2022年一次函数与反比例函数综合 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载有关一次函数和反比例函数综合题一. 探求同一坐标系下的图象例 1. （2006 年韶关市中考题）已知函数mxy与xny在同一直角坐标系中的图象大致如图 1，则下列结论正确的是（）A. 0n, 0mB. 0n,0mC. 0n, 0mD. 0n,0m分析：由图知，一次函数mxy中，y 随 x 的增大而增大， 所以0m；反比例函数xny在第二、四象限，所以0n。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例 2. （2006 年贵港市中考题） 在同一直角坐标系中，函数kkxy与)0k(xky的图象大致是（）A. B. C. D. 图

2、 2 分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，0k即0k，则一次函数kkxy图象与 y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载选项 D 的一次图象知，0k即0k，则反比例函数)0k(xky图象应在第一、 三象限，而选项 D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的

3、综合性，解决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式例 3. （2006 年广东省中考题）如图3，直线bxky1与双曲线xky2只有一个交点A（1，2） ，且与 x 轴， y 轴分别交于B，C 两点， AD 垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。析解：因为双曲线xky2过点 A（1，2） ，所以2k,1k222得双曲线的解析式为x2y。因为 AD垂直平分 OB，A 点的坐标为（ 1，2） 。所以 B 点的坐标为（ 2，0） 。因为bxky1过点 A（1，2）和 B（2，0） ，所以0bk22bk11解得4b2k1所以直线的解析式为4x2y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

4、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载评注：解决本题的关键是确定点B 的坐标，由AD 垂直 OB 知，点 D 和点 A 的横坐标应相同， 所以点 D 的坐标为 （1，0） ，又 AD 平分 OB 知，2OD2OB，所以点 B 坐标为（ 2，0） ，进而求出一次函数解析式。三. 探求点的坐标例 4. （2006 年咸宁市中考题）如图6，直线1x21y分别交 x轴、 y 轴于点 A，C，点P是直线AC 与双曲线xky在第一象限内的交点，xPB轴，垂足

5、为点B，APB的面积为 4。（1）求点 P的坐标；（ 2）略。析解：在1x21y中，令0 x，则1y；令0y，则2x。所以点 A 的坐标为（ -2，0） ，点 C的坐标为（ 0，1） 。因为点 P的直线1x21y上，不妨设点P的坐标为)1m21,m(所以1m21PB, 2mAB。又因为4PBAB21SAPB所以4)1m21)(2m(21整理得012m4m2即0)6m)(2m(解得6m,2m21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - -

6、- - - 学习好资料欢迎下载因为点 P在第一象限，所以2m。故点 P的坐标为（ 2，2） 。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。四、 交点问题1、 与坐标轴的交点问题：无限趋近于x、y 轴，与 x、y 轴无交点。2、 与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性。3、 与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。解决交点问题时，需要注意：（1）直线与双曲线的交点坐标适合直线解析式，也适合双曲线解析式；（2） 通过观察图像可以知道在某一自变量范围内，一次函数值与反比例函数值的大小。解题方法：（1）当已知交点求函数解析式时，先将一次函数和反比例函数的解析式

7、设出来，然后把交点坐标代入，求出未知量。（2）对于一次函数值与反比例函数值大小的比较，我们需要观察两者的图像：当直线在双曲线上方时，即一次函数值大于反比例函数值；当直线在双曲线下方时，即一次函数值小于反比例函数值。例题：例 1、如图，一次函数ykx+b 的图象与反比例函数ymx的图象交于A（2，1） ，B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围分析：（1）求反比例函数解析式需要先求出m 的值把 A（2，1）代入 ymx中便可求出m 2把 B（1，n）代入 y2x中得 n2由待定系数法不难求出一次函数解析式（2）认真观

8、察图象，结合图象性质，便可求出x 的取值范围例 2、在平面直角坐标系XOY中，直线yx 绕点 O 顺时针旋转90得到直线L，直线 L 与反比例函数ykx的图象的一个交点为A（a，3） ，试确定反比例函数的解析式分析： 依题意得，直线L 的解析式为yx因为 A（a，3）在直线 yx 上，则 a3，即 A（3，3） ，又因为（ 3，3）在 ykx的图象上，可求得k9，所以反比例函数的解析式为y9x课上练习：1已知正比例函数yk1x(k10)与反比例函数y2kx(k20)的图象有一个交点的坐标为(2， 1)，则它的另一个交点的坐标是( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

9、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A. (2，1) B. (2， 1) C. (2，1) D. (2， 1)2函数 y=1x与函数 y=x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（） A1 个 B2 个 C3 个 D0 个3正比例函数与反比例函数图象都经过点(1，4)，在第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象上方的自变量x 的取值范围是.4已知关于x 的一次函数y=kx+1 和反比例函数y=6x的图象都经过点（2，m ） ，则一次函数的解析式是_5已知

10、一次函数y=3x+m与反比例函数y=3mx的图象有两个交点，当m=_ 时，有一个交点的纵坐标为66若正比例函数ymx(m0)和反比例函数ynx(n0)的图象都经过点(2，3)，则 m_，n_. 7一条直线与双曲线xy1的交点是 A （a，4） ，B（ 1，b） ，则这条直线的解析式为（）A34xy B341xy C 34xy D 34xy8如图，一次函数yaxb 的图象与反比例函数yxk的图象交于M、N 两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围9 如图，已知一次函数y=kx+b（k0）的图象与x 轴、 y 轴分别交于A、B?

11、两点，且与反比例函数y=mx（m 0）的图象在第一象限交于C点， CD垂直于 x 轴，垂足为D，?若OA=OB=OD=1 （1）求点 A、B、D的坐标 ;（2）求一次函数和反比例函数的解析式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载五、面积问题1、则：2、则：3、则：.A轴的垂 线x做P过,)0(),(（如图所示），垂足为有上任意一点是双曲线设kxkynmP|21|2121knmAPOASOAP).( |

12、如图所示矩形knmAPOASOAPBB.A轴yx做P过,)0(),(，轴的垂线，垂足为分别有上任意一点是双曲线设kxkynmP.),(),(点轴的垂线交于作轴的垂线与过作过关于原点的对称点是设AyPxPnmPnmP).(如图所示|k|2|2n|2m|21|PAAP|21PSAP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例题：例 1如图，过反比例函数xy1（x0）的图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂

13、线，垂足分别为C、D，连接 OA、OB，设 AOC 和BOD 的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1S2（B）S1S2 （C）S1S2（D）大小关系不能确定分析： 从反比例函数xky（k0）的图象上任一点P（x，y）向 x 轴、 y 轴作垂线段，与x 轴、 y 轴所围成的矩形面积kxyS，由此可得S1S2 21，故选 B 例 2如图， P 是反比例函数xky图像上的一点，由P 分别向 x 轴、 y 轴引垂线，阴影部分面积为3，则这个反比例函数的解析式是。分析： 由性质 (2)可得：例 3 如图， A、B 是函数xy1的图像上关于原点O 对称的任意两点，AC平行于 y 轴，

14、BC平行于 x 轴， ABC的面积为 S，则（）A.S = 1 B.1S2 分析： 由上述性质 (3)可知 , SABC = 2|k| = 2 例 4如图 :A、C是函数xy1的图象上任意两点，过 A 做 x 轴的垂线，垂足为B,过 C做 y 轴的垂线，垂足为 D.记AOBRt的面积为1S,OCDRt的面积为2S,则（）A.21SSB.21SSC.21SSD.1S和2S的大小关系不能确定. 分析：由上述性质1 可知选 C。注意此题不属于性质3 的题型，要仔细读题，不能只看图像想当然的去做。理解并熟练掌握运用上述三个性质是解决此类问题的关键。.3|,|kkSAPCO矩形,四象限图像在二又3k.3

15、xy解析式为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 5、如图，已知一次函数bkxy的图象与反比例函数xy8的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2，求：（1）一次函数的解折式；（2） AOB的面积例 6已知反比例函数xmy3和一次函数1kxy的图象都经过点mP(，)3m(1) 求点 P的坐标和这个一次函数的解析式；若点 M(a，1y) 和点 N (1a，2y)都在这个一次函数的图象上

16、试通过计算或利用一次函数的性质，说明1y大于2y1、如图，点P是 x 轴上的一个动点，过点P作 x 轴的垂线 PQ交双曲线xy1于点 Q，连结 OQ ，当点 P沿 x 轴正半方向运动时，RtQOP 面积（） A逐渐减小 B 逐渐增大 C 保持不变 D无法确定2、反比例函数的图象在第一象限内经过点A，过点A分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为PQ，已知四边形APOQ的面积为4，那么这个反比例函数的解析式为（）4yx4xy4yx2yx3、如图，点P是反比例函数2yx图象上的一点，PD垂直于x轴于点D，计算POD的面积的面积。yxBAOAQOPxyy x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

17、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4、如图，AC，是函数1yx的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记AOBtR的面积为1S，CODtR的面积为2S，则（）12SS12SS12SS1S和2S的大小关系不能确定5、 如图所示， 正比例函数xky1的图象与反比例函数xky2的图象交于A、B两点，其中点A 的坐标为)32,3(。（1）分别写出这两个函数的表达式。（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？（3）若点 C坐标是（ 4，0） ，请求 BOC的面积。（4）试着在坐标轴上找点D,使AODBOC 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -