2022年中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题第一部分 真题精讲【例 1】( 2022,密云,一模)如图,在梯形 ABCD 中, ADBC,AD 3,DC 5,BC 10,梯形的高为 4 动点 M 从 B 点动身沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动;动点 N 同时从 C 点动身沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t (秒)A DNBMC(1)当MNAB 时,求t的值;(2)摸索究:t为何值时,MNC 为等腰三角形【思路分析 1】此题作为密云卷压轴题,自然有肯定难度,题目中显现了两个动点,许多同
2、学看到可能就会无从下手;但是解决动点问题,第一就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解; 对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬时,就此题而言, M ,N 是在动, 意味着 BM,MC以及 DN,NC 都是变化的;但是我们发觉,和这些动态的条件亲密相关的条件 DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的;所以当题中设定 MN/AB 时,就变成了一个静止问题;由此,从这些条件动身,列出方程,自然得出结果;【解析】解:(1)由题意知,当M 、N运动到 t 秒时, 如图, 过 D 作 DEAB交BC于 E 点,就四边形ABED是平行四边形A DNBEMCABD
3、E,ABMNMN 放在三角形内,将动态DEMN(依据第一讲我们说梯形内帮助线的常用做法,胜利将问题转化成平行时候的静态问题)名师归纳总结 MCNC(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)第 1 页,共 13 页ECCD - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 102tt解得t50103517【思路分析 于是就漏掉了2】其次问失分也是最严峻的,许多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC 即可,MN=MC,MC=CN这两种情形;在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形,肯定不要忘记分类争论的思想,两腰一底一个都不能少;详细分类以后,就成为了较为简洁的
4、解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情形争论: 当MNNC 时,如图作NFBC 交 BC 于 F ,就有MC2FC 即(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)sinCDF4,AMDNCNHCCD5BFcosC3,5102t23 t,5解得t25CD 于 HAMD8 当MNMC 时,如图,过M 作MH就CN2 CH ,t2 102 t35Bt6017 当MCCN 时,就102tt t103综上所述,当t25、6010MNC817 或3 时,为等腰三角形【例 2】( 2022,崇文,一模)在 ABC 中, ACB=45o点 D(与点 B、C 不重合)为射线 BC 上一动点,连接 A
5、D ,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF (1)假如 AB=AC 如图,且点 D 在线段 BC 上运动试判定线段 CF 与 BD 之间的位置关系,并证明你的结论(2)假如 AB AC ,如图,且点D 在线段 BC 上运动( 1)中结论是否成立,为什么?名师归纳总结 (3)如正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P,设 AC 4 2,BC3,CD=x,求线段 CP 的长(用含x 的式子表示)第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析 1】此题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动
6、点静止,而此题并未给出那个“ 静止点” ,所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的;由题我们发觉,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解;【解析】:(1)结论: CF 与 BD 位置关系是垂直;证明如下:AB=AC , ACB=45o, ABC=45o由正方形 ADEF 得 AD=AF , DAF= BAC =90o, DAB= FAC , DAB FAC , ACF= ABD BCF= ACB+ ACF= 90o即 CF BD【思路分析 2】这一问是典型的从特别到一般的问法,那么思路很简洁,就是从一般中构筑一个特别的条件就行,于
7、是我们和上题一样找AC 的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解;(2)CFBD 1中结论成立A所以理由是:过点A 作 AG AC 交 BC 于点 G, AC=AG F可证:GAD CAF ACF= AGD=45oBGDECBCF=ACB+ ACF= 90o即 CFBD 【思路分析3】这一问有点麻烦, D 在 BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的,已给的线段长度就需要分情形去考虑究竟是 求出 CP. 4+X 仍是 4-X ;分类争论之后利用相像三角形的比例关系即可(3)过点 A 作 AQ BC 交 CB 的延长线于点 Q,点 D 在线段 BC 上运动时, BCA=45o
8、 ,可求出 AQ= CQ=4 DQ=4-x ,x,CPCDCP易证 AQD DCP,DQAQ,4x4CPx2x4点 D 在线段 BC 延长线上运动时, BCA=45o ,可求出 AQ= CQ=4 ,DQ=4+x 过 A 作 AG AC 交 CB 延长线于点 G,就 AGD ACFCFBD ,CP CD CP x AQD DCP,DQ AQ,4 x 4,2xCP x4【例 3】( 2022,怀柔,一模)已知如图,在梯形ABCD 中,ADBC,AD2,BC4,点 M 是 AD 的中点,MBC是等边三角形名师归纳总结 (1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形;第 3 页,共 13 页- - - - -
9、- -精选学习资料 - - - - - - - - - (2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动, 且MPQ60保持不变 设PCx,MQy,求 y与x的函数关系式;(3)在( 2)中,当y取最小值时,判定PQC的外形,并说明理由A M D B P 60Q C 【思路分析 1】此题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点仍是在考察几何方面;第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了;其次问和例 1 一样是双动点问题,所以就需要争论在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的;题目给定 MPQ=60 ,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来
10、 .由于最终求两条线段的关系 ,所以我们很自然想到要通过相像三角形找比例关系 .怎么证相像三角形呢 . 当然是利用角度咯 .于是就有了思路 . 【解析】(1)证明:MBC是等边三角形MBMC,MBCMCB60,M是AD中点AMMDADBCAMBMBC60DMCMCB60AMBDMCABDC梯形ABCD是等腰梯形名师归纳总结 (2)解:在等边MBC中,MBMCBC4,MBCMCB60,第 4 页,共 13 页MPQ60BMPBPMBPMQPC120这个角度传递特别重要,大家要认真揣摩 BMPQPCBMPCQPPCCQBMBPPCx,MQyBP4x,QC4yx4yy1x2x4设元以后得出比例关系,
11、轻松化成二次函数的样子 44x4【思路分析2】第三问的条件又回来了当动点静止时的问题;由其次问所得的二次函数,很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时Y 有最小值;接下来就变成了“ 给定PC=2,求 PQC 外形” 的问题了;由已知的 BC=4 ,自然看出P是中点,于是问题轻松求解;(3)解:PQC为直角三角形y1x223当y 取最小值时,xPC24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P是BC的中点,MPBC,而MPQ60, CPQ30,PQC90以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中显现特别条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题
12、化为静态问题去求解;假如没有特别条件,那么就需要争论在动点移动中哪些条件是保持不变的;当动的不是点,而是一些详细的图形时,思路是不是一样呢.接下来我们看另外两道题. 【例 4】2022,门头沟,一模已知正方形 ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF BD 交BC于 F ,连接 DF ,G为 DF 中点,连接EG CG(1)直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系;(2)将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 ,如图 2 所示,取 DF 中点 G ,连接EG CG,你在( 1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明(3)将图 1 中BEF 绕 B 点旋
13、转任意角度,如图3 所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)ADADADGG E FE E FBF C B C B C图 1 图 2 图 3【思路分析 1】这一题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题;从旋转 45 到旋转任意角度,要求考生争论其中的不动关系;第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等;其次问将BEF旋转 45 之后,许多考生就想不到思路了;事实上,此题的核心条件就是G 是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在;连接 AG 之后,抛开其他条件,单看 G 点所在的四边形 ADFE ,我们
14、会发觉这是一个梯形,于是依据我们在第一讲专题中所争论的方法,自然想到过 G 点做 AD,EF 的垂线;于是两个全等的三角形显现了;(1)CG EG(2)( 1)中结论没有发生变化,即 CG EG 证明:连接 AG ,过 G 点作 MN AD 于 M ,与 EF 的延长线交于 N 点在 DAG 与 DCG 中,AD CD,ADG CDG,DG DG,A MDDAGDCGAG CG G在 DMG 与 FNG 中,E F NDGM FGN,FG DG,MDG NFG,B C图 2 DMGFNGMGNGADG名师归纳总结 在矩形AENM中,AMENEBF图3C第 5 页,共 13 页- - - - -
15、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在Rt AMG与Rt ENG中,AM EN,MG NG,AMGENGAG EG EG CG【思路分析 2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎全部人都会答出仍旧成立;但是我们不应当止步于此;将这道题放在动态问题专题中也是出于此缘由,假如BEF 任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?假如题目要求证明,应当如何摸索;建议有余力的同学自己争论一下,笔者在这里供应一个思路供参 考:在BEF 的旋转过程中,始终不变的依旧是 G 点是 FD 的中点; 可以延长一倍 EG 到 H,从而构造一个 和 EFG 全等的三角形,利用 BE=EF 这一条件将全等
16、过渡;要想方法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三角 形,就需要证明三角形 EBC 和三角形 CGH 全等,利用角度变换关系就可以得证了;(3)( 1)中的结论仍旧成立【例 5】( 2022,朝阳,一模)已知正方形 ABCD 的边长为 6cm,点 E 是射线 BC 上的一个动点, 连接 AE 交射线 DC 于点 F,将 ABE 沿直线 AE 翻折,点 B 落在点 B 处BE=1 时, CF=_cm,A B (1)当 CEBE(2)当 CE=2 时,求 sinDAB的值;D C BE(3)当 CE= x 时(点 C 与点 E 不重合),请写出 ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与
17、x 的关系式,(只要写出结论,不要解题过程)【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热点;这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,其次问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特别的递进式题目;同学们需要认真把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化;一 般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相像关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系;特别留意的是, 此题中给定的比例都是有两重情形的,E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的,所以需要大家分类争论,不要遗漏;【解析】(1)CF= 6 cm;
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