2022年中考数学专题训练-旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补学问关联图等腰三角形 手拉手模型 等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）旋转变换对角互补模型特别角一般角角含半角模型特别角一般角等线段变换（与圆相关）真题演练【练 1】 （2022 北京中考）在ABC中, ABAC ,BAC（ 060 ）,将线段名师归纳总结 BC 绕点 B 逆时针旋转60得到线段 BD第 1 页,共 29 页（1）如图 1,直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2,BCE150,ABE60,判定ABE的外形并加以证明；（3）在（ 2）的条件

2、下,连结DE ,如DEC45,求的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 2】 （20XX 年北京中考）在优秀教案欢迎下载,BAC, M 是 AC 的中点, PABC中, BABC是线段上的动点,将线段 PA绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ （1）如 且点 P 与点 M 重合（如图 1）,线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D ,请补全图形,并写出 CDB 的度数；（2）在图 2 中,点 P 不与点 B,M 重合,线段 CQ 的延长线与射线 BM交于点D,猜想 CDB 的大小（用含 的代数式表示） ,并加以证明；（3）对于适当大小的,当点

3、 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B,M重合）时,能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ,且 PQ QD ,请直接写出 的范围名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载例题精讲考点 1：手拉手模型：全等和相像包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形相伴旋转出全等,处于各种位置的旋转模型,及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出相伴全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出相伴全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰

4、直角出相伴全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出相伴相像）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载CEFG都是正方形,且ABCE【例 1】 （14 年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形（1）如图1,连接BG、DG求证：BGDE；CEFG围着点C旋转到（2）如图2,假如正方形ABCD的边长为2,将正方形某一位置时恰好使得CGBD,BGBD求BDE的度数；请直接写出正方形CEFG的边长的值【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型,突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？名师归纳总结 - -

5、 - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】 （ 20XX年西城一模）优秀教案欢迎下载BEF是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形,BEF 90, BE EF ,连接 DF , G 为 DF 的中点,连接 EG , CG , EC ；（1）如图24-1,如点 E 在 CB 边的延长线上, 直接写出 EG 与 GC 的位置关系及 ECGC的值；（2）将图 24-1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转至图24-2 所示位置,请问（1）中所得的结论是否仍旧成立？如成立,请写出证明过程；如不成立,请说明理由；名师归纳总结 FA图GDEFAG

6、D第 5 页,共 29 页EBCB图C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【题型总结】此类型题目方法多样,你仍能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点帮助线你仍能说出几种？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载4,以线段 AB 为边作ABD,【例 3】 （20XX 年海淀九上期末） 如图 1,在ABC中,BC使 得 A DB D,连 接 DC , 再 以 DC 为 边 作C D E, 使 得 D CD E,CDEADBAD,DE之间的数量（1）如

7、图2 ,当ABC45且90 时,用等式表示线段关系；ADB CE图 1 （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移, 得到线段 EF ,连接 BF,AF如90 ,依题意补全图3,求线段 AF 的长；请直接写出线段AF 的长（用含的式子表示） BDAAADCBDCBCEEE图 2 图 3 备用图名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【例 4】 （13 年房山一模）（1）如图 1,ABC 和CDE 都是等边三角形, 且 B 、C 、D 三点共线, 联结 AD 、BE 相交于点 P ,求证： BE AD

8、 （2）如图 2,在BCD 中,BCD 120,分别以 BC、 CD 和 BD 为边在BCD外部作等边ABC、等边CDE 和等边BDF,联结 AD 、BE 和 CF 交于点 P ,以下结论中正确选项 _（只填序号即可） AD BE CF ； BEC ADC； DPE EPC CPA 60；（3）如图 2,在（ 2）的条件下,求证：PB PC PD BE EC名师归纳总结 BAPEDABCFD第 8 页,共 29 页APP图 1 CB图 2 DDF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小,夹角都为 旋转

9、与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题,同时与旋转有关路程最短的问题,比较重要的就是费马点问题费尔马问题告知我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载考点 2： 角含半角模型：全等 秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等AAEDDGAEDEABDBBFCFCCFGEBCFGEABDACFBDECAFBDEC【例 1】 （20XX 年西城期末）已知：如图,正方形ABCD 的边长为a, BM , DN 分别平分正方形

10、的两个外角,且满意MAN45,连结 MC ,NC ,MN 猜想线段 BM ,DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载第 11 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【例 2】 （20XX 年平谷一模）（1）如图 1,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,EAF45,连接EF, 就EF、BE、FD之间的数量关系是：EFBEFD连结BD,交AE、AF于点M、N,且MN

11、、BM、DN满意MN2BM2DN2,请证明这个等量关系；（2）在ABC中,ABAC,点D、E分别为BC边上的两点如图 2,当BAC60,DAE30时,BD、DE、EC应满意的等量关系是 _ ；如图 3,当BAC,090 ,DAE12时,BD、DE、EC2应满意的等量关系是_ 【参考：sincos21】BAAAE MN名师归纳总结 CFDBD图2ECBDE 图3C图1第 12 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【题型总结】角含半角的特点有哪些,哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的帮助线？

12、考点 3：对角互补模型常和角平分线性质一起考,一般有两种解题方法（全等型 90）（全等型 120）ACEBAC）MDDNEBOO（全等型 任意角ADACADCABDOECDBOEBBDOEBF和直角三角形CBD,其中【例1】 四边形被对角线ABCD分为等腰直角三角形A和C都是直角,另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD的面积AB DC名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载第 14 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】

13、 已知：点P是MON优秀教案欢迎下载PA交射线OM于点A,将射线PA的平分线上的一动点, 射线绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使APBMON180的交点,当（1）利用图 1,求证： PAPB；SPOB3 SPCB时,求 PB 与 PC 的比（2）如图1,如点C是AB与OP值；名师归纳总结 OACMPTNOACMPTN第 15 页,共 29 页BB图 1 图 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【题型总结】对角互补模型常常在哪里题目里显现,题目中有哪些提示信息？常常和哪种图形同时显现？【例 3】初二期末 已知：如图,在ABC中,A

14、BAC , BAC,且 60120P为ABC 内部一点,且 PC AC ,PCA 120（1）用含 的代数式表示 APC ,得 APC =_ ；（2）求证：BAP PCB ；（3）求 PBC的度数AP名师归纳总结 BC第 16 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来,依据圆的相关性质解题是一种比较便利的方法；（名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载全能突破【练 1】 （20XX年

15、昌平九上期末）如图,已知ABC 和ADE都是等腰直角三角形,BACDAE 90,ABAC , ADAE 连接 BD 交 AE 于 M ,连接 CE 交 AB于 N , BD 与 CE 交点为 F ,连接 AF （1）如图 1,求证： BDCE ；BFME（2）如图1,求证： AF 是CFD 的平分线；（3）如图 2,当AC2,BCE15时,求 CF 的长 . BNFENMACACD名师归纳总结 图1D图2第 18 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案ABC欢迎下载都是等边三角形,M是 BC 与EF【练 2】 （2022 西城九上期

16、末）已知：,DEF的中点,连接 AD , BE. （1）如图 1,当 EF 与 BC 在同一条直线上时,直接写出 AD与BE的数量关系和位置关系；（2）ABC固定不动, 将图 1 中的DEF 绕点 M 顺时针旋转（o 0 o 90 ）角,如图 2 所示,判定（ 1）中的结论是否仍旧成立,如成立,请加以证明；如不成立, 说明理由；（3） ABC 固定不动,将图 1 中的 DEF绕点M旋转（0 o90 o）角,作 DH BC 于点 H 设 BHx,线段 AB , BE , ED , DA 所围成的图形面积为 S 当 AB ,DE 时,求S关于x的函数关系式, 并写出相应的 x的取值范畴图 1 图

17、2备用图名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 3】 （20XX 年朝阳一模优秀教案ABC欢迎下载BC ,在AED中, ADED,24 题）在中, AC点 D 、 E 分别在 CA 、 AB 上,（1）图,如ACBADE90,就 CD 与 BE 的数量关系是 _；（2）如ACBADE120,将AED绕点 A 旋转至如图所示的位置,就 CD与 BE 的数量关系是 _；名师归纳总结 （3）如ACBADE2 090 ,将AED绕点 A 旋转至如图所示的第 20 页,共 29 页位置,探究线段CD 与 BE 的数量关系,

18、并加以证明（用含的式子表示）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 4】 （20XX优秀教案欢迎下载1,在 RtABC中,年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图BAC90, ABAC,点, E 在边 BC 上,DAE45如BD ,CE ,求 DE 的长DCEDFCEDDFCEA图 1 BA图 2 BA图 3 B小辉发觉,将绕点A 按逆时针方向旋转90o,得到ACF ,连接 EF （如图2）,由 图 形 旋 转 的 性 质 和 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 以 及 DAE45, 可 证FAEDAE,得 FEDE解 FCE ,可求得 EF 即

19、 DE 的长请回答：在图 2中, FCE 的度数是 _,DE 的长为 _ Rt ABC _参考小辉摸索问题的方法,解决问题：名师归纳总结 如图 3,在四边形ABCD中, ABAD,BD180E,F分别是边 BC,CD第 21 页,共 29 页上的点,且EAF1BAD猜想线段 BE,EF,FD之间的数量关系并说明理由2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 5】优秀教案欢迎下载中,AC,BD为对角线, 将BAC（ 11 年石景山一模） 已知： 如图, 正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转045,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC CD于点E、点F,

20、联结EF、EQ（1）在BAC的旋转过程中,AEQ的大小是否转变,如不变写出它的度数,如转变,写出它的变化范畴（直接在答题卡上写出结果,不必证明）；（2）探究APQ与AEF的面积的数量关系,写出结论并加以证明DAQFP名师归纳总结 BEC第 22 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案ABC欢迎下载AC ,在BAC【练 6】 （20XX 年延庆九上期末） 已知：是O 的内接三角形, AB所对弧 AC 上,任取一点 D ,连接 AD,BD,CD,（1）如图 1,BAC,直接写出 ADB 的大小（用含 的式子表示）；（2）如图 2,假如

21、BAC 60,求证： BD CD AD ；（ 3）如图 3,假如 BAC 120,那么 BD CD 与 AD 之间的数量关系是什么？写出推测并加以证明；（4）假如BACB,直接写出BDCD 与 AD 之间的数量关系. DCODBCOAADOB CA名师归纳总结 图 1 图 2 图 3 第 23 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 7】 （1如图,在四边形ABCD优秀教案AD欢迎下载D90,E、F分别是边BC、CD中,AB,B上的点,且EAF =1BAD求证：EFBEFD; 22 如图在四边形ABCD中,ABAD,B+D180,E、F

22、分别是边BC、CD上的点,且EAF1BAD, 1中的结论是否仍旧成立？不用证明23 如图,在四边形ABCD中,ABAD,BADC180,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且EAF1BAD, 1 中的结论是否仍旧成立？2如成立,请证明；如不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明FAADADD名师归纳总结 BECFBEFBCE第 24 页,共 29 页C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 8】 小华遇到这样一个问题,优秀教案欢迎下载30o,BC6,AC5,在ABC如图 1, ABC 中, ACB内部有一点 P ,连接 PA、PB、PC,求 PA P

23、B PC 的最小值小华是这样摸索的：要解决这个问题, 第一应想方法将这三条端点重合于一点的线段分别,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据 “ 两点之间,线段最短” ,就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法, 发觉通过旋转可以解决这个问题他的做法是, 如图 2,将 APC绕点 C 顺时针旋转 60o,得到 EDC ,连接 PD、BE,就 BE 的长即为所求（1）请你写出图 2 中, PA PB PC 的最小值为 _；（2）参考小华的摸索问题的方法,解决以下问题：如图3,菱形 ABCD 中,ABC60o,在菱形 ABCD 内部有一点P ,请在图

24、3中画出并指明长度等于PAPBPC 最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）；如中菱形ABCD 的边长为4,请直接写出当PAPBPC 值最小时 PB 的长AAEADDBPCBPCB图 3 C图 1 图 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 9】 （20XX 年西城二模） 在优秀教案欢迎下载AC , AD 平分BAC 交 BCABC , BAC 为锐角, AB于点 D （1）如图1,如ABC 是等腰直角三角形,直接写出线段AC , CD , AB 之间的数量关系；（2） BC 的垂直平分线交 AD延长线于点

25、 E,交 BC 于点F如图 2,如 ABE 60,判定 AC , CE , AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；名师归纳总结 如图 3,如ACAB3 AE,求BAC 的度数第 26 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载MAN 为锐角, AD 平【练 10】 20XX 年 1 月西城八年级期末试题附加题 已知：如图,分MAN ,点 B ,点 C 分别在射线AM和 AN 上, ABAC . （1）如点 E 在线段 CA 上,线段 EC 的垂直平分线交直线线 AD 于点 G ,求证：EBFCAG ；AD 于点 F ,直线 BE

26、 交直（2）如（ 1）中的点 E 运动到线段 CA 的延长线上,（ 1）中的其它条件不变, 猜想 EBF与 CAG 的数量关系并证明你的结论 . 备用图 1 备用图 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【练 11】（ 2022 海淀一模）在优秀教案欢迎下载ABC中, ABAC ,将线段 AC 围着点 C 逆时针旋转得到线段 CD ,旋转角为,且 0 180 ,连接 AD , BD （1）如图 1,当 BAC 100,60 时,CBD 的大小为 _；（2）如图 2,当 BAC 100,20 时,求 M 的大小；（3）已知 BAC 的大小为 m （ 60 m 120）,如 M 的大小与（2 ）中的结果相同,请直接写出 的大小A ADBCBCD图 1 图 2 小结与复习1、旋转的基本模型特点2、费马点问题3、角平分线和垂直平分线帮助线,中点帮助线4、线段旋转的特点名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载第 29 页,共 29 页- - - - - - -