 2BM1BA3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BN1BO学习必备欢迎下载3N 0, 4 3点 M 在直线 y 3 x 6 3 上M 2, 4 3- A C M 是由ACM 绕点 M 旋转 180 得到的A C AC无论是 C 、C 点,四边形 A CAC 是平行四边形且 M 为对称中心所求的直线 2l必过点 M 2, 4 3直线 2l的解析式为 : y 2 3 xyC2A C1BNC1MC2AxO当C1 2, 0时,名师归纳总结 第一种情形：H在C点左侧第 5 页,共 17 页如四边形A HC M 是梯形 A M 与HC 不平行

12、A H MC1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时M2, 4 3学习必备欢迎下载其次种情形：H 在 C 点右侧如四边形 A C HM 是梯形A M 与 C H 不平行A C 1HM M 是线段 AA的中点 H 是线段 AC 的中点H 4, 0由 OA 6,OB 6 3OAB 60点 M 的横坐标为 5名师归纳总结 M5,3M4, 2 3- 5,3,M4, 2 3或M11,3第 6 页,共 17 页当C 24, 0时,同理可得第一种情形：H 在C 点左侧时,其次种情形：H在C 点右侧时,M11,3- 22综上所述,所求M点的坐标为：M2, 4 3,M2

13、2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yC2A C1BNC1MC2AxO【例 5】通州, 2022,一模在平面直角坐标系中,抛物线yx22x3与 x 轴交于 A、B 两点,（点 A 在点 B 左侧） . 与 y 轴交于点 C,顶点为 D,直线 CD与 x 轴交于点 E. （1）请你画出此抛物线,并求 A、B、C、D四点的坐标 . （2）将直线 CD向左平移两个单位,与抛物线交于点 F（不与 A、B 两点重合）,请你求出 F 点坐标 . （3）在点 B、点 F 之间的抛物线上有一点 P,使 PBF 的面积最大,求此时 P 点坐标及 PBF

14、 的最大面积 . （4）如平行于x 轴的直线与抛物线交于G、H两点,以 GH为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径. 【思路分析】此题看似错综复杂,特别最终第四问的图像画出来又乱又挤,略微没画好就会让人头大无比；但是不用慌,一步步来渐渐做；抛物线表达式很好分解,第一问轻松写出四个点；其次问向左平移,C 到对称轴的距离刚好是 1,所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上,所以 F 直接写出为（ -2,-3 ）第三问看似麻烦,但是只要将PBF拆解成以 Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了；将 P 点设出来然后列方程求解即可；最终一问要分GH在 X 轴上方和下方两种情形,分类争论；不过做

15、到最终一步信任同学们的图已经画的乱七八糟了,由于和前面的问题没有太大关系,所以建议大家画两个 图分开来看；【解析】解：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）A3 0, ,B1 0, ,C0,3,D学习必备. 欢迎下载1,4（2）F2,3（3）过点 P 作y轴的平行线与BF 交于点 M ,与x轴交于点 H名师归纳总结 易得F2,3,直线 BF 解析式为yx1270,就HR1,R,第 8 页,共 17 页设2 P x x2x3,就Mx,x1,PMx2x2PM 的最大值是9. 4当 PM 取最大值时PBF的面积最大SP

16、BFSPFMSPBM193248PFB 的面积的最大值为27 . R R8（4）如图,当直线GH 在x轴上方时,设圆的半径为代入抛物线的表达式,解得R1227. 当直线 GH 在x轴下方时,设圆的半径为r r0,就H r1,r,代入抛物线的表达式,解得r1217圆的半径为1217或1217 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载yG1AO1OB H 2H1xG2MO2【总结】FCDP通过以上五道一模真题,我们发觉这类问题虽然看起来特别复杂,但是只要一问一问争论渐渐分析,总能拿到不错的分数；将几何图形添进坐标系大多情形下是和抛物线有关,

17、所以第一需要同学 们对抛物线的各种性质娴熟把握,特别是借助抛物线的对称性,有的时候解题会特别便利；无论题目中的 图形是三角形,梯形以及平行四边形或者圆,只要认清各种图形的一般性质如何在题中表达就可以了；例 如等腰 / 边三角形大多和相像以及线段长度有关,梯形要抓住平行,平行四边形要看平行且相等,圆形就要看半径和题目中的条件有何关系；仍需要把握平分三角形/ 四边形 / 圆形面积的直线分别都肯定过哪些点；总之,再难的问题都是由一个个小问题组成的,就算最终一两问没有时间摸索拿不了全分,至少要将前面简洁的分数拿到手,这部分分数其实仍不少；像例2 最终一问那种情形,该舍弃时候坚决舍弃,不要为1分的题失去

18、了大量检查的时间；其次部分 发散摸索【摸索 1】2022,北京. 如图,在平面直角坐标系xOy 中, ABC 三个顶点的坐标分别为A6,0,B6,0,C0, 4 3,延长 AC到点 D,使 CD=1 2AC , 过点 D 作 DE AB 交 BC的延长线于点 E. （1）求 D点的坐标；线y（2）作 C点关于直线DE的对称点F, 分别连结DF、EF,如过 B 点的直kxb 将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；名师归纳总结 （3）设 G为 y 轴上一点,点P 从直线ykxb 与 y 轴的交点动身,第 9 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - -

19、- - - - - - - 先沿 y 轴到达 G点,再沿学习必备欢迎下载GA上运动速度的2 倍,试GA到达 A 点,如 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线确定 G点的位置,使P 点依据上述要求到达A点所用的时间最短； （要求：简述确定G点位置的方法,但不要求证明）【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等,但是这道去年中考原题就是分周长相等；周长是由许多个线段组成的,所以分周长相等只需要争论哪些线段之和相等就可以了；所以自然想到去证明全等三角形；第三问虽然不要求证明,但是只需设出速度, 利用相像三角形去建立关系, 仍是不难证明的 , 有余力的同学可以试试. 【摸索 2】20

20、22,西城,一模已知：如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y 3 x 6 与 x 轴、 y 轴的交点分4别为 A、 B,将 OBA对折,使点 O的对应点 H落在直线 AB上,折痕交 x 轴于点 C. （1）直接写出点 C的坐标,并求过 A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）如抛物线的顶点为 D,在直线 BC上是否存在点 P,使得四边形 ODAP为平行四边形？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T,Q 为线段 BT 上一点,直接写出QA QO 的取值范畴 . 【思路分析】其次问有两个思路,第一个是看已知四边形的线段 是否平行且相等,角

21、是否符合平行四边形的条件；另一个是看假如有平行 四边形,那么构成平行四边形的点 P 是否在 BC上；从这两个思路动身,列出方程等式即可求解；第三问依据抛物线的对称性来看三点共线,继而看出最大值和最小值分别是多少；【摸索 3】2022,朝阳,一模抛物线与x 轴交于 A（ 1,0）、B 两点,与 y 轴交于点C（0, 3）,抛物线顶点为M,连接 AC并延长 AC交抛物线对称轴于点Q,且点 Q到 x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点 D,使得 DC与 AC垂直,求出点 D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点 P,使得 S PAM=3S ACM,如存在,求出 P 点

22、坐标；如不存在,请说明理由 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析】 第一问要算的比较多,学习必备欢迎下载看出抛物线对称轴为x=1, 然后设顶点式解设直线以后求解析式,个二元方程组即可 . 其次问利用三角形相像求出点 N坐标 , 然后联立抛物线与直线 CN即可求出点 D.第三问考验对图形的懂得 , 假如能奇妙的将ACM的面积看成是四边形 ACEM减去AME,那么就会发觉四边形 ACEM刚好也是AOC和梯形 OCEM之和 , 于是可以求出 PM的距离 , 然后分类争论 PM的位置即可求解 . 【摸索 4】

23、2022,崇文,一模如图,抛物线yax2bx3 与x轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C,且OBOC3 OA（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P ,A ,C为顶点的三角形为直角三角形？给出坐标,但是如存在,求出P点坐标,如不存在,请说明理由；（III）直线y1 x 31交y 轴于D点,E为抛物线顶点如DBC,CBE,求的值【思路分析】此题虽然没有明确表达式中暗含了 X=0 时 Y=-3,于是 C 点得出,然后利用给定的等式关系写出 A,B 去求解析 式；其次问中,由于 AC是固定的,所以构成的直角三角形依据P 的不同有三种类型；留意分类争论；第三问就是少见

24、的计算角度问题,但是实际上也是用线段去看角度的相等；最便利就是利用正切值构建比例关系,发觉CBE= DBO,于是所求角度差就变成了求OBC；第三部分 摸索题解析名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【摸索 1 解析】解：（1）A 6 0, ,C0 4 3,OA6,OC4 3设 DE 与y轴交于点 M 由 DEAB可得DMCAOCA E y F D B x 又CD1 AC ,2CMCD1MDOACOCA2CM2 3,MD3同理可得EM3OM6 3 D 点的坐标为 3 6 3T M C S H （2）由

25、（ 1）可得点 M 的坐标为 0 6 3G 由 DEAB,EMMD,1 1 可得 y 轴所在直线是线段ED的垂直平分线O 点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在y轴上 ED 与 CF 相互垂直平分 CD DF FE EC四边形 CDFE 为菱形,且点 M为其对称中心作直线 BM 设 BM 与 CD、EF分别交于点 S 、点 T 可证FTMCSM FTCSSTSDDFFTTS FECD , TESD ECDF, TEECCS直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形名师归纳总结 由点B6 0, ,点M0 6 3在直线ykxb 上,第 12 页,共 17 页- - - - - -

26、-精选学习资料 - - - - - - - - - 可得直线 BM 的解析式为y3x学习必备欢迎下载6 3（3）确定 G 点位置的方法：过 A点作AHBM 于点 H 就 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点由 OB 6,OM 6 3,可得 OBM 60 ,BAH 30 在 RtOAG 中,OG AO tan BAH 2 3 G 点的坐标为 0 2 3（或 G 点的位置为线段 OC 的中点）【摸索 2 解析】解：（1）点 C的坐标为 3,0 . 点 A、B的坐标分别为A8,0,B 0,6,y2a x3x8. 可设过 A、B、C三点的抛物线的解析式为1 4. 11x6. y将x0,y6代入抛物线

27、的解析式,得a 过 A、B、C三点的抛物线的解析式为y1 4x4（2）可得抛物线的对称轴为x11,顶点 D的坐标为211,25,设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G. 216直线 BC的解析式为y2x6.- 设点 P 的坐标为 , 2x6. 解法一：如图8,作 OP AD交直线 BC于点 P,B连结 AP,作 PMx 轴于点 M. 名师归纳总结 OP AD,11PCGAxOM POM= GAD,tan POM=tanGAD. DPMDG GA,即2x6825. 16 11OMx图 8 第 13 页,共 17 页2解得x16. 经检验x16是原方程的解 . 77此时点 P的坐标为16 10 ,7

28、7. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 但此时OM16,GA5,OMGA. 学习必备欢迎下载72OM GAOP , AD , POM GAD ,cos POM cos GAD OPAD,即四边形的对边 OP与 AD平行但不相等, 直线 BC上不存在符合条件的点 P. 解法二：如图 9,取 OA的中点 E,作点 D关于点 E的对称点 P,作 PNx 轴于点 N. 就 PEO=DEA,PE=DE. 可得PEN DEG 由 OE OA 4,可得 E点的坐标为 4,0 . 2NE=EG=3, ON=OE NE=5,NP=DG=25 . 2 2 165 25 点

29、 P 的坐标为 , . 2 16 x=5 时,2 x 6 2 56 1 25,2 2 16 点 P 不在直线 BC上. 直线 BC上不存在符合条件的点P . yyB B名师归纳总结 - - - - - - -PQH11NCEGAx11CAxOODK（3） QAQO 的取值范畴是 图 9 0QAQO4. T图 10 说明：如图10,由对称性可知QO=QH,QAQOQAQH . 当点 Q与点 B 重合时, Q、H、A 三点共线, QAQO 取得最大值4（即为 AH的长）；设线段 OA的垂直平分线与直线BC的交点为 K,当点 Q与点 K重合时,QAQO 取得最小值0. 第 14 页,共 17 页精选

30、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载DCA【摸索 3 解析】PEB3. ,1解：（1）设直线 AC的解析式为图 11 y kx3,把 A（ 1,0）代入得k直线 AC的解析式为y3x3. a依题意知,点Q的纵坐标是 6. 把y6代入y3x3中,解得x1,点 Q（ 1,6）点 Q在抛物线的对称轴上,抛物线的对称轴为直线x1. 设抛物线的解析式为yax21n,由题意,得4 an0,解得an3n4 .抛物线的解析式为yx1 24. （2）如图,过点C作 AC的垂线交抛物线于点D,交 x 轴于点 N,就ACOANCtanANCtanACO,OCOA. ONOCOA1,OC3

31、,ON9. 点 N的坐标为（ 9,0）名师归纳总结 可求得直线CN的解析式为y1 x 33. 7 ,3图x第 15 页,共 17 页由y1 3x34,解得x720,即点 D的坐标为（20 9）. 5 分3y1 2yx9y（3）设抛物线的对称轴交x 轴于点 E,依题意,得AE2,EM4,AM25. AO E 1P1,mSACMSAOCS 梯形OCMESAME1,且S PAM1PMAEPM,2C又SPAM3SACM,PM3. M设 P（1,m）,图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当点 P 在点 M上方时, PMm4 3,m1, P（1,

32、 1）. 当点 P 在点 M下方时, PM 4m3,m 7, P（1, 7）. 综上所述,点 P 的坐标为 P （1, 1）,2P （1, 7） . 【摸索 4 解析】解：（I ）抛物线yax2bx3 与y 轴交C点,03,且OBOC3 OAA,10,B,30 代入yax2bx3,得P1AOACOa 9ab3 3 b0 30a b12yx22x3（II ）当P AC90时 可证P 1 A P2 C RtP 1AO中,tanP 1AOtanACO11P0,1 33名师归纳总结 1P0,同理 : 如图当P 2CA90时,P 29 0,P ,C为 顶 点 的 三 角 形 为 直 角 三 角 形 , 分 别 是当CP 3A90时,P 300, 综 上 , 坐 标 轴 上 存 在 三 个 点 P , 使 得 以 点x22x3,得顶点E,141P 29 ,0 ,P 30 ,03（III）由y1x1,得D01,由y3BC3,2 CE,2BE25第 16 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BC2CE22 BE ,BCE学习必备欢迎下载为直角三角形名师归纳总结 又tanCE1OD1DBO第 17 页,共 17 页CB3RtDOB 中tanDBOOB3DBOOBC45- - - - - - -