2022年不等式证明个典型例题.docx

《2022年不等式证明个典型例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年不等式证明个典型例题.docx（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载典型例题一例 1如0x1,证明loga1x 1loga1x （a0且a1）分析 1 用作差法来证明需分为a和0a1两种情形,去掉确定值符号,然后比较法证明细心整理归纳 精选学习资料 解法 1 （ 1）当a1时, 第 1 页,共 13 页 由于01x1,1x1,所以loga 1x loga1xloga 1xloga 1xloga 1x20（2）当0a1 时,由于01x1,1x1所以loga 1xloga 1xl o g1xl o g1x l o g a1x20综合（ 1）（2）知loga1x

2、loga1x 分析 2 直接作差,然后用对数的性质来去确定值符号解法 2 作差比较法由于loga 1xloga 1xlg 1x lg 1x lgalga1lg1x lg1xlga1lg1xlg1xlgalg1lg1x20,a所以loga 1x loga 1x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载说明： 解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去确定值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法

3、自然简捷、明快典型例题二例 2 设ab0,求证：aabbabba.分析： 发觉作差后变形、判定符号较为困难考虑到两边都是正数,可以作商,判定比值与 1 的大小关系,从而证明不等式证明：aabbaabbbaaabaabbbaa,1ab0 .0,abbaabbab1. 1 .bbbaabba又a0,aabbabba. 说明：此题考查不等式的证明方法比较法作商比较法 .作商比较法证明不等式的步骤是：判定符号、作商、变形、判定与 1 的大小 . 典型例题三例 3 对于任意实数a 、 b ,求证a42b4a2b4（当且仅当 ab时取等号）,分析这个题如使用比较法来证明,将会很麻烦, 由于,所要证明的不等

4、式中有a2b4 绽开后很复杂；如使用综合法,从重要不等式：a2b22 ab 动身,再恰当地利用不等式的有关性质及“ 配方” 的技巧可得到证明；细心整理归纳 精选学习资料 证明： a2b22ab （当且仅当a22 b 时取等号） 第 2 页,共 13 页 两边同加a4b4: 2a4b4a2b22,即：a424 ba22b22（1）又：a2b22ab （当且仅当 ab时取等号）两边同加a2b2: 2a2b2ab 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a

5、22b2a2b2学习必备欢迎下载a22b22a2b42（2）由（ 1）和（ 2）可得a424 bab4（当且仅当 ab 时取等号）说明：此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要留意均值不等式的变形应用,一般式子中显现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解典型例题四例 4 已知 a 、 b 、 c R ,a b c 1,求证1 1 19.a b c分析 明显这个题用比较法是不易证出的；如把 1 1 1通分,就会把不等式变得较a b c复杂而不易得到证明由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“ 倒数”特点的形式,比如b a,再利用“ 均值定理” 就有可能找

6、到正确的证明途径,这也常称为“ 凑a b倒数” 的技巧证明： a b c 11 1 1 a b c a b c a b ca b c a b c1 b c a 1 c a b 1a a b b c c3 b a c a c b a b a c b cb a 2 b a 2,同理：c a 2,c b 2；a b a b a c b c1 1 1 3 2 2 2 9.a b c说明： 此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“ 凑倒数”,这种技巧在许多不等式证明中都可应用,但有时要第一对代数式进行适当变形,以期达到可以 “ 凑倒数”的目的典型例题五细心整理归纳 精选学习资料 例 已知abc,

7、求证：111 0. 第 3 页,共 13 页 abbcca分析： 此题直接入手不简洁,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备. 欢迎下载书写,所以此题用两种方法来书写证明过程证明一： 分析法书写过程 为了证明 1 1 10 a b b c c a只需要证明 1 11a b b c a ca b ca c a b 0 , b c 01 1 , 1 0 a b a c b c1 11 成立a b

8、b c a c1 1 10 成立a b b c c a证明二： 综合法书写过程 a b ca c a b 0 , b c 011 1 0 a b a c b c1 11 成立a b b c a c1 1 10 成立a b b c c a说明： 学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法常常混在一起应用,混合应用时,应用语言表达清晰 . 典型例题六例 6分析如a0,b0,且 2cab,求证：c2 cabacc2ab.这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们把握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采纳分析的方法来查找证明途径但用“ 分析” 法证不等式,要有严格的格式, 即每

9、一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等） 细心整理归纳 精选学习资料 证明： 为要证cc2abacc2ab. 第 4 页,共 13 页 只需证2 cabac2 cab ,即证acc2ab ,也就是ac 2c2ab, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即证a22 acab,学习必备欢迎下载即证 2 ac a a b ,a 0,2 c a b b 0,c a b ab ,故 c 2ab 即有 c 2ab 0,2

10、又 由 2c a b 可得 2 ac a a b 成立,2 2 所求不等式 c c ab a c c ab 成立说明： 此题考查了用分析法证明不等式在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应当是：“ 欲证 需证 ”,综合法的书写过程是： “ 因为（） 所以（） ”,即使在一个题目中是边分析边说明也应当留意不要弄混典型例题七例 7 如a3b32,求证ab2分析： 此题结论的反面比原结论更详细、更简、宜用反证法细心整理归纳 精选学习资料 证法一：假设ab2,就a3b3abb a2abb22 a2abb2, 第 5 页,共 13 页 1 2而a3b32,故a2abb211

11、aba2b22ab从而ab1,a2b21ab26 b2,即 b0,ab2a2b22ab22ab4ab2这与假设冲突,故ab2证法二：假设ab2,就a2b,故2a3b32b 3b3,即2812这不行能从而ab2b33abab8证法三：假设ab2,就ab3a3由a3b32,得3ab ab6,故ab ab2又a3b3aba2abb22, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ab abab a2abb学习必备欢迎下载2a2abb2ab,即ab20a2这不行能

12、,故b说明： 此题三种方法均采纳反证法,有的推至与已知冲突,有的推至与已知事实冲突一般说来,结论中显现“ 至少”“ 至多” “ 唯独” 等字句,或结论以否定语句显现,或结论确定“ 过头” 时,都可以考虑用反证法典型例题八例 8 设 x、 y 为正数,求证x2y23x3y3分析： 用综合法证明比较困难,可试用分析法证明： 要证x23xy23x3y3,只需证x2y232x3y32,即证x63xy6,y04y23x2y4y6x623 xy3化简得3x4y22y42x3y3,x2y23x22xy34y2433y20,3x22xy3y20x2y2 3x22xy3y20原不等式成立说明： 1此题证明易显现

13、以下错误证法：0x21y2y2xy,3x31y332x3y3,22然后分 1xy1；2xy1； 3x1且y；41且0x来争论,结果无效2用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是AB,前一步是后一步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以典型例题九例 9 已知1x2y22,求证1x2xyy232分析： 联想三角函数学问,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明细心整理归纳 精选学习资料 证明： 从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数r 第 6 页,共 13 页 1x2y22,2可设xrcos,yrsin,其中1r2,0 - - - - - - - - - - -

14、- - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x2xyy2r2r2sincos学习必备 1欢迎下载2r21 2sinx2由111sin23,故1r2r211sin23r2r2或222222而1r21,3r23,故1x2xyy232222说明： 1三角代换是最常见的变量代换,当条件为x2y2r2或x2y2y21时,均可用三角代换2用换元法肯定要留意新元的范畴,否就所证不等式的a2b2变量和取值的变化会影响其结果的正确性典型例题十例 10 设 n 是正整数,求证n11n112n12111可以采纳22n分析：

15、 要求一个 n项分式1n1的范畴, 它的和又求不出来,2n“ 化整为零” 的方法,观看每一项的范畴,再求整体的范畴证明： 由2nnknk,12,n,得1n1k12nn当k1时,111 n；2nn1当k2时,1112nn2n 当kn时,1111n12nnnn1n1122nn1n22nn说 明 ： 1 、 用 放 缩 法 证 明 不 等 式 , 放 缩 要 适 应 , 否 就 会 走 入 困 境 例 如 证 明1117由1k111,假如从第3 项开头放缩,正好可证明；假如从1222n24k2k第 2 项放缩,可得小于2当放缩方式不同,结果也在变化2、放缩法一般包括：用缩小分母,扩大分子,分式值增大

16、；缩小分子,扩大分母,分式值 缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需 小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩后便于求和典型例题十一细心整理归纳 精选学习资料 例 11 已知ab0,求证：a8b2a2baba8b2 第 7 页,共 13 页 ab分析： 欲证不等式看起来较为“ 复杂”,宜将它化为较“ 简洁” 的形式,因而用分析法 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载证明较好证明： 欲证a

17、b 2a2baba8b2,分析法通常采纳 “ 欲8 ab只须证ab 2ab2aba4b24 ab即要证ab2ab2ab2,2a2b即要证ababab2a2b即要证aab1abb,22即要证aab2abb即要证1b2a1,即b1aabab即要证b1a（*）abab0,（ *）明显成立,故a8b2a2babab2a8 b说明：分析法证明不等式, 实质上是寻求结论成立的一个充分条件证只要证即证已知” 的格式典型例题十二例 12 假如 x , y, zR,求证：x8y88 zx2y3z3y23 zx3z2x3y3因而右边却结合在一起,分析： 留意到不等式左边各字母在项中的分布处于分别状态,而 要 寻

18、求 一 个 熟 知 的 不 等 式 具 有 这 种 转 换 功 能 （ 保 持 两 边 项 数 相 同 ）, 由ab2bc2 ca20,易得a2b2c2abbcca,此式的形状特点符合要求,因此,我们用如下的结合法证明细心整理归纳 精选学习资料 证明： x88 yz8x42y42zz42x222x2x 2y2 第 8 页,共 13 页 x4y4y 4x44x4x 2y22y2z 22z2x2y2y2z2y2z 2z 2x2z - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

19、 - - -xy2z 2学习必备2欢迎下载2yz 2xzx 2y xy2zyz 2xyz2xzx 2yzx 2yxy2zab而得到的 左右两边都是x2y3z3y2z 3x 3z2x3y322x8y8z 8x2y3z3y2z 3x 3z 2x3y3说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式a2b三项,实质上是a2b2c2abbcca公式的连续使用x 8y8z 8x 3y 3z 3111假如原题限定x,y ,zR ,就不等式可作如下变形：xyz进一步可得到：x5xy 53z53111y 3z 33zx 3yxyz明显其证明过程仍旧可套用原题的思路,的过程但比原题要难, 由于发觉思路仍要有一个转化典

20、型例题十三例 13 已知0a1,0b1,0c1,求证：在 1a b,1bc,1c a三数中,不行能都大于1 4分 析 ： 此 命 题 的 形 式 为 否 定 式 , 宜 采 用 反 证 法 证 明 假 设 命 题 不 成 立 , 就 1a b,1b c,1c a三数都大于1 ,从这个结论动身,进一步去导出冲突4证明： 假设 1a b,1b c,1c a三数都大于1 ,4即 1a b1, 1b c1, 1ca1444又0a1,0b1,0c1, 1ab1, 1bc1, 1c a1222 1ab 1bc 1c a32又 1a b1ab, 1b c1bc, 1ca1ca222以上三式相加,即得：细心整

21、理归纳 精选学习资料 1ab 1bc 1ca3 第 9 页,共 13 页 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载明显与相冲突,假设不成立,故命题获证说明： 一般情形下,假如命题中有“ 至多”、“ 至少” 、“ 都” 等字样,通常情形下要用反证法,反证法的关键在于“ 归谬”,同时,在反证法的证明过程中,也贯穿了分析法和综合法的解题思想典型例题十四例 14 已知 a 、 b 、 c 都是正数,求证：2 a bab 3 a b c 3

22、abc2 3分析： 用分析法去找一找证题的突破口要证原不等式,只需证 2 ab c 3 3abc,即只需证 c 2 ab 3 3 abc把 2 ab 变为 ab ab,问题就解决了 或有分析法的途径,也很简洁用综合法的形式写出证明过程证法一： 要证2a2bab3abc3abc,abc3只需证ab2ababc33abc,33abc即2abc33abc,移项,得c2ab由 a 、 b 、 c 为正数,得c2abcabab33原不等式成立证法二： a 、 b 、 c 为正数,cabab33cabab3 3abc即c2ab3 3abc,故2abc33abcab2ababc33abc,2a2bab3ab

23、c3abc3说明： 题中给出的a2b,ab ,abc,3 abc ,只由于 a 、 b 、 c 都是正数,形3式同算术平均数与几何平均数定理一样,不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证,问题就不好解决了原不等式中是用 “ 不大于”连结, 应当知道取等号的条件,此题当且仅当cab时取“ ”号证明不等式不论采纳何种方法,仅仅是一个手段或形式问题,我们必需把握证题的关键此题的关键是证明c2ab3 3abc 第 10 页,共 13 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

24、 - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载典型例题十五例 15 已知a0,b0,且ab1求证：01a1b11可；,aab分析： 记M01a1b1,欲证0M1,联想到正、余弦函数的值aab域,此题采纳三角换元,借助三角函数的变换手段将很便利,由条件ab1,a、bR换元,环绕公式sec 2tan21来进行证明： 令asec 2,btan2,且02,就1a1b11sec1tan1aab2 secsectan2 cos1cossincoscoscossincos 2sin2sin1sincoscos02,0sin1,即01a1b11成立aab说明： 换元的思想随处可见,这里用的

25、是三角代换法,这种代换如能将其几何意义挖掘出来,对代换实质的熟悉将会深刻得多,常用的换元法有： 1如x1,可设xsin,R2如x2y21,可设xcos,ysin,R； 3如x2y21,可设xrcosyrsin,且r1典型例题十六例 16 已知 x 是不等于 1 的正数, n是正整数,求证1xn 1xn2n1xn分析： 从求证的不等式看,左边是两项式的积,且各项均为正,右边有2 的因子,因此可考虑使用均值不等式证明： x 是不等于 1 的正数,1x22xnn0, 1x n2xn又x1xn0将式,两边分别相乘得细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

26、第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 1xn1x n2xn2nxn学习必备欢迎下载, 1 x n 1 x n2 n 1x n说明： 此题看起来很复杂,但依据题中特点,挑选综合法求证特别顺当由特点选方法是解题的关键,这里由于 x 1,所以等号不成立,又由于,两个不等式两边均为正,所以可利用不等式的同向乘性证得结果这也是今后解题中要留意的问题典型例题十七例 17 已知, x , y , zR ,且xyz1,求证xyz3分析： 从此题结构和特点看,使用比较法和综合法都难以奏效为找出访不等

27、式成立的充分条件不妨先用分析法一试,待思路清晰后,再打算证题方法证明： 要证xyz3,yz 23,只需证xyz2 xyxz只需证xyxzyz1zyz x , y , zR ,xy2xy,xz2xz,y2xyz 2 xyxzyz,xyxzyz1成立xyz3说 明 ： 此 题 如 一 味 地 用 分 析 法 去 做 , 难 以 得 到 结 果 在 题 中 得 到 只 需 证xy xz yz 1 后,思路已较清晰,这时改用综合法,是一种好的做法通过此例可以看出,用分析法寻求不等式的证明途径时,有时仍要与比较法、综合法等结合运用,决不可把某种方法看成是孤立的典型例题十八例 18 求证 1 12 12

28、12 22 3 n分析： 此题的难度在于,所求证不等式的左端有多项和且难以合并,右边只有一项 注意到这是一个严格不等式,为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律,这只需从 1n 2下手考查即可细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明： 111n11 学习必备1欢迎下载,1n2n2nnnn1n1 2 1 2 3 1 2 n 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 3 n 11 1n 2 1n 2说明： 此题证明过程并不复杂,但思路难寻 此题所采纳的方法也是解不等式常常用的一种方法,即放缩法这类题目敏捷多样,需要奇妙变形,问题才能化隐为显,这里变形的这一步极为关键典型例题十九a4例 19 在ABC