2022年三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数诱导公式：诱导公式记忆口诀： “奇变偶不变,符号看象限”；“奇、偶 ”指的是 /2的倍数的奇偶, “变与不变 ”指的是三角函数的名称的变化： “变”是指正弦变余弦,正切变余切；（反之亦然成立）“符号看象限 ”的含义是：把角 看做锐角,不考虑 角所在象限,看 n. /2 是第几象限角,从而得到等式右边是正号仍是负号；符号判定口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”；这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ +”； 其次象限内只有正弦是 “ +”,其余全部是

2、“”； 第三象限内只有正切和余切是“ +”,其余全部是 “”； 第四象 限内只有余弦是 “ +”,其余全部是 “”；“ ASCT”反 Z；意即为 “ all全部 ”、“ sin ”、“ cos”、“ tan ”根据将字母 Z 反过来写 所占的象限对应的三角函数为正值；三角函数诱导公式- 其他三角函数学问 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan . cot =1 sin . csc =1 cos . sec =1 商的关系 sin /cos =tan =sec /csc cos /sin =cot =csc /sec 平方关系sin2 +cos2 =1 细心整理归纳 精选学习资料 - - -

3、 - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载1+tan2 =sec2 1+cot2 =csc2 同角三角函数关系六角形记忆法构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数；商数关系1的正六边形为模型；六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积；（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积,下面 此,可得商数关系式；平方关系4 个也存在这种关系；） ；由在带有阴影线的三角形中,上面两

4、个顶点上的三角函数值的平方和等于下 面顶点上的三角函数值的平方；两角和差公式 sin（ +）=sin cos +cos sin sin（）=sin cos-cos sin cos（ +）=cos cos-sin sin cos（）=cos cos +sin sin tan（ +）=tan +tan /1tan . tan tan（）=tan tan /1+tan . tan 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2 =2sin cos 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结

5、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载cos2 =cos2 sin2 =2cos2 1=12sin2 tan2 =2tan /1tan2 半角的正弦、余弦和正切公式sin2 /2=1cos /2 cos2 /2=1+cos /2 tan2 /2=1cos /1+cos tan /2=1 cos /sin =sin /1+cos 万能公式sin =2tan /2/1+tan2 /2 cos =1tan2 /2/1+tan2 /2 tan =2tan /2/1tan2 /2三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 =3sin 4sin3 cos3 =

6、4cos3 3costan3 =3tan tan3 /13tan2 三角函数的和差化积公式sin +sin =2sin + /2 . cos /2 sin sin =2cos + /2 . sin /2 cos +cos =2cos + /2 . cos /2 coscos =2sin + /2 . sin /2三角函数的积化和差公式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sin . cos =0.5s

7、in精品资料欢迎下载 + +sin cos. sin =0.5sinsin cos. cos =0.5cos + +cos sin . sin = 0.5cos + cos 三角函数诱导公式- 公式推导过程 万能公式推导 sin2 =2sin cos =2sin cos /cos2 +sin2 .*（由于 cos2 +sin2 =1 再把 *分式上下同除 cos2 ,可得 sin2 =2tan /1+tan2 然后用 /2代替 即可；同理可推导余弦的万能公式；正切的万能公式可通过正弦比余弦得到；三倍角公式推导 tan3 =sin3 /cos3 =sin2 cos +cos2 sin /cos2

8、 cos-sin2 sin =2sin cos2 +cos2 sin sin3 /cos32sin2 cos 上下同除以 cos3 ,得：tan3 =3tan tan3 /1-3tan2 sin3 =sin2 + =sin2 cos +cos2 sin =2sin cos2 +12sin2 sin cos sin2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载=2sin 2sin3 +si

9、n 2sin3 =3sin 4sin3 cos3 =cos2 + =cos2 cossin2 sin =2cos2 1cos 2cos sin2 =2cos3 cos +2cos2cos3 =4cos3 3cos 即sin3 =3sin 4sin3 cos3 =4cos3 3cos 和差化积公式推导第一 ,我们知道 sina+b=sina*cosb+cosa*sinb,sina-b=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sina+b+sina-b=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=sina+b+sina-b/2 同理 ,如把两式相减 ,就得到 cosa*s

10、inb=sina+b-sina-b/2 同样的 ,我们仍知道 cosa+b=cosa*cosb-sina*sinb,cosa-b=cosa*cosb+sina*sinb 所以 ,把两式相加 ,我们就可以得到 cosa+b+cosa-b=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 同理 ,两式相减我们就得到sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 细心整理归纳 精选学习资料 这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式: 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

11、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载sina*cosb=sina+b+sina-b/2 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 好,有了积化和差的四个公式以后 的四个公式 . ,我们只需一个变形 ,就可以得到和差化积我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=x+y/2,b=x-y/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式 : sinx+siny=2sinx+y/2*cosx-y/2 sinx-siny=2cosx+y/2*sinx-y/2 cosx+cosy=2cosx+y/2*cosx-y/2 cosx-cosy=-2sinx+y/2*sinx-y/2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -