2022年九年级数学下册相似三角形的性质及应用知识点+典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点相像三角形的性质及应用【学习目标】1、探究相像三角形的性质,能运用性质进行有关运算；2、通过典型实例熟悉现实生活中物体的相像,能运用图形相像的学问解决一些简洁的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相像三角形的性质 1相像三角形的对应角相等,对应边的比相等 . 2. 相像三角形中的重要线段的比等于相像比 . 相像三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相像比 . 3. 相像三角形周长的比等于相像比,就由比例性质可得：4. 相像三角形面积的比等于相像比的平方,就分别作出=k2.与的高和,就SAB

2、C1 BC AD21 B C A D21k B Ck A D2SAB C1 2B CA D要点诠释： 相像三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的要点二、相像三角形的应用 1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度,原懂得决 . 通常使用“ 在同一时刻物高与影长的比例相等” 的要点诠释： 测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离,常构造如下两种相像三角形求解；1如甲图所示,通常可先测量图中

3、的线段 形的性质,求出 AB的长 . DC、BD、 CE的距离（长度） ,依据相像三角 2 如乙图所示,可先测AC、DC及 DE的长,再依据相像三角形的性质运算AB的长 . 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度,比例尺= 图上距离 / 实际距离 ; 2太阳离我们特别遥远,因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻,两物 体影子之比等于其对应高的比 ; 3视点：观看事物的着眼点（一般指观看者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观看者向上（下）看时,视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相像三角形的性质1. ABC DEF,如 ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm,而 4cm

4、是 DEF中一边的长度,你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. ABC中,且长边FG在 BC2. 如下列图,已知ABC中, AD是高,矩形EFGH内接于上,矩形相邻两边的比为1：2,如 BC=30cm,AD=10cm.求矩形 EFGH的面积 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点举一反三1、如图,在和中,的周长是24,面积是 48,求的周长和面积 . 2、有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为 乙地图的相像比和面积比 . 1200 和 1500,求：甲地图与3、如图,直角三角形纸片

5、的两直角边长分别为 6、8,按如图那样折叠,使点 A 与点 B重合,折痕为 DE,就 S BCE：S BDE等于（）A. 2 ：5 B 14:25 C16:25 D. 4:21 4、在锐角ABC中, AD,CE分别为 BC,AB 边上的高,ABC和 BDE的面积分别等于 18和 2,DE=2,求 AC边上的高 .名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点5、已知：如图,在ABC与 CAD中, DA BC,CD与 AB相交于 E点,且 AEEB=12,EF BC交 AC于 F 点, ADE的面积为 1,求

6、 BCE和 AEF的面积6、如图,已知中,点在上 与点名师归纳总结 不重合 ,点在上.的面积相等时,求的长 . 第 4 页,共 13 页1 当的面积与四边形2 当的周长与四边形的周长相等时,求的长 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点类型二、相像三角形的应用法？3. 如图, 我们想要测量河两岸相对应两点 A、B 之间的距离 即河宽 ,你有什么方4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m1 图中A

7、BC与 ADE是否相像 .为什么 . 2 求古塔的高度名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点举一反三1、小明把一个排球打在离他2 米远的地上,排球反弹后遇到墙上,假如他跳起来击排球时的高度是1.8 米,排球落地点离墙的距离是7 米,假设排球始终沿直线运动,那么排球能遇到墙上离地多高的地方？2、在斜坡的顶部有一铁塔AB,B 是 CD的中点, CD是水平的,在阳光的照耀下,塔影DE留在坡面上；已知铁塔底座宽 CD=12m,塔影长 DE=18m,小明和小华的身高都是 1.6m,同一时刻,小明站在点 E 处

8、,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为 2m和 1m,那么塔高 AB为（）A.24m B.22m C.20m D.18m 3、已知：如图,阳光通过窗口照耀到室内,在地面上留下1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到名师归纳总结 窗下的墙脚距离CE=1.2m,窗口高 AB=1.8m,求窗口底边离地面的高度BC. 第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【巩固练习一】一、挑选题1如图 1 所示,ABC中 DE BC,如 ADDB12,就以下结论中正确选项 A B CD（图 1）（图 2）2. 如图

9、 2, 在 ABC中, D、E 两点分别在AB、AC边上 , DE BC. 如 AD:DB = 2:1, 就 S ADE: SABC为 36 米,就A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:23某校有两块相像的多边形草坪,其面积比为94,其中一块草坪的周长是另一块草坪的周长是（）A 24 米B 54 米C24 米或 54 米D36 米或 54 米4. 图为 ABC与 DEC重叠的情形,其中E 在 BC上, AC交 DE于 F 点,且 AB/ DE. 如ABC与 DEC的面积相等,且 EF=9,AB=12,就 DF= A3 B7 C12 D15 5如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度

10、的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光名师归纳总结 线从点 A 动身经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C处,已知 ABBD,CDBD,第 7 页,共 13 页且测得 AB=1.2 米, BP=1.8 米, PD=12米,那么该古城墙的高度是（） A 6 米 B8 米 C 18 米D24 米6.要把一个三角形的面积扩大到原先面积的8 倍,而它的外形不变,那么它的边长要增大到原先的（）倍 . A.2 B.4 C.2D.64 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二、填空题7. 如下列图,为了测量一棵树 AB的高度,测量者在 D点立一高

11、 CD2m的标杆,现测量者从 E 处可以看到杆顶 C与树顶 A在同一条直线上, 假如测得 BD20m,FD4m,EF1.8m,就树 AB的高度为 _m8. 已知两个相像三角形的相像比为,面积之差为25,就较大三角形的面积为_ . 9如图,小明为了测量一座楼 MN的高,在离点 N为 20m的 A 处放了一个平面镜,小明沿NA后退到点 C,正好从镜中看到楼顶 M,如 AC1.5m,小明的眼睛离地面的高度为 1.6m,请你帮忙小明运算一下楼房的高度是_. （精确到 0.1m）10. 梯形 ABCD中,AD BC,AC,BD交于点 O , 如 SAOD =4,S B OC =9,S梯形 ABCD=_.

12、 11. 如图,在平行四边形 ABCD中,点 E 为 CD上一点, DE:CE=2:3,连接 AE,BE,BD, 且 AE,BD交于点 F,就 SDEF : S B EF : SBAF _. 12. 把一个三角形改做成和它相像的三角形,假如面积缩小到原先的 到原先的 _倍. 三、解答题1 倍,那么边长应缩小 213. 一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但当他立刻测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,如名师归纳总结 图,他先测得留在墙上的影高1.2m,又测得地面部分的影长2.7m,他求得树高是多少？第 8 页,共 13 页-

13、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点14. 如下列图,一段街道的两边沿所在直线分别为AB,PQ,并且 AB PQ,建筑物的一端DE所在的直线 MNAB于点 M,交 PQ于点 N,小亮从成功街的 A处,沿着 AB方向前进,小明始终站在点 P 的位置等待小亮（1）请你画出小亮恰好能观察小明的视线,以及此时小亮所在的位置（用点 C标出）（2）已知： MN=30m,MD=12m, PN=36m求（ 1）中的点 C到成功街口的距离15. 在正方形中,是上一动点, 与不重合 ,使为直角,交正方形一边所在直线于点. 相像的三角形周长为,就的周长为1

14、找出与相像的三角形 . 2 当位于的中点时,与多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【巩固练习二】一、挑选题1假如一个直角三角形的两条边长分别是 是 3 和 4 及 x,那么 x 的值（）6 和 8,另一个与它相像的直角三角形边长分别A只有 1 个 B 可以有 2 个 C有 2 个以上,但有限 D 有很多个2. 如平行四边形 ABCD中, AB10,AD6,E 是 AD的中点,在 AB上取一点 F,使 CBF CDE,就 BF的长为（）A1.8 B5 C 6 或 4 D8 或 2 3. 如 图

15、 , 已 知 D、 E 分 别 是 的 AB、AC 边 上 的 点 ,且那么 等于（）A1：9 B1： 3 C1： 8 D1： 2 4如图 G 是 ABC的重心,直线过 A点与 BC平行 . 如直线 CG分别与 AB、 交于 D、E两点,直线 BG与 AC交于 F 点,就AED的面积：四边形 ADGF的面积 = A1： 2 B2：1 C2：3 D3：2 5. 如图,将ABC的高 AD四等分,过每一个分点作底边的平行线,把三角形的面积分成名师归纳总结 四部分 S1、S2、S3、S4,就 S1 S2 S3 S4 等于（） D.3 579 第 10 页,共 13 页 A.1 234 B.234 5

16、C.1 357 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点6. 如图,在 ABCD中, E 为 CD上一点, DE：CE=2：3,连结 AE、BE、BD,且 AE、BD交于点 F,就S DEF：S EBF：S ABF等于 A.4 ：10： 25 B.4 ：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25 二、填空题7. 如图,梯形ABCD中, AB CD,AC、BD相交于点 E,SDEC1 , 2SDEC=_. S CEBS AEB8. 如图, ABC中,点 D在边 AB上,满意 ADC=ACB,如 AC=2,AD=1,就 DB=_. 9. 如图

17、,在PAB中, M、N是 AB上两点,且PMN是等边三角形,BPM PAN,就 APB的度数是_. 10. 如 图 , ABC 中 , DE BC,BE,CD 交 于 点 S ABC=_. F, 且 S EFC =3 S EFD , 就 S ADE ：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 如图,丁轩同学在晚上由路灯名师总结优秀学问点P 时,发觉身后他影子的顶AC走向路灯 BD,当他走到点部刚好接触到路灯 AC的底部,当他向前再步行 20m到达 Q点时,发觉身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD的底部, 已知丁轩

18、同学的身高是 1.5m,两个路灯的高度都是 9m,就两路灯之间的距离是 _ 12. 如图,锐角ABC中, AD,CE分别为 BC,AB边上的高,ABC和 BDE的面积分别等于18 和 2,DE=2,就 AC边上的高为 _. 三、解答题13. 为了测量图（ 1）和图（ 2）中的树高,在同一时刻某人进行了如下操作：图（ 1）：测得竹竿 CD的长为 0.8 米,其影 CE长 1 米,树影 AE长 2.4 米图（ 2）：测得落在地面的树影长 2.8 米,落在墙上的树影高 1.2 米,请问图（ 1）和图（2）中的树高各是多少？14. （1）阅读以下材料,补全证明过程：已知：如图,矩形 ABCD中, AC

19、、BD相交于点 O,OEBC于 E,连结 DE交 OC于点 F,作 FGBC于 G求证：点G是线段 BC的一个三等分点名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点证明 ：在矩形 ABCD中, OEBC,DC BC,OE DC, （2）请你仿照（ 1）的画法,在原图上画出 写画法及证明过程） BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹,可不15. 已知如图,在矩形 ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点 E 自 A 点动身,以每秒 1cm的速度向 D点前进, 同时点 F 从 D点以每秒 2cm的速度向 C点前进, 如移动的时间为 t ,且 0t6（1）当 t 为多少时, DE=2DF；（2）四边形 DEBF的面积是否为定值？如是定值,恳求出定值； 如不是定值, 请说明理由（3）以点 D、E、F 为顶点的三角形能否与BCD相像？如能,恳求出全部可能的t 的值；如不能,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页