2022年三角函数的图像和性质知识点及例题讲解.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：0,0 2,1 ,0 3,-1 2,0 正弦函数y=sinx ,x0 ,2 的图象中,五个关键点是：2余弦函数y=cosx x0,2 的图像中,五个关键点是：0,1 2,0 ,-1 3,0 2,1 22、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性 质函 数ysinxycosxytanx图象定义当xR2时,当xyR2 kx xk2,k域值1,11,1R域2k22 k时,最ymaxk2ymax1；当x既无最大值也无最小值1；

2、当x值y时,min1时,min1周期22性奇偶奇函数偶函数奇函数性单在 2k2,2k2在 2 k,2k,2k上是增 函在k2,k2上是增函数；数；调性在2k2, 2 k3在 2 k上是减 函上是增函数数2上是减函数对对称中心k,02对称中心k2,0对称中心k,0 第 1 页,共 6 页 称2性对称轴xk对称轴 xk无对称轴细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载例作以下函数的简图1y=|sinx| ,x0,2

3、 ,2y=-cosx ,x0,2例利用正弦函数和余弦函数的图象,求满意以下条件的 x 的集合： 1 sinx1y2 cosx1T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,223、周期函数定义：对于函数f x ,假如存在一个非零常数都有：f x T f x ,那么函数 y f x 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期；留意：周期 T 往往是多值的（如 y sin x 2 ,4 , ,-2 ,-4 , 都是周期）周期 T 中最小的正数叫做y f x 的最小正周期 （有些周期函数没有最小正周期）y sin x , y cos x 的最小正周期为 2（一般称为周期）正弦函数、余弦函数：T2；正

4、切函数：例 求以下三角函数的周期：1 y=sinx+3 2 y=cos2x 3 y=3sinx + 25 4 y=tan3x 例求以下函数的定义域和值域：（1）y2sinx（2）y3sinx（3）ylgcosx 第 2 页,共 6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 5 求函数ysin2x3学习必备欢迎下载的单调区间例不求值,比较大小1sin 、 sin ； 2cos23 、cos 17 18 10 5 4解： 1

5、 2cos23 cos 23cos 32 10 18 2 5 5 5且函数 ysin x,x,是增函数 cos17 cos 17cos2 2 4 4 4sin sin 03 10 18 4 5即 sin sin 0 且函数 y cosx,x 0, 是减函数18 10cos 3cos5 4即 cos 3cos0 5 423 17cos cos 0 5 44、函数 y sin x 0, 0 的图像：（1）函数 y sin x 0, 0 的有关概念：振幅：；周期：2；频率：f 1；相位：x； 初相：22 振幅变换y=Asinx ,x RA0 且 A 1 的图象可以看作把正数曲线上的全部点的纵坐标伸长

6、 A1 或缩短 0A1到原先的 A倍得到的它的值域 -A, A 最大值是 A, 最小值是 -A 如 A0 且 1 的图象,可看作把正弦曲线上全部点的横坐标缩短 1 或伸长0 1到原先的 1 倍（纵坐标不变）如 0 就可用诱导公式将符号“ 提出” 再作图 打算了函数的周期,这一变换称为周期变换4相位变换 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一般地,函数 ysin x ,xR 其中 0

7、的图象,可以看作把正弦曲线上全部点向左 当0时 或向右 当0 时平行移动个单位长度而得到 用平移法留意讲清方向： “ 加左” “ 减右” ysin x 与 ysin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换称为 相位变换5、小结平移法过程（步骤）作 y=sinx（长度为 2 的某闭区间）沿 x 轴平 移 |个单位 得 y=sinx+ 横坐标伸长或缩短得 y=sinx 横坐标伸长或缩短沿 x 轴平移|个单位得 y=sin x+ 1得 y=sin x+ 纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短得 y=Asin x+的图象,先在一个6、函数ysinx,当xx 时,取得最小值为ymin；当x

8、x 时,取得最大值为y max,就1ymaxymin,1ymaxymin,2x 2x 12x 1x2图 e 22例 如图 e,是 f（x） Asin（ x ）, A0, 的一段图象,就 f（x）的表达式为例如图 b 是函数 yAsin x ） 2 的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是 A A3, 4, 6 第 4 页,共 6 页 3B A1, 4, 334C A1, 2, 334D A1, 4, 63细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

9、- - - - -学习必备 欢迎下载例 画出函数 y3sin2 x ,xR的简图3解： 五点法 由 T2,得 T 列表：2x 7 56 12 3 12 62x+ 0 323 2 23sin2 x+ 0 3 0 3 0 3例求函数 y tan 3 x 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性3解：由 3 x k 得 x k 5,3 2 3 18所求定义域为 x | x R , 且 x k 5, k z3 18值域为 R,周期 T,是非奇非偶函数3在区间 k , k 5 k z 上是增函数3 18 3 18例 已知函数 y=si n2x+ 3 cos2x-21 用“ 五点法” 作出函数在一

10、个周期内的图象2 求这个函数的周期和单调区间3 求函数图象的对称轴方程4 说明图象是由y=si nx 的图象经过怎样的变换得到的75解： y=sin2 x+3 cos2x-2=2sin2x+3-2 1 列表x 61231262x30 2322y2sin2x32-2 0 -2 -4 -2 其图象如图示2T2=32+2k ,知函数的单调增区间为 第 5 页,共 6 页 2由-2+2k 2x+-5 +k , 1212+k , kZ细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

11、- - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - 由2+2k 2x+33 +2k ,知函数的单调减区间为 212+k ,12 +k , kZ3 由 2x+3=2+k 得 x=12+k 2函数图象的对称轴方程为x=12+k , kZ 24 把函数 y1=sin x 的图象上全部点向左平移3个单位,得到函数y2=si n x+3 的图象；再把 y2 图象上各点的横坐标缩短到原先的1 倍 纵坐标不变 ,得到 y3=sin 2 2x+3 的图象；再把 y3 图象上各点的纵坐标伸长到原先的2 倍 横坐标不变 ,得到 y4=2sin 2x+3 的图象；最终把 y4 图象上全部点向下平移2 个单位,得到函数y=2sin 2x+3-2 的图象细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -