2022年七年级数学培优提高讲义相交线与平行线.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载七年级数学竞赛讲座：相交线与平行线一、学问要点：1.平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种：相交和平行；2.两条不同的直线,如它们只有一个公共点,就说它们相交；即,两条直线相交有且只有一个交点；3.垂直是相交的特别情形；有关两直线垂直,有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上全部点的连线中,垂线段最短；4两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,假如两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的

2、一对角叫做_ ；假如两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做 _ ；假如两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做 _. 5平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线 _. 推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么_. 6平行线的判定：两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行 .简洁说成： _. 两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等,那么这两条直线平行 .简洁说成： _. 两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,那么这两条直线平行.简洁说成： _. 7在同一平面内,假如两条直线都垂直于同一

3、条直线,那么这两条直线 _ . 8平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等 .简洁说成： .两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简洁说成： _ .两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补 .简洁说成： _；. 方法指导： 平行线中要懂得平行公理,能娴熟地找出 “ 三线八角”图形中的同位角、 内错角、同旁内角, 并会运用与“ 三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理,利用平行公理及其推论证明或求解；二、例题精讲例 1如图 1 ,直线 a 与 b 平行, 1 3x+70 , 2=5x+22 , 3la求 3 的度数；例 2已知：如图 2, AB EF CD ,EG 平分 B

4、EF, B+A24bBBED+ D =192 ,G细心整理归纳 精选学习资料 CEDF 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载B- D=24 ,求 GEF 的度数；解： AB EF CD B=BEF, DEF=D（两直线平行,内错角相等） B+BED+ D =192 （已知）即 B+BEF+DEF+ D=192 2（ B+D）=192 （等量代换）就 B+D=96 （等式性质） B- D=24 （已知）图2

5、 B=60 （等式性质）即 BEF=60 （等量代换）EG 平分 BEF（已知） GEF=1 BEF=30 （角平分线定义）2例 3如图（ 3）,已知 AB CD,且 B=40 , D=70 ,求 DEB 的度数；解：过 E 作 EF AB AB CD （已知）CEDFEF CD （平行公理）ABBEF=B=40DEF=D=70 （两直线平行,内错角相等）DEB= DEF- BEF DEB = D- B=30评注：证明或解有关直线平行的问题时,假如不构成“ 三线八角”图（ 3）,就应添出帮助线；例 4已知锐角三角形ABC 的三边长为a,b,c,而 ha,hb,hc 分别为对应边上的高线长,说明

6、： ha+hb+hca+b+c 分析：对应边上的高看作垂线段,而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知,hac ,hba,hcb 以上三式相加得 ha+hb+hca+b+c 讨论垂直关系应把握好垂线的性质；1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；CD 于bhaac2 垂线段最短；例 5 如图（ 4）,直线 AB 与 CD 相交于 O,EF AB 于 F,GHH,求证 EF 与 GH 必相交；分析：欲证EF 与 GH 相交,直接证很困难,可考虑用反证AFEOGHD 第 2 页,共 9 页 法；证明：假设EF 与 GH 不相交；EF、GH 是两条不同的直线CB细心整理归纳 精选学习资料 - - -

7、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -EF GH 优秀学习资料欢迎下载EF AB故 AB CD 垂直于同始终线的两直线平行图（ 4）GHAB 又因 GHCD这与已知 AB 和 CD 相交冲突；所以 EF 与 GH 不平行,即 EF 与 GH 必相交评注：此题应用结论：1 垂直于同一条直线的两直线平行；2 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线,那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6平面上 n 条直线两两相交且无 解： 2 条直线产生 1 个交点,3 条或 3

8、条以上直线共点,有多少个不同交点？第 3 条直线与前面2 条均相交,增加2 个交点,这时平面上3 条直线共有1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面3 条均相交,增加3 个交点,这时平面上4 条直线共有1+2+3=6 个交点；就 n 条直线共有交点个数：1+2+3+ + n-1= 1nn-1 2评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形,需要认真观看,由简及繁,深化摸索,从中发觉规律；例 7 6 个不同的点,其中只有3 点在同一条直线上,2 点确定一条直线,问能确定多少条直线？解： 6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线,除去共线的 3 点中重合多算的 2 条直线,即

9、能确定的直线为 15-2=13 条；另法： 3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线,这 3 点与直线上的 3 点最多有 33=9 条直线,加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条评注：一般地,平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+ +n-1= 1nn-1 2例 810 条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域？解： 2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交,最多有两个交点,此直线被这两点分成 3 段,每一段将它所在的区域一分为二,就区域增加 3 个,即最多分成 2+2+3=7 个不同区域；同理： 4

10、 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域；10 条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域1nn+1=1n2+n+2块不同 第 3 页,共 9 页 推广： n 条直线两两相交,最多将平面分成2+2+3+4+ +n=1+22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载的区域摸索：平面内n 个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域？1800例 9平面上 n 条直线两两相交

11、,求证所成得的角中至少有一个角不大于n证明：平面上 n 条直线两两相交最多得对顶角 n n 12平面上任取一点 O,将这 n 条直线均平行移动过点 2nn-1对,即 2nn-1 个角 O,l 3成为交于一点O 的 n 条直线,Ol2l n这 n 条直线将以O 为顶点的圆周角分为2n 个（共 n 对）互不重叠的角：1、2、3、 、2n由平行线的性质知,这2n 个角中每一个都和原先n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等,即这2n 个角均是原 2nn-1个角中的角；如这 2n 个角均大于1800,就1+2+3+ +2n 2n1800=360 , nn而1+2+3+ +2n =360 , 产生冲

12、突故1、2、3、 、2n中至少有一个小于1800,n即原先的 2nn-1 中至少有一个角不小于1800n评注：通过平移,可以把原先分散的直线集中交于同一点,从而解决问题；例 10（a）请你在平面上画出6 条直线（没有三条共点）,使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交,并简洁说明画法；（b）能否在平面上画出7 条直线（任意3 条都不共点） ,使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交,假如能请画出一例,假如不能请简述理由；解：（a）在平面上任取一点A；BAEDHGm1过 A 作两直线m1 与 n1；在 n1 上取两点B,C,在m1上取两点 D,G；过 B 作 m2 m1,过 C 作 m3

13、m1,过D 作 n2 n1,过 G 作 n3 n1,这时 m2、m3、n2、n3交得 E、m2F、H、I 四点,如下列图；由于彼此平行的直线不相交,所以,图中每条直线都恰与另3 条直线相交；CFIm3n1n2n3（b）在平面上不能画出没有3 线共点的7 条直线,使得其中每条直线都恰与另外3 条直线相交；理由如下：假设平面上可以画出 7 条直线, 其中每一条都恰与其它 3 条相交, 因两直线相交只有一个交点,又没有 3 条直线共点,所以每条直线上恰有与另 3 条直线交得的 3 个不同的交点；依据直线去计数这些交点,共有3 721 个交点,但每个交点分属两条直线,被重复细心整理归纳 精选学习资料

14、- - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载计数一次,所以这 7 条直线交点总数为 21 10.5 个,由于交点个数应为整数,冲突；2所以,满意题设条件的 7 条直线是画不出来的；三、巩固练习1平面上有 5 个点,其中 仅有 3 点在同始终线上,过每 2 点作一条直线,一共可以作直线（）条A6 B 7 C8 D92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A 3 B1 或 3 C1 或 2 或 3 D不肯定是 1,2,

15、3 3平面上 6 条直线两两相交,其中仅有 3 条直线过一点,就截得不重叠线段共有（）A36 条 B33 条 C24 条 D21 条4已知平面中有 n 个点 A , B , C 三个点在一条直线上,A , D , F , E 四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这 n个点作一条直线,那么一共可以画出 38 条不同的直线,这时 n等于（）（ A）9 （ B）10 （C）11 （ D）125如平行直线 AB 、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形,就共得同旁内角 （）A4 对 B8 对 C12 对 D 16 对6如图,已知 FD BE,就 1+2- 3= A90

16、B135C150D180A A 1 EE G 3A B 1 CF G C D BC D 22 F DH 第 5 题 F B 第 6 题 E第 7 题7如图,已知 AB CD, 1=2,就 E 与 F 的大小关系；8平面上有 5 个点,每两点都连一条直线,问除了原有的 5 点之外这些直线最多仍有 交点G9平面上 3 条直线最多可分平面为 个部分；A P B10如图, 已知 AB CD EF,PS GH 于 P,FRG=110 ,就 PSQ；CSQlHDE第10题RF11已知 A 、B 是直线 L 外的两点,就线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是；个；12平面内有4 条直线,无论其关系如何,它

17、们的交点个数不会超过13已知：如图,DE CB ,求证： AED= A+ B 14已知：如图,AB CD ,求证： B+D+ F=E+G 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载BAAEFDEG第 14 题DDCBC第 13 题15如图,已知CBAB , CE 平分 BCD ,DE 平分 CDA ,AEDC+ ECD =90 ,求证： DAAB E16平面上两个圆三条直线,最多有多少

18、不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交, 最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18始终线上 5 点与直线外3 点,每两点确定一条直线,最多确定多B第 15 题C少条不同直线？19平面上有8 条直线两两相交,试证明在全部的交角中至少有一个角小于23 ；20平面上有 10 条直线, 无任何三条交于一点,欲使它们显现 到？画出图形；答案31 个交点,怎样支配才能办1 5 个点中任取 2 点,可以作 4+3+2+1 10 条直线,在始终线上的 3 个点中任取 2 点,可作 2+13 条,共可作 10-3+18（条）应选 C 2平面上 3 条直线可能平行或重合；应选 D 3对于 3 条共

19、点的直线, 每条直线上有 4 个交点, 截得 3 条不重叠的线段,3 条直线共有 9条不重叠的线段对于 3 条不共点的直线,每条直线上有5 个交点, 截得 4 条不重叠的线段,3 条直线共有12条不重叠的线段；故共有 21 条不重叠的线段；应选 D 4由 n 个点中每次选取两个点连直线,可以画出 n n 1 条直线, 如 A , B , C 三点不在一条2直线上,可以画出 3 条直线,如 A , D , E , F 四点不在一条直线上,可以画出 6 条直线,n n 1 3 6 2 38 . 整理得 n 2 n 90 0 , n 10 n 90 0 .2 n+9 0 n 10 ,选 B；5直线

20、EF、GH 分别“ 截” 平行直线 AB 、CD ,各得 2 对同旁内角,共 4 对；直线 AB 、CD 分别“ 截” 相交直线 EF、GH ,各得 6 对同旁内角,共 12 对；因此图中共有同旁内角4+616 对细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AEGB优秀学习资料A3欢迎下载A1E1CH第 5 题DF2GCEDC2DBF第 6 题FB6 FD BE 2=AGF AGC= 1-3 1+2-3=A

21、GC+ AGF=180 选 B7解： AB CD （已知） BAD= CDA （两直线平行,内错角相等） 1=2（已知） BAD+ 1=CDA+ 2（等式性质）即 EAD= FDA AE FD E F 8解：每两点可确定一条直线,这 5 点最多可组成10 条直线, 又每两条直线只有一个交点,所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1 45（个）又因平面上这5 个点与其余4 个点均有 4 条连线,这四条直线共有3+2+1 6 个交点与平面上这一点重合应去掉,共应去掉 应为 45-3015 个5 6=30 个交点,所以有交点的个数9可分 7 个部分 10解AB CD EF ASGPQlH

22、BAPQDQG=FRG=110同理 PSQ=APS CD PSQ= APQ-SPQ=DQG- SPQ ERF=110 -90 =2011 0 个、 1 个或很多个第10题1）如线段 AB 的垂直平分线就是L ,就公共点的个数应是很多个；2）如 AB L ,但 L 不是 AB 的垂直平分线,就此时 AB 的垂直平分线与 L 是平行的关系,所以它们没有公共点,即公共点个数为 0 个；3）如 AB 与 L 不垂直,那么 AB 的垂直平分线与直线 L 肯定相交,所以此时公共点的个数为 1 个12 4 条直线两两相交最多有1+2+36 个交点DFEAB13证明：过E 作 EF BA 2=A（两直线平行,

23、内错角相等）DE CB,EF BA C 1=B（两个角的两边分别平行,这两个角相等） 1+2=B+ A（等式性质）即 AED= A+B 细心整理归纳 精选学习资料 14证明：分别过点E、F、G 作 AB 的平行线 EH、PF、 GQ,CPGEBH 第 7 页,共 9 页 就 AB EH PF GQ（平行公理）AB EH FQD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载ABE BEH （两直线平行,内错角相等）同理： HEF EFP

24、PFG FGQ QGD GDC ABE+ EFP+PFG+GDC BEH+ HEF+ FGQ+QGD（等式性质）ADE 即B+ D+ EFG= BEF+GFD AD15证明： DE 平分 CDA CE 平分 BCD EDC= ECD = BCE角平分线定义 CDA + BCD= EDC+ ADE+ ECD+ BCE =2（ EDC+ ECD） 180EDA CB 又CB AB DA AB B第 15 题 C16两个圆最多有两个交点,每条直线与两个圆最多有 4 个交点,三条直线最多有 3 个不同的交点,即最多交点个数为：2+4 3+3=17 17（1）2 个圆相交有交点 2 1 1 个,第 3

25、个圆与前两个圆相交最多增加 2 24 个交点,这时共有交点 2+2 26 个第 4 个圆与前 3 个圆相交最多增加 2 36 个交点,这时共有交点 2+2 2+2 3 12 个第 5 个圆与前 4 个圆相交最多增加 2 48 个交点5 个圆两两相交最多交点个数为：2+2 2+2 3+2 420 （2）2 个圆相交将平面分成 2 个区域3 个圆相看作第 3 个圆与前 2 个圆相交,最多有 2 24 个不同的交点,这 4 个点将第 3 个圆分成 4 段弧, 每一段弧将它所在的区域一分为二,面共有区域： 2+2 26 块故增加 2 24 块区域, 这时平4 个圆相看作第4 个圆与前 3 个圆相交,最

26、多有2 36 个不同的交点,这6 个点将第 4 个圆分成 6 段弧, 每一段弧将它所在的区域一分为二,面共有区域： 2+2 2+2 312 块故增加 2 36 块区域, 这时平5 个圆相看作第5 个圆与前 4 个圆相交,最多有2 48 个不同的交点,这8 个点将第 5 个圆分成 8 段弧, 每一段弧将它所在的区域一分为二,面最多共有区域：2+2 2+2 3+2 420 块故增加 2 48 块区域, 这时平18直线上每一点与直线外3 点最多确定3 5=15 条直线；直线外3 点间最多能确定3 条直线, 最多能确定15+3+1=19 条直线 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - -

27、- 19将这 8 条直线平移到共点后,构成8 对互不重叠的对顶角,这8 个角的和为180假设这 8 个角没有一个小于23 ,就这 8 个角的和至少为: 23 8=184 ,这是不行能的 .因此这 8 个角中至少有一个小于23 , 在全部的交角中至少有一个角小于2320平面上有 10 条直线, 如两两相交,最多可显现45 个交点, 题目要求只显现31 个交点,就要削减 14 个交点,就必需显现平行线,如某一方向上有5 条直线相互平行,就可削减10个交点；如有6 条直线相互平行,就可削减15 个交点；故在这个方向上最多可取5 条平行线,这时仍有4 个交点需要减去,转一个方向取3 条平行线, 即可削减3 个交点, 这时仍剩细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载下 2 条直线和一个需要减去的点,只须让这 如图这三组平行线即为所求；2 条直线在第三个方向上相互平行即可；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -