2022年中考数学重难点专题讲座第五讲多种函数交叉综合问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学重难点专题讲座第五讲 多种函数交叉综合问题【前言】中学数学所涉及的函数无非也就一次函数,反比例函数以及二次函数；二次函数基本上只会考和一次函数的综合问题,二次函数与反比例函数基本不会涉及；所以如何把握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点；这类题目本身并不会太难,很少作为压轴题显现, 一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的把握；所以在中考中面对这类问题,肯定要做到防止失分；【例 1】 2022,西城,一模y将直线y4x 沿 y 轴向下平移后,得到的直线与x 轴交于点A9,0,与双曲线4kx0交于点 B

2、 x 求直线 AB 的解析式； 如点 B 的纵标为 m ,求 k 的值（用含有 m 的式子表示）【思路分析】 这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目特别常见,一模中有多套题都是这样考法；题目一般不难,设元以后运算就可以了；此题先设平移后的直线,名师归纳总结 然后联立刻可；比较简洁,看看就行 . x 轴上点 A（9, 0）,第 1 页,共 12 页【解析】将直线y4x沿y轴向下平移后经过4设直线 AB 的解析式为y4xb就49b04解得b9 直线 AB 的解析式为y4x9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y64 2BA- 2O246x- 2-

3、4- 6- 8图 3 （ 2）设点 B 的坐标为xB,m , 直线 AB 经过点 B ,m4xB949 ,m ,上,xBm49 B 点的坐标为m 点 B 在双曲线ykx0xmmk94km249m【例 2】2022,丰台,一模如图,一次函数1ykxb 的图象与反比例函数y2m的图象相交于A 、B 两点x（ 1）求出这两个函数的解析式；名师归纳总结 （ 2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范畴满意什么条件时,y 1y 2第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yB 3-6O14x-2A【思路分析】第一问直接看图写出 数中求 m,建立

4、二元一次方程组求A,B 点的坐标（ 6,2）4,3,直接代入反比例函 k,b；继而求出解析式；其次问通过图像可以直接得出结论；此题虽然简洁, 但是事实上却有许多变化；比如不给图像, 直接给出解析式求y 1y 的区间,考生是否依旧能反映到用图像来看区间；想,期望大家要活用这方面的意识去解题；【解析】数形结合是中学数学当中特别重要的一个思解：（ 1）由图象知反比例函数 y 2 m的图象经过点 B4 ,3,x 3 mm=124反比例函数解析式为 y 2 12x由图象知一次函数 1y kx b 的图象经过点 A6, 2 , B4,3,6 k b 2,k 1,解得 24 k b 3.b 1一次函数解析式

5、为 y 1 1x 12（2）当 0x4 或 x6 时,y 1 y 【例 3】2022,密云,一模名师归纳总结 已知：如图,正比例函数yax的图象与反比例函数yk的图象交于点A3 2, 第 3 页,共 12 页x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（ 2）依据图象回答,在第一象限内,当 的值？x 取何值时,反比例函数的值大于正比例函数（ 3）M m,n 是反比例函数图象上的一动点,其中 0 m 3,过点 M 作直线 MBx轴,交y轴于点 B ；过点 A 作直线 ACy 轴交 x 轴于点 C ,交直线 MB

6、于点 D 当四边形OADM 的面积为 6 时,请判定线段BM 与 DM 的大小关系,并说明理由【思路分析】第一问由于给出了一个定点,所以直接代点即可求出表达式；其次问就是利用图像去分析两个函数的大小关系,考生需要对坐标系有直观的熟悉；第三问略有难度,一方面需要分析给出四边形 OADM 的面积是何用意 ,另一方面也要去看 BM,DM 和图中图形面积有何关系 .视野放开就发觉四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分 ,直接求出矩形面积即可 .部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看 ,从而没有想到思路,失分惋惜 . 【解析】解：（ 1）将3, 2 分别代入yax 中yk,时,x得

7、23a , 2k,0x33a2,k63 反比例函数的表达式为：y6；x正比例函数的表达式为y2a 3（ 2）观看图象得,在第一象限内,当反比例函数的值大于正比例函数的值名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3） BM DM理由： n6,BMO3m1 2m n3,即S ACOC ,（很奇妙的利用了和的关系求出矩形面积）BMSAOC13232S OCDB33612BO1243BM63BO2DM3BM32【例 4】2022,石景山,一模已知：y2ax 与y7bx3两个函数图象交点为P m n,且 mn, m、 是关于 x

8、的一元二次方程kx2kxk30的两个不等实根,其中k 为非负整数（ 1）求 k 的值；名师归纳总结 （ 2）求 a、b的值；第 5 页,共 12 页（ 3）假如yc c0与函数yax 和ybx3交于A、B两点（点 A 在点 B 的左侧）,线段AB3,求c 的值2【思路分析】 此题看似有一个一元二次方程,但是本质上依旧是正反比例函数交点的问题；第一问直接用判别式求出k 的范畴, 加上非负整数这一条件得出k 的详细取值； 代入方程即可求出m,n,继而求得解析式；留意题中已经给定mn,否就仍旧留意要分类争论；第三问联立方程代入以后将A,B 表示出来,然后利用AB3构建方程即可；2【解析】（ 1）2k

9、724k k30k49 40 k 为非负整数, k0 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 kx2 k7xk30为一元二次方程k140, 解得x 11,x 242把k1代入方程得x25x mnb3m1,n4把m1,n4代入yax 与yx可得a4,b1AB3,可得4 cc33把yc 代入y4x 与y4x可得Ac,c,B4,c,由4c242解得c 12,c28,经检验c 12,c 28为方程的根；c 12,c28【例 5】2022,海淀,一模已知：如图,一次函数y3xm 与反比例函数y3的图象在第一象限的交点为3xA 1,n（ 1）求m与n的值；（ 2）

10、设一次函数的图像与x轴交于点 B ,连接 OA ,求BAO 的度数3y2A1B-2-1O12x-1-2【思路分析】 假如一道题单纯考正反比例函数是不会太难的,所以在中考中常常会综合一些其他方面的学问点；比如此题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面,需要考生思维转换要快速；第一问比较简洁,不说了；其次问先求出A,B 详细点以后此题就名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变化成了一道三角形内线段角的运算问题,利用勾股定理发觉OB=OA, 从而 BAO= ABO,然后求出 BAO 即可；解：（ 1） 点A 1, n

11、 在双曲线y3 x上,n3m 上,又 A1,3在直线y3x3m2 3. 3（ 2）过点 A 作 AM x 轴于点 M. 3yA21 B-2-1OM12x-1-2名师归纳总结 直线y3x2 3与x轴交于点B,第 7 页,共 12 页333x2 30. 33解得x2. 点 B 的坐标为（-2 0,）. OB2. 点 A 的坐标为 1,3 ,AM3,OM1. 在 Rt AOM 中,AMO90, tanAOMAM3. OMAOM60.由勾股定理,得OA2. OAOB.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OBABAO . BAO 1AOM 30 .2【总结】 中考

12、中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对显现的；无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2,y 的比较, 3,夹杂进其他几何问题；除了留意计算方面的问题以外,仍需要考生对数形结合,分类争论的思想把握娴熟；例如 y 的比较这种问题,纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式,了；总体来说这类问题不难,做好细节就可以取得全分；但是假如用图像去做就会比较简洁其次部分 发散摸索【摸索 1】2022,北京如图, A 、B 两点在函数ymx0的图象上 . x（ 1）求 m的值及直线AB 的解析式；（ 2）假如一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点 .请直接写出图中阴影部分（不包括边界

13、）所含格点的个数；【思路分析】由于已经给出了点,第一问没有难度；其次问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上,哪些格点在其中；保险起见直接用 所以可以很明显看出；【摸索 2】2022,宣武,一模16 的整数挨个去试,由于数量较少,名师归纳总结 如图, 一次函数ykxb 的图象与反比例函数ym的图象交A3,1、B 2,n 于第 8 页,共 12 页x两点,直线AB 分别交x轴、y轴于 D、C两点y （ 1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；A D O x （ 2）求AD CD的值C B 【思路分析】 第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式；其次问看到比例- - - - - - -精选学

14、习资料 - - - - - - - - - 关系,考生需要第一时间想到是否可以用相像三角形去分析；但是图中并未直接给出可能的三角形,所以需要从 A 引一条垂线来构成一对相像三角形,从而求解；【摸索 3】2022,崇文,一模已知：关于x 的一元二次方程kx2+（2k3x+k 3 = 0 有两个不相等实数根（k0 ）（ I）用含 k 的式子表示方程的两实数根；（ II）设方程的两实数根分别是x ,2x（其中x 1x2）,如一次函数y=3k1x+b 与反比例函数y =b 的图像都经过点（xx1, kx2）,求一次函数与反比例函数的解析式【思路分析】此题是一道多种函数交叉的典型例题,一方面要解方程,另

15、一方面仍要求函数解析式； 第一问求根, 直接求根公式去做；元一次方程组,仔细运算就可以；【摸索4】2022,东城,一模其次问通过代点可以建立一个比较繁琐的二如图,反比例函数y8的图象过矩形OABC 的顶点 B,OA 、0C 分别在 x 轴、 y 轴的x正半轴上, OA ：0C=2： 1（ 1）设矩形 OABC 的对角线交于点 E,求出 E 点的坐标；（ 2）如直线 y 2 x m 平分矩形 OABC 面积,求 m 的值【思路分析】此题看似麻烦,夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题；但是实际上画出图,通过比例可以很轻易发觉B 点的横纵坐标关系,奇妙设点就可以轻松求解；其次名师归纳总结 问更不是

16、难题,平分面积意味着肯定过B 点,代入即可；第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第三部分 摸索题解析【摸索 1 解析】（ 1）由图象可知,函数ym（x0）的图象经过点A , ,B x x可得m6y 设直线 AB 的解析式为ykxb A , ,B6 1, 两点在函数ykxb 的图象上,6 A kb6,解得k1,6 kb1.b7.1 直线 AB 的解析式为yx7O 1 6 （ 2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是3 【摸索 2 解析】名师归纳总结 （ 1）把x3,y1代入ym,得：m31y x 第 10 页,共 12 页x反

17、比例函数的解析式为y3x把x2,yn 代入y3得n3A x2D O 把x3,y1；x2,y3分别代入E C 2B 3 kb1（第 16 题答图）ykxb 得2kb3,2解得k1,一次函数的解析式为y1x12b122,2（ 2）过点 A 作 AEx 轴于点 E 0,A 点的纵坐标为1,AE1由一次函数的解析式为y1x1得 C 点的坐标为222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OC12在 RtOCD和 RtEAD中,CODAEDRt,CDOADE ,RtOCDRtEADADAE2CDCO【摸索 3 解析】解：（ I）kx2+ （2k3x+k 3 = 0 是

18、关于 x 的一元二次方程 2 k 3 2 4 k k 3 9由求根公式,得x32k3x1或x31y8k2k（ II）k0,311k11,x23而x 1x2,x 1k由题意,有k31 13 kb ,kk31 b 1.8,反比例函数的解析式为k解之,得k5b8y16x一次函数的解析式为x【摸索 4 解析】（）由题意,设B 2 , a a a0,就a8a2.2 a B 在第一象限,名师归纳总结 a2.B, （第 22 题）第 11 页,共 12 页矩形 OABC 对角线的交点为2,1（）直线y2xm 平分矩形 OABC 必过点 2,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1=2x 2+m m=3 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页