2022年《空间向量与立体几何》知识点.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载空间向量与立体几何学问点1. 空间向量的概念：在空间,具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向向量 AB 的大小称为向量的模（或长度）,记作 |AB 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为方向相同且模相等的向量称为相等向量2. 空间向量的加法和减法：1的向量称为单位向量a的相反向量,记作 a 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法就即：在空间以同一点 O 为起点

2、的两个已知向量 a 、 b 为邻边作平行四边形 OACB ,就以 O 起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法就特殊地,在 ABC 中, D 为 BC 的中点,就 AD 1 AB AC . 2求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法就即：在空间任取一点 O,作 OA a , OB b ,就BA a b 3. 实数 与空间向量 a 的乘积 a 是一个向量,称为向量的数乘运算 当 0 时, a 与 a 方向相同； 当 0 时,a 与 a 方向相反；当 0时, a 为零向量,记为 0 a的长度是 a 的长度的 倍4. 设,为实数, a , b

3、 是空间任意两个向量,就数乘运算满意安排律及结合律安排律：a b a b ；结合律：a a 5. 假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线6. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a ,b b 0,a / b 的充要条件是存在实数,使 a b 7. 平行于同一个平面的向量称为共面对量8. 向量共面定理：空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ,使 AP xAB yAC ；或对空间任肯定点 O ,有 OP OA xAB yAC；或如四点 P ,A, B , C 共面,就 OP xOA y

4、OB zOC x y z 19. 已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点 O ,作 OA a , OB b ,就 AOB 称为向量 a , b 的夹角,记作 a , b 两个向量夹角的取值范畴是：a ,b 0, 10. 对于两个非零向量 a 和 b ,如 a ,b,就向量 a , b 相互垂直,记作 a b 2细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载11. 已知两个非零向量 a

5、和 b ,就 a b cos a , b 称为 a , b 的数量积,记作 a b 即a b a b cos a , b 零向量与任何向量的数量积为 0 12. a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos a , b 的乘积13. 如 a , b 为非零向量, e 为单位向量,就有： e a a e a cos a , e ；a b a 与 同向 b 2 a b a b 0； a b,a a a, a a a ；a b a 与 反向 b cos a ,b a b； a b a b a b14. 向量数乘积的运算律： a b b a ； a b a b a b ；

6、a b c a c b c 15. 如 i , j ,k 是空间三个两两垂直的向量,就对空间任一向量 p ,存在有序实数组 x ,y , z ,使得 p xi yj zk ,称 xi , yj , zk 为向量 p 在 i , j , k 上的重量16. 空间向量基本定理：如三个向量 a , b , c 不共面,就对空间任一向量 p ,存在实数组 x , y , z ,使得 p xa yb zc 17. 如三个向量 a , b , c 不共面,就全部空间向量组成的集合是 p pxaybzc , x , y ,zR 这个集合可看作是由向量a , b , c 生成的,a , b , c 称为空间的

7、一个基底,量都可以构成空间的一个基底a , b , c 称为基向量空间任意三个不共面的向18. 设 1e ,2e ,3e 为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底）,以 1e ,e ,3e 的公共起点 O 为原点,分别以 1e ,2e ,3e 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz 就对于空间任意一个向量 p ,肯定可以把它平移,使它的起点与原点 O重合,得到向量 OP p存在有序实数组 x , y ,z ,使得p xe 1 ye 2 ze 把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 3 1e ,2e ,3e 下的坐标,记作

8、p x ,y , z 此时,向量 p 的坐标是点 P 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标 x ,y ,z 19. 设 a x ,1y, 1,b x ,2y,z 2,就 a b x 1 x ,y 1 y , 1 z 2 a b x 1 x ,2 y 1 y ,z 1 z 2 . a x ,1y ,z 1 a b x x 1 2 y y 1 2 z z 1 2如 a 、 b 为非零向量,就 a b a b 0 x x 1 2 y y 1 2 z z 1 2 0如 b 0,就 a / / b a b x 1 x ,2 y 1 y ,z 1 z 细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 4 页 -

9、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载OP 来aa a2 x 12 y 12 z cos a ,ba b2 x 1x x 2y y 22 x 2z z 222 z 2a b2 y 12 z 1y2A x ,1y ,z 1,B x ,y ,z 2,就dABABx 2x 12y2y 12z 2z 1220. 在空间中,取肯定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 的位置可以用向量表示在空间直角坐标系中,点P 的坐标就是向量OP 的坐标 . 21

10、. 如点A x ,1y,z 1,B x ,y ,z 2,就：线段 AB 的中点 C 的坐标为x 12x ,y 12y 2,z 12z 2 ；点 P 在直线 AB 上,且 APAB ,就点 P 的坐标为：OP OA AB x 1 x 2 x 1 ,y 1 y 2 y 1 ,z 1 z 2 z 1 . 22. 直线 l 垂直,取直线 l 的方向向量 a ,就向量 a 称为平面 的法向量空间中不共线三点 A 、 B 、 C 确定的平面 ABC 的法向量有很多条,我们可以这样来求出它的一个法向量：设平面 ABC 的法向量 n x , y ,z ,就 n AB , n AC ,进而可以得到关于 x 、y

11、 、 z 的两个三元一次方程,对其中一个变量赋值就可以得到一个法向量 n . 23. 如空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a, b ,就 a / b a / ba b R ,a b a b a b 024. 如直线 a 的方向向量为 a ,平面 的法向量为 n ,且 a,就 a / a /a n a n 0,a a a / n a n25. 如空间不重合的两个平面,的法向量分别为 a,b,就 / a / ba b ,a b a b 026. 设异面直线 a , b的夹角为,方向向量为 a , b ,其夹角为,就有a bcos cosa b27. 设直线 l 的方向向量为 l ,

12、平面 的法向量为 n , l 与 所成的角为, l 与 n 的夹l n角为,就有 sin cosl n28. 设 1n ,n 是二面角 l 的两个面,的法向量,就向量 1n ,n 的夹角（或其 补 角 ） 就 是 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 如 二 面 角 l 的 平 面 角 为, 就细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -cosn 1n 2学习必备欢迎下载n n229. 点 A 与点 B 之间的距离可以转化为两点对应向量 30. 在直线 l 上找一点 P ,过定点 A 且垂直于直线离为dPA|cosPA ,n|PA nnAB 的模 AB 运算l的向量为n,就定点A到直线l的距31. 点 P 是平面外一点, A 是平面内的肯定点, n 为平面的一个法向量,就点P到平面的距离为dPA| cosPA ,n|PA n 第 4 页,共 4 页 n细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -