2022年人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载人教版九年级数学下二次函数最全的中考学问点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地,形如yax2bxc（ a, , 是常数,a0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数2二次函数 y ax bx c的结构特点： 等号左边是函数, 右边是关于自变量 x的二次式, x的最高次数 2 a, , 是常数,a是二次项系数, b 是一次项系数,c是常数项二次函数各种形式之间的变换2 2二次函数 y ax bx c 用配方法可化成：y a x h k 的形式,

2、其2中 h b,k 4 ac b . 2 a 4 a二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 , 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： y ax 2； y ax 2 k； y a x h 2； y a x h 2k； y ax 2 bx c . 二次函数解析式的表示方法一般式：yax2bxc （ a, b , c 为常数,a0）；x轴两交点的横坐顶点式：ya xh2 k （ a , h , k 为常数,a0）；两根式：ya xx 1 xx 2（a0,1x,x 是抛物线与标） . 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点

3、,即 b 24 ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示互化 . 二次函数yax2bxc 图象的画法二次函数解析式的这三种形式可以五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 y ax 2bx c 化 为 顶 点 式y a x h 2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0,c、以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c、与 x轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y

4、 轴的交点 . 名师归纳总结 二次函数yax2的性质对称性质第 1 页,共 5 页顶点坐a的符号开口方 向标轴x 0 时,y随x的增大而增大；x 0 时,y 随 x 的增大而减小；x 0 时,y有最小a0向上0,0y 轴0,0y 轴值0a0向下x 0 时,y随x的增大而减小；x 0 时,y 随 x 的增大而增大；x 0 时,y有最大值 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数yax2c 的性质学习必备欢迎下载a的符号开口方顶点坐对称性质向标轴a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有

5、最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 二次函数ya xh2的性质：性质a的符号开口方 向顶点坐对称标轴a0向上h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时,y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 0 二次函数ya xh2k 的性质性质a的符号开口方 向顶点坐对称标轴a0向上h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时,y

6、随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 名师归纳总结 抛物线yax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a0时,第 2 页,共 5 页a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0时,开口向上；当开口向下；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x b . 特殊地, y 轴记作2 a直线 x 0 . 2顶点坐标：（b

7、,4 ac b）2 a 4 a顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数, 假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 抛物线 y ax 2bx c 中,a , b , c 与函数图像的关系二次项系数 a二次函数yax2bxc中, a作为二次项系数,明显a0a 的值越小,开 当a0时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下,a越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a的正负打算开口方向,a的大小打算开口的大小一次项系数 b在二次项系数 a确定的前提下, b

8、打算了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下,当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2 a 在 a 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2 a总结起来,在 a确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c 当c0时,抛物线与y轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标

9、为正； 当c0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当c0时,抛物线与y轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负名师归纳总结 总结起来, c 打算了抛物线与y 轴交点的位置第 3 页,共 5 页总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求抛物线的顶点、对称轴的方法2 2公 式 法 ：y ax 2bx c a x b 4 ac b, 顶 点 是2 a 4 a2（b,4 ac b）,对称轴是直线 x b . 2 a 4 a 2 a2配方

10、法： 运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为 y a x h k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 x h . 运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,是顶点 . 对称轴与抛物线的交点用配方法求得的顶点, 再用公式法或对称性进行验证, 才能做到万无一失 . 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式 . 顶点式：yaxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、x ,通常选用交点式：yaxx 1xx2

11、. 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线yax2bxc得交点为 0, c. bxc有且只有一个交点与 y 轴平行的直线xh与抛物线yax2c的图像与 x 轴的两个交点 h ,ah2bhc. 抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数yax2bx的横坐标x 、x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0有一个交点（顶点在抛物线与 x轴相交；x轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 . 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,

12、 两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . 一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y ax 2bx c a 0 的y kx n图像 G 的交点,由方程组 2 的解的数目来确定：方程y ax bx c组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时 l与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 . 名师归纳总结 ABx 1抛物线与 x 轴两交点之间的距离： 如抛物线yax2bxc与x轴两交点第 4 页,共 5 页为Ax 1,Bx2,由于x 、x 是方程ax2bxc0的两个根,故x1x 2b,x 1x

13、2caab24 cb24 acx 2x 1x 22x 1x 224x 1x 2aaaa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数图象的对称 或顶点式表达 关于 x轴对称:二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式y2 a xhb x关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bx2c ；ya x2k 关于 x轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；关于 y 轴对称y2 a xhb x关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bx2c；ya x2k 关于 y轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；关于原点对称y2 a xxb x关于原

14、点对称后,得到的解析式是yyax2bxc；ya2 h关于原点对称后,得到的解析式是a xh2k ；关于顶点对称y2 a xb x关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bx2c2 b2 a；2 nkya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xhhk 关于点m,n对称yya x2m2a xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h,k； 保持抛物线 y ax 的外形不变, 将其顶点平移到 h,k 处,详细平移方法如下：y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|个单位y=ax-h2+k平移规律在原有函数的基础上 “ h 值正右移,负左移；概括成八个字 “ 左加右减,上加下减”k值正上移,负下移 ”名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页