2022年中考数学真题分类汇编开放探究型问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 中考数学分类汇编一、挑选题 1234567891011 12131415161718 192021 222324 252627282930二、填空题1（ 2022 江苏盐城） 写出图象经过点1, 1的一个函数关系式 【答案】 y=-x 或 y=-1 x或 y=x 2-2x,答案不唯独234567891011 12131415161718 192021 222324 252627282930三、解答题1（2022 安徽蚌埠二中） 已知 O 过点 D（3,4）,点 H 与点 D 关于 x 轴对称, 过 H 作 O的切线交 x 轴于点 A

2、； 求sinHAO的值；x 如图,设 O 与 x 轴正半轴交点为P,点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合）,连接并延长DE 、 DF 交 O 于点 B 、 C ,直线 BC 交 x 轴于点 G ,如DEF 是以 EF 为底的等腰三角形,摸索究sinCGO的大小怎样变化,请说明理由；y y D D O A O F E P G H B C 【答案】名师归纳总结 sinHAOHO3第 1 页,共 19 页AO5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）摸索究sinCGO的大小怎样变化,请说明理由. 解：当 E 、 F 两点在 OP 上运动时（与点 P 不重

3、合）,sin CGO 的值不变过点 D 作 DM EF 于 M ,并 延长 DM 交 O 于 N , 连接 ON ,交 BC 于 T ；由于 DEF 为等腰三角形,DM EF,所以 DN 平分 BDC所以弧 BN= 弧 CN ,所以 OT BC,所以 CGO MNO所以 sin CGO = sin MNO OM 3ON 5即当 E 、 F 两点在 OP 上运动时（与点 P不重合）,sin CGO 的值不变；2（ 2022 安徽蚌埠提前）如图 1、2 是两个相像比为 1：2 的等腰直角三角形,将两个三角形如图 3 放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的始终角边重合； 在图 3 中,绕点 D 旋

4、转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图 4；2 2 2求证：AE BF EF； 如在图 3 中,绕点 C 旋转小直角三角形,使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 E、F,如图 5,此时结论 AE 2BF 2EF 2是否仍旧成立？如成立,请给出证明；如不成立,请说明理由；图 1 D A C B A C B 图 2 D 图 3 C 名师归纳总结 E D 第 2 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C F E A D B A 图 4 如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 上的点,满意 CEF

5、 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半,AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N,试问线段 BM 、MN 、 DN 能否构成三角形的三边长？如能,指出三角形的外形,并给出证明；如不能,请说明理由；A D N 【答案】在图 4 中,由 于ADBD,将AED绕点D旋转180 ,得M B ED,F AEB E、EDED；连接EFB E C FBEABCABEABCCAB90在RtB EF中有EB2BF2EF2又FD 垂直平分E EEFFE代换得AE2BF2EF2在图 5 中,由ACBC,将AEC绕点 C 旋转 90 ,得B ECAEBE,CECE连接EFFBEABCCBEABCCAB90在R

6、tB EF中有EB2BF2EF2又可证CEFC EF,得EFFEV 代换得AE2BF2EF23将ADF 绕点 A瞬时针旋转 90 ,得ABG ,且FDGB,AFAG由于CEF 的周长等于正方形ABCD 周长的一半,所以A N D CEEFCFCDCBCFFDCEBE,F M 名师归纳总结 G 第 3 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 化简得EFEG从而可得AEG AEF ,推出 EAF EAG 45此时该问题就转化为图 5 中的问题了；由前面的结论知：2 2 2MN BM DN,再由勾股定理的逆定理知：线段 BM 、 MN 、 DN 可

7、构成直角三角形；3（2022 安徽中考 ）如图,已知ABC A 1B 1C 1,相像比为 k （k1）,且 ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c （abc）,A 1B 1 C 1的三边长分别为1a 、1b 、1c ；1b 、1c 进如c1a,求证：akc；A 1B 1 C 1,使得 a 、 b 、 c 和1a、如c1a,试给出符合条件的一对ABC 和都是正整数,并加以说明；如b1a,c1b,是否存在ABC 和A 1B 1 C 1使得k2？请说明理由；【答案】名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4（ 2022 江

8、苏盐城）（此题满分12 分）已知：函数y=ax2+x+1 的图象与x 轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如下列图,设二次函数 y=ax 2+x+1 图象的顶点为 B,与 y 轴的交点为 A,P 为图象上的一点,如以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B,求 P 点的坐标；（3）在 2中,如圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M ,摸索究点 M 是否在抛物线 y=ax 2+x+1 上,如在抛物线上,求出 M 点的坐标；如不在,请说明理由y B A O x 【答案】解 ：（1）当a = 0时,y = x+1,图象与x轴只有一个公共点 1分 当a 0时, =1- 4

9、a=0,a = 1 4,此时,图象与x轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=1 4 x 2+x+1 （3 分）（2）设 P 为二次函数图象上的一点,过点 P 作 PCx 轴于点 C y=ax 2+x+1 是二次函数,由（1）知该函数关系式为：y= 14 x 2+x+1,就顶点为 B（-2, 0）,图象与 y 轴的交点坐标为 A（ 0,1） （ 4 分）以 PB 为直径的圆与直线AB 相切于点 BPBAB就 PBC= BAORt PCBRt BOAPCBC,故 PC=2BC, （5 分）OBAO设 P 点的坐标为 x,y, ABO 是锐角, PBA 是直角, PBO 是钝角, x-2

10、 BC=-2-x, PC=-4-2 x,即 y=-4-2 x, P 点的坐标为 x,-4-2x 点 P 在二次函数y=1 4 x 2+x+1 的图象上, -4-2x=1 4 x2+x+1 （6 分）解之得： x1=-2,x2=-10 x-2 x=-10, P 点的坐标为： -10,16 （7 分）（3）点 M 不在抛物线y=ax 2+x+1 上 （8 分）由（ 2）知： C 为圆与 x 轴的另一交点,连接CM,CM 与直线 PB 的交点为 Q,过点 M名师归纳总结 作 x 轴的垂线,垂足为D,取 CD 的中点 E,连接 QE ,就 CM PB,且 CQ=MQ第 5 页,共 19 页- - -

11、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - QE MD,QE=1 2 MD ,QECECM PB,QE CE PCx 轴 QCE =EQB =CPBtanQCE = tanEQB= tanCPB =1 2CE=2QE=22BE=4BE,又 CB=8,故 BE=8 5, QE=16（11 分）（12 分）Q 点的坐标为 -18 5,16 5可求得 M 点的坐标为 14 5,32 5 1 414 5 2+14 5 +1 =14432 5C 点关于直线PB 的对称点 M 不在抛物线y=ax2+x+1 上 其它解法,仿此得分 y P MCEQB 1 A Dx -2 O 1 5（ 2

12、022 辽宁丹东市） 如图,平面直角坐标系中有始终角梯形 8,0）,点 N 的坐标为（ 6, 4）OMNH ,点 H 的坐标为（1）画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180的图形 OABC,并写出顶点 A, B,C 的坐标（点 M 的对应点为 A, 点 N 的对应点为 B, 点 H 的对应点为 C）；（2）求出过 A,B,C 三点的抛物线的表达式；（3）截取 CE=OF=AG=m,且 E,F,G 分别在线段CO,OA,AB 上,求四边形BEFG的面积 S 与 m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范畴； 面积 S 是否存在最小值 .如存在,恳求出这个最小值；如不存在,请说明理由；（

13、4）在（ 3）的情形下,四边形BEFG 是否存在邻边相等的情形,如存在,请直接 写出此时 m 的值,并指出相等的邻边；如不存在,说明理由yH（-8,0）N（-6,-4）OxM第 26 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】（1） 利用中心对称性质,画出梯形OABC 1 分A, B,C 三点与 M,N,H 分别关于点 O 中心对称,A（ 0,4）,B（6,4）,C（8,0）（写错一个点的坐标扣 1 分） 3 分y A D B F H 8 O M ax2E C x N 6, 4 （2）设过 A,B,C 三点的抛

14、物线关系式为ybxc ,抛物线过点A（ 0,4）,4 4 分c4就抛物线关系式为yax2bx将 B（6, 4）, C（8,0）两点坐标代入关系式,得名师归纳总结 36a6 b44, 5 分0第 7 页,共 19 页64a8 b4解得a31 4, 6 分b2所求抛物线关系式为：y1x23x4 7 分42（3） OA=4, OC=8, AF=4m,OE=8m 8 分S 四边形EFGBS 梯形ABCOSAGFSEOFSBEC1OA（AB+OC）1AFAG1OEOF1CEOA222214（68）1m 4m 1m 8m 14m2222m28m28（ 0 m 4） 10 分- - - - - - -精选学

15、习资料 - - - - - - - - - Sm4212 当m4时, S 的取最小值又 0 m4,不存在 m 值,使 S 的取得最小值 12 分（4）当 m 2 2 6 时, GB=GF,当 m 2 时, BE=BG 14 分6（2022 山东青岛）问题再现现实生活中, 镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“ 平面图形的镶嵌” 中,对于单种多边形的镶嵌,主要讨论了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题 今日我们把正多边形 的镶嵌作为讨论问题的切入点,提出其中几个问题,共同来探究 . 我们知道,可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如右图中,用正方形镶嵌平面,可以发

16、觉在一个顶点O 四周环围着4 个正方形的内角. 个O 试想：假如用正六边形来镶嵌平面,在一个顶点四周应当环围着正六边形的内角问题提出假如我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面,可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析： 我们可以将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中可以发觉,解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点详细地说, 就是在镶嵌平面时,一个顶点四周环绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证 1：在镶嵌平面时,设环绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角依据题

17、意,可得方程：90x82180y360,整理得：2x3y8,2 个正八边形的内角可以拼8我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为x1y2结论 1：镶嵌平面时,在一个顶点四周环围着1 个正方形和成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？如能,请依据上述方法进行验证,并写出全部可能的方案；如不能,请说明理由验证 2：结论 2：上面,我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情形,仅仅得到了一部分组合方案,信任同学们用同样的方法,肯定会找到其它可能的组合方案问题拓广请你仿照上面的讨论方式,方

18、案,并写出验证过程探究出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的3：猜. 想验证 3：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结论 3：. 【答案】解： 3 个；a 个正三角形和 1 分验证 2：在镶嵌平面时,设环绕某一点有b 个正六边形的内角可以拼成一个周角依据题意,可得方程：60 a 120 b 360整理得：a 2 b 6,a 2 a 4可以找到两组适合方程的正整数解为 和 3 分b 2 b 1结论 2：镶嵌平面时,在一个顶点四周环围着 2 个正三角形和 2 个正六边形的内角或者环围着 4 个正三角形和 1

19、个正六边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 5 分猜想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6 分验证 3：在镶嵌平面时,设环绕某一点有 m 个正三角形、 n 个正方形和 c 个正六边形的内角可以拼成一个周角 . 依据题意,可得方程：60 m 90 n 120 c 360,整理得： 2 m 3 n 4 c 12,m 1可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 n 2 . 8 分c 1结论 3：镶嵌平面时,在一个顶点四周环围着 1 个正三角形、 2 个正方形和 1 个正六边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用

20、正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. .） 10 分（说明：此题答案不惟一,符合要求即可7（ 2022 山东青岛） 已知：把 Rt ABC 和 Rt DEF 按如图（ 1）摆放（点 C 与点 E 重合）,点 B、C（E）、F 在同一条直线上6 cm,EF = 9 cmACB = EDF = 90 , DEF = 45 ,AC = 8 cm,BC = 如图（ 2）, DEF 从图（ 1）的位置动身,以 1 cm/s 的速度沿 CB 向 ABC 匀速移动,在 DEF 移动的同时,点P 从 ABC 的顶点 B 动身,以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动.当 D

21、EF 的顶点 D 移动到 AC 边上时,DEF 停止移动,点P 也随之停止移动DE 与AC 相交于点 Q,连接 PQ,设移动时间为t（s）（0t4.5）解答以下问题：（1）当 t 为何值时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？（2）连接 PE,设四边形 APEC 的面积为 y（cm 2）,求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t,使面积 y 最小？如存在,求出 y 的最小值；如不存在,说明理由（3）是否存在某一时刻 t,使 P、Q、F 三点在同一条直线上？如存在,求出此时 t 的值；如不存在,说明理由（图（ 3）供同学们做题使用）A D P A D Q 名师归纳总结 B C （

22、E）F B E C F 第 9 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A B C 图（ 3）【答案】解：（1）点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上,AP = AQ. DEF = 45 , ACB = 90 , DEF ACB EQC = 180 , EQC = 45 . DEF =EQC. CE = CQ. 由题意知： CE = t,BP =2 t,CQ = t. AQ = 8t. 在 Rt ABC 中,由勾股定理得：AB = 10 cm . 就 AP = 10 2 t. 102 t = 8t.解得： t = 2. 名师归纳总结 答：当 t

23、 = 2 s 时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. 4 分第 10 页,共 19 页（2）过 P 作 PMBE ,交 BE 于 M,A BMP90. 在 Rt ABC 和 Rt BPM 中, sinBACPM,P D ABBPPM8. PM = 8 5t . B M E Q F 2t10C BC = 6 cm,CE = t, BE = 6 t. y = SABCSBPE = 1 2BCAC 1 2BE PM = 1 2681 2图（ 2）6 t8t5=4t224t24= 4t3284. 5555a40,抛物线开口向上. 5当 t = 3 时, y 最小= 84 5. 答：当 t = 3s

24、 时,四边形APEC 的面积最小,最小面积为84cm2. 8 分5（3）假设存在某一时刻t,使点 P、 Q、F 三点在同一条直线上. 过 P 作 PNAC ,交 AC 于 N,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ANPACBPNQ90. PANBAC , PAN BAC. P A D F PN BCAPAN. ABACN Q PN102 tAN . 8610PN66t,AN88t . B E C 55NQ = AQAN,图（ 3）NQ = 8t88t = 3 5t 5 ACB = 90 , B、C（E）、F 在同一条直线上, QCF = 90 , QCF

25、 = PNQ. FQC = PQN, QCF QNP . PN FCtNQ. 66t3t. 559CQtt 066t359t5解得： t= 1. 答：当 t = 1s,点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 12 分C；8（ 2022 山东烟台）（此题满分14 分）如图,已知抛物线y=x2+bx-3a 过点 A （1,0）,B0,-3, 与 x 轴交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）如在第三象限的抛物线上存在点 点 P 的坐标；P,使 PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形,求（3）在（ 2）的条件下,在抛物线上是否存在一点 Q,使以 P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形？如存在,恳

26、求出点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由；【答案】名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9（ 2022 四川凉山） 如图, B 为线段 AD 上一点,ABC和BDE都是等边三角形,连接 CE 并延长,交 AD 的延长线于 F ,ABC 的外接圆 O 交 CF 于点 M ；（1）求证： BE 是 O 的切线；（2）求证：AC 2CM CF；（3）如 过点 D 作 DG BE 交 EF 于点 G,过 G 作 GH DE 交 DF 于点 H ,就易知DHG 是等边三角形；设等边ABC、BDE、DHG 的面积分别为S 、S

27、、S ,摸索究 S 、S 、CS 之间的数量关系, 并说明理由；MEO名师归纳总结 ABDF第 12 页,共 19 页第 26 题图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】10（2022 四川眉山） 如图, Rt AB C 是由 Rt ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的,连结 CC 交斜边于点E, CC 的延长线交BB 于点 F满意什么关系时,ACE 与 FBE 是（1）证明：ACE FBE；（2）设 ABC=, CAC =,摸索究、全等三角形,并说明理由BCFBE名师归纳总结 CA第 13 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 -

28、 - - - - - - - - 【答案】（1）证明： Rt AB C 是由 Rt ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的,AC=AC ,AB=AB , CAB=C AB （1 分） CAC =BAB ACC =ABB （ 3 分）又 AEC=FEB ACE FBE （4 分）（2）解：当2时,ACE FBE （5 分）在 ACC 中, AC=AC ,ACC1802CAC180290 （6 分）在 Rt ABC 中,BACC +BCE=90,即 90BCE90,FCBECA BCE= ABC=, （8 分） ABC=BCECE=BE由（ 1）知：ACE FBE, ACE FBE （9 分）11（2

29、022 浙江嵊州提前） （ 10 分）（ 1）请在图的正方形 ABCD 内,画出访 APB 90的一个点 P,并说明理由；（ 2）请在图的正方形 ABCD 内（含边）,画出访 APB 60的全部的点 P,并说明理由；（ 3）如图,现在一块矩形钢板ABCD ,AB 4,BC3,工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB 和 CPD 钢板,且 APB CPD60,请你在图中画出符合要求的点P 和 P ；图图图名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 1如图,点 P 为所求（2）如图,圆上实线部分弧EF 为所求y

30、1x2bxc与 y 轴相交于 C,与（3）如图,点p 、 p 为所求12（2022 重庆市潼南县）（12 分）如图 , 已知抛物线2x 轴相交于 A 、B,点 A 的坐标为（ 2,0）,点 C 的坐标为（ 0,-1）. （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点,过点 E 作 DE x 轴于点 D,连结 DC,当DCE 的面积最大时,求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P,使 ACP 为等腰三角形,如存在,求点 P 的坐标,如不存在,说明理由 . yBoDAxEC26 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - -

31、 - - - - - - - yBoAxC备用图【答案】解：（1）二次函数 y 1 x2bx c 的图像经过点 A（2,0）C0, 1 22 2 b c 0c 11解得：b=c=1-2 分2二次函数的解析式为 y 1x 2 1x 1-3 分2 2（2）设点 D 的坐标为（ m,0） （0m2） OD=mAD=2- m由 ADE AOC 得,AD DE-4 分AO OC2 m DE2 1DE= 2 m-5 分2 CDE 的面积 = 12 mm 2 22m m 1 2 1= = m 14 2 4 4当 m=1 时, CDE 的面积最大名师归纳总结 点 D 的坐标为（ 1,0）-8分1x1第 16

32、页,共 19 页（3）存在由1知：二次函数的解析式为y1x222设 y=0 就01x21x1解得： x1=2 x2= 122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 B 的坐标为（ 1,0）C（0, 1）设直线 BC 的解析式为： y=kxbbkb0解得： k=-1 b=-1 1直线 BC 的解析式为 : y= x1 在 Rt AOC 中, AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5点 B1,0 点 C（ 0, 1） OB=OC BCO=450当以点 C 为顶点且 PC=AC=5 时,设 Pk, k1 过点 P 作 PHy 轴于 H HCP=

33、 BCO=450CH=PH= k在 Rt PCH 中10101）-10 分k2+k2=52解得 k1=10 , k2=22P1（10 ,2101） P2（10 ,222以 A 为顶点,即AC=AP=5设 Pk, k1 过点 P 作 PGx 轴于 G AG= 2 kGP= k12在 Rt APG 中AG2 PG 2=AP（ 2k2+k12=5 解得： k1=1,k2=0舍 P31, 2 -11 分 以 P 为顶点, PC=AP 设 Pk, k1 过点 P 作 PQy 轴于点 Q PLx 轴于点 L Lk,0 QPC 为等腰直角三角形PQ=CQ= k 由勾股定理知CP=PA= 2 k AL= k-2 , PL= k1在 Rt PLA 中名师归纳总结 2 k2=k22k12第 17 页,共 19 页- - - - - - -