2015-2018年度高考-全国1卷理科数学试题及其答案解析-word版.doc

*. 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（ ） A．0 B． C． D． 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ） A． B． C． D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ） A． B． C． D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（ ） A． B．3 C． D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若满足约束条件，则的最大值为________． 14．记为数列的前项和．若，则________． 15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案） 16．已知函数，则的最小值是________． 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共60分。 17．（12分） 在平面四边形中，，，，． ⑴求； ⑵若，求． 18．（12分） 如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面平面； ⑵求与平面所成角的正弦值． 19．（12分） 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为． ⑴当与轴垂直时，求直线的方程； ⑵设为坐标原点，证明：． 20．（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． ⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； ⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分） 已知函数． ⑴讨论的单调性； ⑵若存在两个极值点，，证明：． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． ⑴求的直角坐标方程； ⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知． ⑴当时，求不等式的解集； ⑵若时不等式成立，求的取值范围． 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年山东，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年山东，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（ ） （A）1或 （B）或 （C） （D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年山东，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年山东，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（ ） （A）0 （B）2 （C）5 （D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， 当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） （A）160 （B）163 （C）166 （D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年山东，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（ ） （A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年山东，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年山东，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】，故选C． （9）【2017年山东，理9，5分】在中，角、、的对边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】所以， 故选A． （10）【2017年山东，理10，5分】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时，，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需，故选B． 第II卷（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2017年山东，理11，5分】已知的展开式中含有的系数是54，则 ． 【答案】4 【解析】，令得：，解得． （12）【2017年山东，理12，5分】已知、是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】， ，， ，解得：． （13）【2017年山东，理13，5分】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如 图，则该几何体的体积为 ． 【答案】 【解析】该几何体的体积为． （14）【2017年山东，理14，5分】在平面直角坐标系中，双曲线（，）的右支与焦 点为的抛物线（）交于、两点，若，则该双曲线的渐近线方程 为 ． 【答案】 【解析】，因为， 所以渐近线方程为． （15）【2017年山东，理15，5分】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质。下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ． ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【解析】①在上单调递增，故具有性质； ②在上单调递减，故不具有性质； ③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质； ④，令，则， 在上单调递增，故具有性质． 三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2017年山东，理16，12分】设函数，其中，已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． 解：（1）因为，所以 ，由题设知，所以，． 故，，又，所以． （2）由（1）得，所以． 因为，所以，当，即时，取得最小值． （17）【2017年山东，理17，12分】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内 部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点． （1）设是上的一点，且，求的大小； （2）当，时，求二面角的大小． 解：（1）因为，，，平面，，所以平面， 又平面，所以，又，因此． （2）解法一：取的中点，连接，，．因为，所以四边形为 菱形，所以．取中点，连接，，． ，， 为所求二面角的平面角．，． 在中，，由余弦定理， 所以，因此为等边三角形，故所求的角为． 解法二：以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如 图所示的空间直角坐标系．由题意得，，， 故，，，设是平面的一个法 向量．由可得取，得平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量．由可得取， 可得平面的一个法向量．所以．因此所求的角为． （18）【2017年山东，理18，12分】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； （2）用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望． 解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则． （2）由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4．则 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望是 =． （19）【2017年山东，理19，12分】已知是各项均为正数的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积． 解：（1）设数列的公比为，由已知．由题意得，所以， 因为，所以，因此数列的通项公式为 （2）过……向轴作垂线，垂足分别为……， 由（1）得记梯形的面积为． 由题意， 所以……+……+① 又……+② ①-②得 =，． （20）【2017年山东，理20，13分】已知函数，，其中是自然对数的底数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）令（），讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 解：（1）由题意，又，所以，因此曲线在点处的切 线方程为，即． （2）由题意得， 因为 ，令，则，所以在上单调递增． 所以当时，单调递减，当时， 1) 当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是 ； 2) 当时，，由，得，， ①当时，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以当时取得极大值． 极大值为， 当时取到极小值，极小值是 ； ②当时，，当时，，函数在上单调递增，无极值； ③当时，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，、单调递增；所以当时取得极大值，极大值是； 当时取得极小值．极小值是． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值， 极小值是；当时，函数在和和上单调递增， 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是； 极小值是． （21）【2017年山东，理21，14分】在平面直角坐标系中，椭圆（）的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）如图，动直线：交椭圆于A、B两点，C是椭圆上的一点，直线OC的斜率为， 且，M是线段OC延长线上一点，且，⊙M的半径为，OS、OT是⊙M的两条切线，切点分别为S、T，求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率． 解：（1）由题意知 ，，所以 ，因此椭圆的方程为． （2）设，联立方程得，由题意知， 且，所以 ． 由题意知，所以，由此直线的方程为．联立方程 得，因此 ． 由题意可知 ，而， 令，则，因此 ， 当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此， 所以最大值为． 综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为． 2016年高考全国统一考试试卷 数学（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 解：复数z满足2z+=3﹣2i， 设z=a+bi， 可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i． 解得a=1，b=﹣2． z=1﹣2i． 故选：B． 2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（ ） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞） 解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞）， B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）， ∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）． 故选：C． 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．120 D．140 解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7200=140， 故选：D 4．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（ ） A．4 B．9 C．10 D．12 解：由约束条件作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴|OA|＞|OC|， 联立，解得B（3，﹣1）． ∵， ∴x2+y2的最大值是10． 故选：C． 5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ） A．+π B．+π C．+π D．1+π 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=． 故R=，故半球的体积为：=π， 棱锥的底面面积为：1，高为1， 故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+π， 故选：C 6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立， 当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立， 故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件， 故选：A 7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ） A． B．π C． D．2π 解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+）， ∴T=π， 故选：B 8．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C． D．﹣ 解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+）， ∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0， 解得：t=﹣4， 故选：B． 9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣）， ∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1． ∴f（6）=f（1）， ∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（1）=﹣f（﹣1）， ∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1， ∴f（﹣1）=﹣2， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2， ∴f（6）=2． 故选：D． 10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件； 当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件； 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件； 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件； 故选：A 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为 解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1． 第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2； 第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3； 第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b， 故输出的i值为：3， 故答案为：3 12．若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ． 解：（ax2+）5的展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r， 令10﹣=5，解得r=2． ∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80 ∴a3=﹣80， 得a=﹣2． 13．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=b=， 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，）， 由2|AB|=3|BC|，可得 2•=3•2c，即为2b2=3ac， 由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0， 解得e=2（负的舍去）． 故答案为：2． 14．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为 解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3． 圆心到直线y=kx的距离为， 要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜． ∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=． 故答案为：． 15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下： ∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2， ∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根， 必须4m﹣m2＜m（m＞0）， 即m2＞3m（m＞0）， 解得m＞3， ∴m的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． 三、解答题,：本大题共6小题，共75分. 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+． （Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 解：（Ⅰ）证明：由得： ； ∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，； ∴，带入（1）得：； ∴a+b=2c； （Ⅱ）a+b=2c； ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2； ∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号； 又a，b＞0； ∴； ∴由余弦定理，=； ∴cosC的最小值为． 17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线． （I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （Ⅱ）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值． 证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH， ∵G、H为EC、FB的中点， ∴GQ，QH∥， 又∵EFBO，∴GQBO， ∴平面GQH∥平面ABC， ∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC． 解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC， 又∵OO′⊥面ABC， ∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3）， =（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0）， 由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3）， 设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量， 则，即， 取x0=1，则=（1，﹣1，﹣）， ∴cos＜，＞===﹣． ∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角， ∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为． 18．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5， n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5； ∵an=bn+bn+1， ∴an﹣1=bn﹣1+bn， ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a1=b1+b2， ∴11=2b1+3， ∴b1=4， ∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）cn===6（n+1）•2n， ∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①， ∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②， ①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2， ∴Tn=3n•2n+2． 19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对3个成语的概率； （II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX． 解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件， 故概率P=++=++=， （II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6， 则P（X=0）==， P（X=1）=2[+]=， P（X=2）=+++=， P（X=3）=2=， P（X=4）=2[+]= P（X=6）== 故X的分布列如下图所示： X 0 1 2 3 4 6 P ∴数学期望EX=0+1+2+3+4+6== 20．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R． （I）讨论f（x）的单调性； （II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立． （Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+， 得f′（x）=a（1﹣）+ ==（x＞0）． 若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立， ∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； （Ⅱ）解：∵a=1， 令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+． ∵ex＞1+x， ∴x＞ln（1+x）， ∴ex﹣1＞x，则x﹣1＞lnx， ∴F（x）＞=． 令φ（x）=，则φ′（x）=（x∈[1，2]）． ∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则， ∴F（x）＞恒成立． 即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立． 21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标． 解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，）， 即有b=，a2﹣c2=， 解得a=1，c=， 可得椭圆的方程为x2+4y2=1； （Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0， 由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0， 则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0）， 可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程， 可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得x1+x2=，即有中点D（，﹣）， 直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣． 即有点M在定直线y=﹣上； （ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0）， 则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）； S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•， 则=， 令1+2x02=t（t≥1），则== ==2+﹣=﹣（﹣）2+， 则当t=2，即x0=时，取得最大值， 此时点P的坐标为（，）． 2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】，，故选C． （2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】，，故选A． （3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（ ） （A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位 【答案】B 【解析】，只需将函数的图像向右平移个单位，故选B． （4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则BDCD=（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】由菱形ABCD的边长为，可知， ，故选D． （5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】当时，成立；当时，，解得，则 ；当时，不成立．综上，故选A． （6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（ ） （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B 【解析】由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，故选B． （7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形 绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】，故选C． （8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】，故选D． （9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线 所在的直线的斜率为（ ） （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 【答案】D 【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为即， 则，解得或，故选D． （10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由可知，则或，解得，故选C． 第II卷（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2015年山东，理11】观察下列各式： 照此规律，当时， ． 【答案】 【解析】 （12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】“”是真命题，则，于是实数的最小值为1． （13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为 ． 【答案】 【解析】． （14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则 ． 【答案】 【解析】当时，无解；当时，解得，则． （15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】的渐近线为，则 的焦点，则，即，，． 三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积． 解：（Ⅰ）由， 由得， 则的递增区间为； 由得， 则的递增区间为． （Ⅱ）在锐角中，，，而， 由余弦定理可得，当且仅当时等号成立， 即，故面积的最大值为． （17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中， 分别为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面，，求平面与平面 所成角（锐角）的大小． 解：（Ⅰ）证明：连接，，设与交于点， 在三棱台中，，则， 而是的中点，，则， 所以四边形是平行四边形，是的中点，． 又在，是的中点，则， 又平面，平面，故平面． （Ⅱ）由平面，可得平面而，，， 则，于是两两垂直，以点为坐标原点， 所在的直线，分别为轴建立空间直角坐标系， 设,则, ， 则平面的一个法向量为，设平面的法向量为 ，则，即， 取，则，， ，故平面与平面所成角（锐角）的大小为． （18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和． 解：（Ⅰ）由可得，， 而，则． （Ⅱ）由及，可得 ，， （19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的