2022年一元二次不等式的解法复习.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点一元二次不等式的定义象x25x0这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式探究 一元二次不等式x25x0的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系简单知道：二次方程的有两个实数根：x 1x 1x20,x25二次函数有两个零点：0,5于是,我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点；（2）观看图象,获得解集2画出二次函数 y x 5 x 的图象,如图,观看函数图象,可知：2当 x5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y

2、0, 即 x 5 x 0；当 0x5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y0, 即 x 25 x 0；所以,不等式 x 25 x 0 的解集是 x |0 x 5,从而解决了本节开头时提出的问题；探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式,总可以化为以c下两种形式：ax2bxc0,a0或ax2bxc0,a0ax2bx0 与组织争论：从上面的例子动身,综合同学的看法,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以下两点：1 抛物线 yax2bxc与 x 轴的相关位置的情形, 也就是一元二次方程ax2bxc=0的根的情形2 抛物线 yax2bxc的开口方向,也就是a 的符号总结争论结果：

3、（l ）抛物线axyax2cbxc（a 0 ）与 x 轴的相关位置,分为三种情形,这可以由一元二次方程bx=0 的判别式b24ac三种取值情形 0, =0, 0）来2确定 . 因此,要分二种情形争论（2）a0 第 1 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结精品学问点2bxc0 与ax2bxcO, =0, 0 或0 运算判别式,分析不等式的解的情形：如 A 0,就 x x 1 或 x 2；. 0 时,求

4、根 x x ,如 A 0,就 x 1 x x 2 .如 A 0,就 x x 0 的一切实数；. =0 时,求根 x 1 2x x ,0 如 A 0,就 x；如 A 0,就 x x 0 .如 A 0,就 x R；. 0 时,方程无解,如 A 0,就 x . 写出解集 . 求解不等式的方法,就是将不等式转化为熟识,可解的不等式, 因此一元二次不等式的求解,也可采纳以下解法；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

5、- -x2+3x-40 x+4x-10 名师总结精品学问点或或-4x1 或；x|-4x1 ；|-x+-4x1 ；原不等式解集为x2+3x-40 x+2|x+原不等式解集为 x|-4x1 ；含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情形下, 均需分类争论, 那么如何争论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2 x 项的系数 a 的符号分类,即a2,0a0 ,aa20; 0,故只需对二次项a24 a4例 1 解不等式：ax2a2x10分析： 此题二次项系数含有参数,系数进行分类争论；解：a224 aa2402a2a2a4,x 2a2a422 aa24 第 3 页,共

6、5 页 2xa解得方程ax2a10两根x12a4a22当a0时, 解集为x|x或x2a2a当a0时,不等式为2x10, 解集为4x| x122aa242a2a2当a0 时 , 解集为x|xa2a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二、按判别式的符号分类,即名师总结0 ,精品学问点0；0,例 2 解不等式x2ax402aa2216, 第 4 页,共 5 页 分析 此题中由于2 x 的系数大于0, 故只需考虑与根的情形；解：

7、a216当a4,4即0 时,解集为 R ；当a4即 0 时,解集为xxR 且xa；2当a4或a4即0 ,此 时 两 根 分 别 为x 12x 2aa216,明显x1x2, 2不等式的解集为xxaa216或xaa21622m3m；例 3 解不等式m21x24x10mR解 因m210 ,4 24m2143m2所以当m3,即0 时,解集为x| x1；2当3m3,即0 时,解集为xx232 m或x2 m121当m3 或m3,即0 时,解集为R；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

8、- - - - - - - - - - - - -三、按方程ax2bxc0名师总结2精品学问点x 1x2,x1x2,x 1x2；的根x 1, x的大小来分类,即例 4 解不等式x2 a1x10a0 x10,故对应的方程必有两解；此题a分析： 此不等式可以分解为：xaa只需争论两根的大小即可；细心整理归纳 精选学习资料 当解： 原不等式可化为：xax10,令a1,可得：a1； 第 5 页,共 5 页 aaa1或0a1时,a1 a,故原不等式的解集为x|ax1a当a1或a1时,a1, 可得其解集为；a；a1, 解集为x|1x当1a0或a1时, aaa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -