2022年【教与学新教案】七年级数学北师大版下册第三章变量之间的关系用关系式表示的变量间关系备课素材.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 用关系式表示的变量间关系素材一 新课导入设计情形导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情形导入活动内容：随着手机的普及,现代人们的通信越来越便利图 321 而打电话就要交话费,下表是某同学家长调取的几次通话时间和对应的通话费用：通话时间 分 1 2 3 4 5 6 通话费用 元 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1 你能说出表格中的两个变量中哪一个是自变量,哪一个是因变量吗？2 随着通话时间的增加,通话费用是如何变化的？3 假如用字母 x 表示通话时间,用字母y 表示通话费用,你能用字

2、母表示它们之间的关系吗？ 说明与建议 说明： 手机是现代生活中最常见的通信工具,通过这个情境更能够激发同学的学习 爱好 比引入既复习了上节课用表格表示变量间的关系,又引出了关系式的概念并进行了简洁的应用,让同学初步经受了用关系式表示变量间关系,培育同学学习数学、应用数学的意识建议：通过熟识 的事物让同学回忆上节所学,懂得变量、自变量、因变量、常量等概念；看懂表格,精确得出信息,独立完成解答 板书课题： 2 用关系式表示的变量间关系 用表格置疑导入同学们, 你知道你穿的鞋的长是多少厘米以及它是多少码的吗？请量一量表示变量间的关系：鞋的长度 cm 23 24 25 26 ,鞋的码数36 38 40

3、 42 ,1 表格反映的是哪两个变量之间的关系？谁是自变量？谁是因变量？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 依据表格中的数据,说一说码数是怎样随长度的变化而变化的假如长度为x,码数为 y,我们能否将y 用含 x 的代数式表示出来？今日,我们就来学习用关系式表示的变量间关系 说明与建议 说明： 让同学经受动手实践,将实际问题抽象为数学问题的过程,感受数学学问与生活的联系,激发同学的学习爱好,也为

4、新课的学习做好铺垫建议：先让同学自己量一量,然后用 表格表示变量间的关系,结合表格复习回忆上节课的内容复习导入 在“ 小车下滑的时间” 中：支撑物的高度 h 和小车下滑的时间 t 都在变化, 它们都 是 _变量 _其中小车下滑的时间 t 随支撑物的高度 h 的变化而变化,支撑物 的高度 h 是_,小车下滑的时间 t 是_ 说明与建议 说明：通过复习回忆变量、因变量、自变量的概念,加深懂得变量有关的概念建 议：引导同学回忆上节课“ 小车下滑的时间” 的问题情境,回答哪些是变量？哪些是自变量？哪些是 因变量？教材母题第素材二教材母题挖掘66 页做一做图 322 如图 322,圆锥的高是 变化4 c

5、m,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了1 在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么？2 假如圆锥底面半径为 r cm ,那么圆锥的体积 Vcm 3 与 r 的关系式为 _3 当底面半径由 1 cm变化到 10 cm时,圆锥的体积由 _cm 3变化到 _cm 3. 【模型建立】用关系式表示变量之间的关系,其基础是列代数式,用一个含有自变量的代数式表示因变量,而 当给出自变量的值时,利用求代数式的值的方法代入运算即可【变式变形】1一根蜡烛长20 cm,每小时燃烧5 cm,点燃后剩下的高度h cm 与燃烧时间t h 之间的关系式为 _ 答案： h205t 细心整理归纳 精选学习资

6、料 2如图 323 所示,长方形的长为12,宽为 x,如设长方形的面积为S,就面积 S 与宽 x 之间 第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -有什么关系图 323 1 如用 C表示长方形的周长,就周长 2 当 x 增加一倍时,长方形的面积C与宽 x 之间的关系是 _；S 是_,周长 C是_；3 当 x _时,长方形会变成一条线段 答案： S 12x 1C 212 x 2S 24x C212 2x 30 8 ,烧了 x 分钟后水

7、壶的3烧一壶水,假设冷水的水温为20 ,烧水时每分钟可使水温提高水温为 y ,当水开时就不再烧了1y 与 x 的关系式为 _,其中自变量是_,它应在 010 范畴内变化2 当 x 1 时, y _；当 x5 时, y_3 当 x 3.5 时, y_；当 x 7.5 时, y_ 答案： 1y 20 8x 时间228 60 348 80 素材三考情考向分析 命题角度 1 依据关系式进行运算 在已知关系式的前提下,任意给出自变量或因变量的值都能用代入运算的方法求解另一个变量的 值如课本第 67 页随堂练习第 1 题例 声音在空气中传播的速度 y 米/ 秒 与气温 x 之间有如下关系：y3 5x331

8、. 1 在这一变化过程中,自变量是_,因变量是 _；2 当气温 x15 时,声音速度 y_米/ 秒；3 当气温 x22 时,某人看到烟花燃放 距 _米5 秒后才听到声响,那么此人与燃放烟花所在地约相 答案： 1 气温速度2340 31721 命题角度 2 动点问题中的关系式动点问题往往相伴着几何图形的面积的运算,依据动点和顶点构造的特别几何图形,通过对其面积的表示得到相应的关系式,进而发觉其变化的规律如课本第68 页习题 3.2 第 3 题例 如图 324,在 Rt ABC中,已知 C 90 ,边 AC4 cm,BC5 cm,点 P 为 CB边上一动点,当点 P 沿 CB从点 C向点 B 运动

9、时,APC的面积发生了变化细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 324 1 在这个变化过程中,自变量是_,因变量是 _；2 假如设 CP的长为 x cm, APC的面积为 y cm 2,就 y 与 x 的关系可表示为 _；3 当点 P从点 D点 D为 BC的中点 运动到点 B时,就 APC的面积从 _cm 2变到 _cm 2. 答案： 1CP APC的面积 2y 2x 35 10 素材四 教材习

10、题答案P67 随堂练习1在地球某地,温度 T 与高度 dm 的关系可以近似地用 T 10d 150来表示 . 依据这个关系式,当 d 的值分别是 0,200, 400, 600,800,1000 时,运算相应的 T 值,并用表格表示所得结果解：见下表d/m02004006008001000 T/ 10 8.67 7.33 6 4.67 3.33 2. 仿照“ 议一议” 中的 2 ,你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情形吗？解：二氧化碳排放量随自来水用量的增加而增加P68 习题 3.2 1地表以下岩层的温度 y 随着所处深度 xkm 的变化而变化,在某个地点 y 与

11、 x 之间的关系可以近似地用关系式 y35x 20 来表示 . 当 x 的值分别是 2,3,5,7,10,13 时,运算相应的 y 值细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：见下表x/km23571013 y/ 90125195265370475 2. 如图,圆锥的底面半径是2 cm,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化1 在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么？2 假如圆锥的高

12、为hcm ,那么圆锥的体积Vcm 3 与 h 的关系式为 _3 当高由 1 cm 变化到 10 cm 时,圆锥的体积由 解： 1 高是自变量,体积是因变量2 V4 3h34 340 3_cm 3变化到 _cm 3. 3如下列图,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是 8. 1 梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？2 用表格表示当 x 从 4 变到 14 时 每次增加 1 ,y 的相应值；3 当 x 每增加 1 时, y 如何变化？说说你的理由4 当 x 0 时, y 等于什么？此时它表示的是什么？解： 1 y 4x60. 2 填表略3 x 每增加 1 时, y 增加 4. 理由略4

13、 当 x 0 时, y 60. 此时它表示的是三角形的面积理由略4详细运算一下你家本月的二氧化碳排放量,并与小明家相应的项目进行比较,谁家的生活更 “ 低碳” 些？解：略素材五 图书增值练习专题一用关系式表示两个变量之间的关系 第 5 页,共 11 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数x20 2040 x（千克）每千克价格 8 元 7 元 6 元如小强购买香蕉 x 千克（ x

14、 大于 40 千克）付了 y 元,就 y 关于 x 的关系式为 . 2. （1）某礼堂共有 25 排座位,第一排有 20 个座位,后面每一排都比前一排多 1 个座位,写出每排的座位数 m与这排的排数 n 的关系式,并写出自变量 n 的取值范畴（2）在其他条件不变的情形下,请探究以下问题：当后面每一排都比前一排多2 个座位时,就每排的座位数m与这排的排数n 的关系式是（1 n25,且 n 是正整数）；当后面每一排都比前一排多3 个座位、 4 个座位时,就每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别是,（ 1 n25,且 n 是正整数）；某礼堂共有 p 排座位, 第一排有 a 个座位, 后面每一排都比

15、前一排多 b 个座位, 试写出每排的座位数 m与这排的排数 n 的关系式专题二 用关系式求值3 一 棵 树 苗 , 栽 种 时 高 度 约 为 80 厘 米 , 为 研 究 它 的 生 长 情 况 , 测 得 数 据 如 下 表 ：栽种以后的年数 n/ 年 高度 h/ 厘米（1）此变化过程1 中是自变105 ,是因变量；2 130 3 155 4 180 ,量细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（

16、2）树苗高度h 与栽种的年数n 之间的关系式为；（3）栽种后后,树苗能长到 280 厘米4某市为了勉励市民节省用水,规定自来水的收费标准如下表：每月每户用水量 每吨价（元）不超过 10 吨部分 0.50 超过 10 吨而不超过 20 吨部分 0.75 超过 20 吨部分 1.50 （1）现已知小伟家四月份用水18 吨,就应缴纳水费多少元？（2）写出每月每户的水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系式（3）如已知小伟家五月份的水费为 17 元,就他家五月份用水多少吨？【学问要点】1用关系式表示两个变量间的关系 两个变量间的关系有时可用一个含有两个变量的数学式子表示出来,关系式法 . 2依据关系

17、式求值这种表示变量间关系的方法叫利用关系式能依据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值,也可依据因变量的值求出相应自变量的值 . 【温馨提示】1 写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式,将表示因变量的字母单独写在等号的左边,右边是用自变量表示因变量的代数式. . . 2 自变量的取值必需使式子有意义,实际问题仍要有实际意义3实际问题中,有的变量关系不肯定能用关系式表示出来【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系. 依据关系式求值 第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - 实质上是求代数式的值或解方程. 细心整理归纳 精选学习

18、资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案：1y=20 8+20 7+6 x-40 2解：（ 1）找出座位数 m与排数 n 之间的关系：第一排：20+0；其次排： 20+1；第三排：20+2；, 第 n 排： 20+（n-1 ）. 可得规律 m=n+19,1n25每排的座位数 m与这排的排数 n 的函数关系式为 m=n+19,自变量 n 的取值范畴为 1n25（2）依据题意： 第一排有 20 个座位, 当后面每一排都比前一排多 2 个座位, 就可以得出：每排的座位数 m与这排的排数

19、n 的函数关系式是 m=20+2（n-1 ）,故答案为 m=2n+18；同理,当后面每一排都比前一排多3 个座位时, m=20+3（n-1 ）,故 m=3n+17；当后面每一排都比前一排多4 个座位时, m=20+4（n-1 ）,故 m=4n+16；a+b （ n-1 ）每一排多出b 个座位第n 排多出 b（n-1 ）个座位, 第 n 排的座位数为m=bn+a- b（1n p）,且 n 是正整数3解：（ 1）此变化过程中是自变量栽种以后的年数,树苗的高度是因变量；（2）树苗高度 h 与栽种的年数 n 的关系式为 h=80+25n；（3）当 h=280 时, n=8,故栽种后 8 年后,树苗能长

20、到 280 厘米4解：（ 1）0.5 10+0.75 （ 18-10 ）=11. 答：应缴纳水费 11 元. （2）当 0x 10 时, y=0.5 x ；当 10x20 时,y=0.5 10+0.75 x-10 ；当 x20 时,y=0.5 10+0.7520 -10+1.50 x-20=1.5 x-17.5. （3）0.5 10=5,0.5 10+0.75 （20-10 ）=12. 5. 17 12. 5 ,他家用水必定超过了 20 吨. 故可设他家用水 a 吨,由题意得：0.50 10+0.75（ 20-10 ）+1.50 （a-20 ）=17,解得 a=23. 答：他家五月份用水23

21、吨 . 素材六数学素养提升如何确定两个 变量 之间的关系式表示自变量和因变量之间的关系的数学式子叫做关系式利用关系式我们可以依据任何细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一个变量的值求出相应的因变量的值,知道两个变量的变化趋势,进一步讨论问题的特点那么如何才能正确地确定两个变量之间的关系式呢？详细地说和列一元一次方程解应用题基本相像,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等

22、的关系,依据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式常见的表示数量之间的关系有以下几种情形：（1）和、差、倍、分问题,即两数和=较大的数 +较小的数,较大的数=较小的数 倍数 增（或减）数（2）行程类问题,即路程 =速度 时间（3）工程类问题,即工作量 =工作效率 工作时间（4）浓度类问题,即溶质质量溶液质量 浓度（5）安排类问题,即调配前后总量不变,调配后双方有新的倍比关系（6）等积类问题,即变形前后的质量（或体积）不变（7）数字类问题,即有如个位上数字为 a ,十位上的数字为 b ,百位上的数字为 c ,就这三位数可表示为 100 c 10 b a ,等等（8）

23、经济类问题, 即利息本金 利率 期数；本息和本金 +利息本金 +本金 利率 期数； 税后利息本金 利率 期数（ 1利息税率） ；商品的利润商品的售价商品的进价；商品的利润率商品的利润 100商品进价（9）增长（或降低）率问题,即实际生产数方案数 长率增长数 100方案数1+增长率（削减率）,增（10）图形类问题,即依据图形的特点,结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公 式等等为了说明这些问题,现举几例说明,供同学们学习时参考细心整理归纳 精选学习资料 例 1长方形的长是20 ,宽是 x ,周长是 y ,面积是 S 第 9 页,共 11 页 （1）写出 x 和 y 之间的关系式；（2）写出 x

24、 和 S 之间的关系式；（3）当S200时, x 等于多少？y 等于多少？（4）当 x增加 1 时, y 增加多少？ S 增加多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -简析 （1）由长方形的周长公式,得y2x202x40；（ 2）由长方形的面积公式,得S20x ；（ 3）S200时,x10,y60；（ 4）当 x增加 1 时,有S 120 x20；所以, 当 x 增加 1时, S 增加 20 ；y 12x1402x402,所以当 x增加 1时, y

25、增加 2 说明在写关系式时要常常用到以前学到的各种公式,所以对以前常用的公式我们要娴熟把握例 2 圆柱的底面半径为10cm,当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化,（1）在这个变化过程中自变量是什么？因变量是什么？（2）设圆柱的体积为 V ,圆柱的高为 h ,就 V 与 h 的关系是什么？（3）当 h 每增加 2, V 如何变化？简析（ 1）由于圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化,所以自变量是圆柱的高 ,因变量是圆柱的体积 V；（ 2）当圆柱的体积为 V ,圆柱的高为 h ,就 V 与 h 的关系是 V 100 h ；（3）由于 V 100 h +2=100 h 200 ,所以当 h 每增加 2

26、 时,V 增加 200 3（cm ）说明 这里借助于圆柱的体积公式使问题获解例 3 一根弹簧的原长是 12cm,它能挂的重量不能超过 15 kg ,并且每挂重 1 kg 就伸长1 2cm,写出挂重后的弹簧长度 y （ cm）与挂重 x （ kg ）之间的关系式,并说出 x 和 y的最大取值简析依题意,挂重后的弹簧长度y（ cm）与挂重 x（ kg ）之间的关系式是y 1 2x +12,由于挂的重量不能超过 15kg ,所以 x 的最大取值是y 1 15+1219.5 ,即 y 的最大取值是 19.5 215,而 y 1 2x+12,所以当 x 15 时,说明 一般情形下自变量与因变量的取值是相

27、对应的例 4 点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度肯定,长为 21 的蜡烛, 点燃 10 分钟,变短 36cm,设点燃 x 分钟后,蜡烛仍剩y cm ,求 y 与 x 之间的关系；此蜡烛几分钟燃烧完？简析依题意可知点燃1 分钟变短0.36 cm ,由此 y 与 x 之间的关系式是y 210.36 x,此蜡烛燃烧完表示y 0,即 21 0.36 x 0,解得 x 58,即约 58 分钟燃烧完细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

28、 - - - - -说明 求解此题肯定要正确懂得题意,分清变量之间的关系例 5托运行李 P 千克 P 为整数 的费用为 c 元,已知托运第一个1 千克需付 2 元,以后每增加 1 千克 不足 1 千克按 1 千克计 需增加费用 托运 5 千克的托运费5 角写出 c 与 P 的关系式,并运算出简析由于 P 千克写成 P 1+1 ,其中千克付费2 元, P 1 千克增加费用0.5 P 1 ,所以 c=2+0.5 P 1=0.5 P +1.5 当 P 5 时, 0.5 5+1.5 4,即 5 千克的托运费是 4 元说明在写关系式时应留意P 1 千克是增加的重量例 6 将长为 30 厘米、宽为 为 3

29、 厘米10 厘米的长方形白纸,按图所示方法粘合起来,粘合部分宽（1）求 5 张白纸粘合的长度；（ 2）设 x 张白纸粘合后的长度为 y 厘米,写出 y 与 x之间的关系式,并求出 x 20 时的值3 简析 （1）由于 5 张纸粘合后要削减 4 个 3cm ,10 所以 5 张纸粘合后的长度是 30 53 413830 （ cm ）；（ 2）按（ 1）中供应的规律,x 张纸粘合后和总的长度 y 之间的关系是 y 30 x 3（ x 1） 27 x +3于是,当 x 20 时, y 543说明在这个关系式中x 应取正整数 第 11 页,共 11 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -