2022年中考数学第一轮复习第讲《直角三角形》专题训练含答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 16 讲 直角三角形考纲要求 命题趋势直角三角形是中考考查的学问梳理1明白直角三角形的有关概念,把握其性质与判定2把握勾股定理与逆定理,并热点之一, 题型多样, 多以简洁 题和中档难度题显现, 主要考查 直角三角形的判定和性质的应 用,以及运用勾股定理及其逆定能用来解决有关问题.一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角 _2直角三角形中,30角所对的边等于斜边的 _ 3直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于 _的三角形是直角三角形2有两角 _ 的三角形是直角

2、三角形3假如三角形一边上的中线等于这边的_,就该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：假如三角形一条边的平方等于另外两条边的 角形是直角三角形_ ,那么这个三自主测试1在ABC 中,如三边 BC,CA,AB 满意 BC: CA: AB 5: 12: 13,就 cos B A5 12 B 12 5 C5 13 D12 132如图,在ABC 中, DE 是中位线,ABC 的平分线交 DE 于 F,就ABF 肯定是 A锐角三角形 B直角三角形nC钝角三角形D等边三角形 2,3,4； 5,12,13 ；2,3 ,4； m23以下各组数据分别为三角形的三边长：2,m2n2, 2mn.其中是直角三角形的有

3、DABC考点一、直角三角形的判定【例 1】如图,在ABC 中, ABAC, BAC90,点 D 为边 BC 上的任一点,DF AB于 F,DE AC 于 E,M 为 BC 的中点,试判定MEF 的外形,并证明你的结论分析： 连接 AM,可得 AM BM,然后证明 BFM AEM,得到 FM ME,EMF 90. 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： MEF 是等腰直角三角形连接 AM ,BAC90 ,AM 是斜边 BC 的中线,MA MB MC ,MA BC. ABAC,BBAM MAE45 . DF AB,DE

4、AC,AFD AED FAE90 ,四边形 DFAE 是矩形, FD EA. 又FB FD ,FBEA , BFM AEM SAS,FM EM,BMF AME . AMF BMF 90 ,EMF AMF AME 90 , MEF 是等腰直角三角形方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多,最简捷的方法就是求出一个角等于 90 ,也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半,或者利用勾股定理的逆定理证得触类旁通 1 具备以下条件的ABC 中,不能成为直角三角形的是 A A B1 2C B A90 CC A B C D A C90考点二、直角三角形的性质【例 2】两个大小不同的等腰直角三角形三

5、角板如图 1 所示放置,图 2 是由它抽象出的几何图形, B,C,E 在同一条直线上,连接 DC . 1请找出图 2 中的全等三角形,并赐予证明 说明：结论中不得含有未标识的字母 ；2证明： DC BE. 1解： 图 2 中 ABE ACD . 证明如下： ABC 与 AED 均为等腰直角三角形,ABAC,AEAD,BAC EAD 90 . BAC CAE E ADCAE,即BAECAD . 又ABAC,AE AD,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABE ACD . 2证明： 由1 ABE ACD 知ACD ABE

6、 45. 又ACB45 ,BCD ACBACD 90 ,DC BE. 方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外,仍具有外接圆半径等于斜边的一半,内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半,它的外心是斜边的中点,垂心是直角顶点等性质考点三、勾股定理及其逆定理【例 3】 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC 6 cm, BC8 cm,现将直角边 AC沿直线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,求 CD 的长解： 设 CD 长 为 x cm,由折叠得 ACD AED . AEAC6 cm,AED C90 , DEC

7、D x cm. 在 Rt ABC 中, AC 6 cm,BC8 cm,ABAC2BC26 282 10cm EBABAE 1064 cm ,BD BCCD8x cm,在 Rt DEB 中,由勾股定理得DE2BE2DB2. x2428x2,解得 x 3. CD 的长为 3 cm. 方法总结 1勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边,当我们只知道直角三角形的一边时,假如可以找到另外两边的关系,也可通过列方程的方法求出另外两条边2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边,判定三角形是否为直角三角形触类旁通 2 如图,在四边形 ABCD 中, A90,AB3,AD 4,CD 13,CB12,

8、求四边形 ABCD 的面积考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例 4】如下列图,铁路上A,B 两站 视为直线上两点相距 14 km ,C, D 为两村庄 可视为两个点 ,DA AB 于 A,CB AB 于 B,已知 DA8 km ,CB6 km ,现要在铁路上建一个土特名师归纳总结 产品收购站E,使 C,D 两村到 E 站的距离相等,就E 站应建在距A 站多少千米处？第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 由于 DA AB 于 A,CBAB 于 B,在 AB 上找一点可构成两个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解

9、： 设 E 站应建在距 A 站 x km 处,依据勾股定理有 8 2x 26 214x 2,解得 x6. 所以 E 站应建在距 A 站 6 km 处方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用,是把实际问题转化为数学问题,建立勾股定理或逆定理的数学模型通过解决数学问题,使实际问题得以解决触类旁通3 有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6 m,8 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以 的周长8 m 为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地12022 广东广州 在 Rt ABC 中, C90, AC9,BC12,就点C 到 AB 的距离是 A36B 12C9D343525422

10、022 浙江湖州 如图,在 Rt ABC 中, ACB90,AB10,CD 是 AB 边上的中线,就 CD 的长是 A20 B 10 C5 D5 232022 浙江宁波 勾股定理是几“ 如勾三,股四,就弦五” 的记载如图何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可名师归纳总结 以用其面积关系验证勾股定理图2 是由图1 放入矩形内得到的,BAC90,AB 3,AC 第 4 页,共 9 页4,点 D,E,F,G,H,I 都在矩形KLMJ 的边上,就矩形KLMJ 的面积为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A

11、90 B 100 C110 D121 42022 山东烟台 一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上, BC 与 DE 交于点 M.假如 ADF 100 ,那么 BMD 为_ . 52022 四川巴中 已知 a,b,c 是 ABC 的三边长,且满意关系式 c 2a2b2|ab|0,就ABC 的外形为 _ 62022 重庆 如图,在 Rt ABC 中, BAC 90,点 D 在 BC 边上,且ABD 是等边三角形如 AB2,求ABC 的周长 结果保留根号 1如下列图,将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上,另一个顶

12、点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角,就三角板的最大边的长为 C32cm D62cm ABC 是 A3 cm B6 cm 2在ABC 中,三边长分别为a,b,c,且 a c2b,ca1 2b,就A直角三角形B等边三角形AB 左边阴影部C等腰三角形D等腰直角三角形3一个直角三角形两边的长分别为15,20,就第三边的长是 A57 B25 C57或 25 D无法确定4如图,在Rt ABC 中,以三边AB,BC,CA 为直径向外作半圆,设直线分的面积为S1,右边阴影部分的面积和为S2,就 AS1S2BS1S2CS1S2D无法确定名师归纳总结 5直角三角形纸片的两直

13、角边长分别为6,8,现将ABC 如图那样折叠,使点A 与点 B 重第 5 页,共 9 页合,折痕为DE,就CE BC的值是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A24 7B 7C7 24D1 336如图,在 Rt ABC 中, ACB 90,点 D 是斜边 AB 的中点, DE AC,垂足为 E,如DE 2,CD 2 5,就 BE 的长为 _ 7如图,已知等腰 Rt ABC 的直角边长为 1,以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边,画其次个等腰 Rt ACD ,再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边,画第三个等腰 Rt ADE , ,依此类推直到第

14、五个等腰 Rt AFG ,就由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 _ 8如图,已知点 D 为等腰 Rt ABC 内一点, CAD CBD 15,E 为 AD 延长线上的一点,且 CECA . 1求证： DE 平分 BDC ；2如点 M 在 DE 上,且 DC DM ,求证： MEBD . 参考答案导学必备学问自主测试1CBC2 CA2AB2,C 90 ,cos BBC AB 5 13. 2B3D 探究考点方法触类旁通1 D AD2AB242 3 2 5,触类旁通2解： 在 Rt ABD 中, BD在 BCD 中, CD 13,CB 12,BD5,名师归纳总结 CB2BD2CD2.DBC

15、90. 2第 6 页,共 9 页S 四边形 ABCDSABD SDBC1 2AB AD1 2BC BD1 2 3 41 2 12 5 63036. 触类旁通3 解： 在 Rt A BC 中, AC 8,BC 6,由勾股定理得,AB AC2BC1 0,扩充部分为Rt ACD ,扩成等腰三角形ABD ,应分以下三种情形：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1如图 1,当 ABAD10 时,可求得CD CB6,故 ABD 的周长为32 m. 2如图 2,当 AB BD10 时,可求得 CD 4,由勾股定理得 AD AC 2CD 24 5,故 ABD 的周长为

16、20 4 5 m. 3如图 3,当 AB 为底时,设 ADBD x,就 CDx6,由 勾股定理得 x6 28 2x 2,25 80就 x3,故 ABD 的周长为 3 m. 品鉴经典考题1A 依据题意画出相应的图形,如下列图：在 Rt ABC 中, AC 9,BC12,依据勾股定理得：ABAC2 BC215. 过点 C 作 CD AB,交 AB 于点 D,又 SABC1 2AC BC 1 2ABCD,CD AC BC AB9 121536 5,就点 C 到 AB 的距离是36 5 . 2C 在 Rt ABC 中,ACB 90,AB10,CD 是 AB 边上的中线,依据直角三角形斜边中线等于斜边的

17、一半,就 CD 的长是 5. 3C 如图,延长 AB 交 KF 于点 O,延长 AC 交 GM 于点 P,所以,四边形 AOLP 是正方形,边长 AOAB AC347,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以, KL3710,LM 47 11,因此,矩形KLMJ 的面积为10 11110. 应选 C. 485ADF 100,EDF 30,MDB 180 ADF EDF 180100 3050 , BMD 180 BMDB 180 45 50 85 . 5等腰直角三角形由题意得：c 2a2 b2 0,ab0,c2a2b2

18、,ab,就 ABC的外形为等腰直角三角形6解： ABD 是等边三角形,B60 . BAC 90 ,C180 90 60 30 ,BC2AB4. 在 Rt ABC 中,由勾股定理得：ACBC2 AB24 222 23, ABC 的周长为ACBC AB2342 623. 研习猜测试题1D 2,所以 ABC 是直角三角形2A由 ac2b,ca1 2b,可得 c5 4b,a3 4b,于是得a2b2c3C4 A 5C由折叠性质可知,AEBE,设 CE 为 x,就 BE8x. 在 Rt BCE 中, 62x 2 8 x2,7所以 x7 4. 故CE BC6 7 24. 2642点 D 是 AB 的中点,

19、ACB 90,DE AC,CD 1 2AB,DE1 2BC,AB 45, BC4. 在 Rt ACB 中, AC AB2BC28,CE 1 2AC4. CEBC4,ACB 90 ,BE 42. 731依据题意易知CD AC2,ADDE 222,EFAE22,AF FG 2224,AG42,所以所求图形的面积SSABCS 梯形 ACDE S 梯形 AEFG 2 1 11 2 22221 2 2242 221 231231 2 . 8证明： 1 在等腰 Rt ABC 中,CAD CBD 15 ,BAD ABD 45 15 30 . BD AD. BDC ADC . DCA DCB 45 . 由BDM ABD BAD 30 30 60 ,EDC DAC DCA 15 45 60 ,BDM EDC .DE 平分BDC . 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2如图,连接 MC. DC DM ,且MDC 60 , MDC 是等边三角形,即 CM CD. 又EMC 180 DMC 180 60 120 ,ADC 180 MDC 180 60 120 ,EMC ADC . 又CECA,DAC CEM 15 . ADC EMC .MEAD DB. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页