2022年人教版高中数学必修⑤.《等比数列的前n项和》教学设计 .pdf

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1、课题：必修2.5 等比数列的前 n 项和三维目标：1、 知识与技能（1）理解等比数列前项和的定义以及等比数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法错位相减法，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等比数列前项和的公式，利用公式求sn 、a1、q 、n、 an；等比数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；（3）会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 . 2、过程与方法（1）经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力；并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数

2、学模型、解决求和问题。在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题. （3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（4）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学

3、知识和方法科学地解决问题. 3、情态与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。教学重点：等比数列前项和公式的推导和应用教学难点：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

4、第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 公式推导的思路及综合运用教具：多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：前面，我们学习了等比数列的概念、通项公式及其有关性质，并运用这些知识解决了许多的实际问题，请同学们回顾一下学过的等比数列基本知识和性质： 等比数列定义：即qaann1(n2) 由三个数 a，G ，b 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列，这时， G叫做 a 与 b 的等比中项 。 等比数列通项公式：naEMBED Equation.3 11nqa(n1) mnmnqaa 在等比数列中，若 m + n= p + q 则q

5、pnmaaaa前面，我们学习了等差数列的前n 项和，那么等比数列的前n 项和有公式吗？等比数列的前n 项和在实际中应用广泛吗？利用课本 P55“国王对国际象棋的发明者的奖励”引发学生探求问题的积极性： 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是 2，求第一个格子到第64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64 项的和。 这需要等比数列的前n 项和公式。怎样推导呢？这就是我们今天探索的问题。二、 创设情境合作探究： 等比数列的前 n 项和公式推导：【方法一 】一般地，设等比数列naaaa,321它的前 n 项和是nSEMBED Equati

6、on.3 naaaa321【引领学生合作探究、推导】由等比数列的通项公式 ,上式可以写成Sn= a1+a1q + a1q2 + +a1qn-1 式两边同乘以公比q 得qSn= a1q+ a1q2 + +a1qn-1+ a1qn, 的右边有很多相同的项, 用的两边分别减去的两边, 得 (1-q)Sn= a1a1qn当时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - Sn=qqan1)1(1（q1）又 an =a1qn-1 所以上

7、式也可写成Sn=qqaan11（q1）有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题：由11,2,64aqn可得1(1)1nnaqSq=641 (1 2 )12=6421。6421这个数很大，超过了191.84 10。国王不能实现他的诺言。【点评】当 q=1时，等比数列的前n 项和公式为 Sn=na1 公式可变形为Sn=qqan1)1 (1=1) 1(1qqan（思考 q1 和 q1 时分别使用哪个方便） 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个根据学生情况一起探索下列方法：【方法二 】有等比数列的定义，qaaaaaann12312根据等比的性质，有qaSaS

8、aaaaaannnnn112132即qaSaSnnn1EMBED Equation.3 qaaSqnn1)1(当1q时，qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11当 q=1 时，1naSn围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式【方法三 】nSEMBED Equation.3 naaaa321)(13211naaaaqa11nqSa)(1nnaSqa EMBED Equation.3 qaaSqnn1)1(（结论同上）【小试牛刀 】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

9、- - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1.根据下列各题的条件，求相应的等比数列an的前 n 项和。6, 2, 3).1(1nqa901,31,7.2).2(1naqa2.（2009 浙江理）设等比数列na的公比12q，前n项和为nS，则44Sa3. （2007 重庆）在等比数列 an中，a28，a564， ，则公比q 为（）A 2 B 3 C 4 D8三、互动达标巩固所学：问题.1 求下列等比数列的前8 项和：;,81,41,21)1(.0,2431,27).2(91qaa【分析】 求出公比，直接运用公式计算即可：【解析】 （1）因为,41,211qa所以，当

10、 n=8时，256255211)21(1 218ns（2）又题意可得：8272431q又由 q 0 ,可得,31q于是811640)31(1)31(1 2788s名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 【点评】 评注: 第(2) 题已知a1=27,n=8, 还缺少一个已知条件, 由题意显然可以通过解方程求得公比q, 题设中要求 q0,一方面是为了简化计算 , 另一方面是想提醒学生q 既可以为正数 , 又可以为负数 . 问

11、题.2 某商场第一年销售计算机5000 台, 如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起, 约几年内可使总销售量达到30000台( 保留到个位 )? 【分析】 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列。【解析】 由题意 ,从第 1 年起,每年的销售量组成一个等比数列【点评】 先根据题意将实际问题转化为一个等比数列的前n 项和问题，然后利用等比数列的前n 项公式列方程 , 再用对数的知识解方程，体现了数学实际问题的解决思想和运算能力的培养。问题.3 为了估计函数29xy在第一象限的图像与x 轴、y 轴围成的区域的面积 X,把 x 轴上

12、的区间 0,3 分成 n 等份，从各个分点作y轴的平行线与函数图像相交，再从各交点向左作x 轴的平行线，构成（ n-1 ）个矩形，下面的程序用来计算（n-1 ）个矩形的面积的和s. SUM=0 K=1 INPUT N WHILE k=N-1 AN=(9-(9*3/N)2)*3/N SUM=SUM+AN y o ,30000, 1.1%101,50001nSqa.300001.111.115000n两边取常用对数，得6.1lg1.1lgn5041.020.01.1lg6.1lgn(年) 答：约 5 年可以使总销售量量达到30000 台名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

13、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - PRINT k,AN,SUM k=k+1 WEND END 阅读程序，回答下面的问题： （1）程序中的 AN,SUM 分别表示什么，为什么？（2）请根据程序计算当n=6,11,16 时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行） . 【 分 析 】 首 先 应 根 据 所 给 的 程 序 ， 结 合 图 形 ， 搞清AN=(9-(9*3/N)2)*3/N 的含义， SUM 的含义也就随之而知了 【解析】 经过分析，知： AN表示第 k 个矩形的

14、面积； SUM表示前 k个矩形的面积的和（祥见课本第58 页）【点评】 此题的出现，为后面学习导数知识做好了铺垫。四、思悟小结：知识线：（1）等比数列前项和的定义；（2）等比数列前项和公式；（3）相关的等比数列的性质。思想方法线：（1）公式法及错位相减法；（2）方程思想；（3）整体思想；（4）函数思想。题目线：（1）利用等比数列的通项公式、前项和公式解决关于前项和的基本问题；（2）利用等比数列的通项公式、前项和公式解决上述问题的逆向问题；（3）实际问题；（4）相关的综合问题。五、针对训练巩固提高：1.(2007湖南 ) 在等比数列na中，若11a，418a，则该数列的前10 项和为（）A412

15、2B9212C10122名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - D111222. （ 2009 北 京 文 ） 若 数 列na满 足 ：111,2()nnaaanN， 则5a；前 8 项的和8S .（用数字作答）中：在等比数列na.3EMBED Equation.3 ;,64, 1) 1441sqaa与求已知（qasa与求已知133,29,23)2(4.求和：);2()1).(1(2naaan（）);534534()53

16、2).(221n（）（12321).3(nnxxx5. 已知 f(x)=kx+b是一次函数，且f(2),f(5),f(4)成等比数列，f(8)=15,求的表达式。).()2()1(Nnnfffsn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6.利用等比数列的前n 项公式证明：如果ab，且 a,b 都不为 0，则EMBED Equation.3 babababbabaannnnnnn111221其 中nN*,a,b 是不为 0 的常数，且 ab.【作业】 课本 61 页 A组 2、3、4（1）题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -