2022年不等式恒成立问题的处理.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式恒成立问题的处理恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型； 其他类不等式恒成立一、 一次函数型给定一次函数 y=fx=ax+ba 0,如 y=fx 在m,n 内恒有 fx0 ,就依据函数的图象 （直f m 0 f m 0线）可得上述结论等价于 同理,如在 m,n 内恒有 fx2a+x 恒成立的 x 的取值范畴；解：原不等式转化为 x-1a+x2-2x+10, 设 fa= x-1a+x2-2x+1, 就 fa 在-2,2 上恒大于 0,故有：f2 0即x24x

2、030解得：x3 或x112x1 或xf 2 x1x3. 例 2. 已知 Plog2x1 logab26log2xlogablog2x1（其中 a 为正常数）,如当 第 1 页,共 7 页 x 在区间 1,2内任意取值时,P 的值恒为正,求b 的取值范畴；解： P 变形为 Plogab26logab1log2xlogab 21细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设 tlog 2x,就t0,1学习必备欢迎下载26logab1

3、tlogab21 Pf t logab因此,原题变为当t 在区间 0,1内任意取值时,f（ t）恒为正,求b 的取值范畴；由充要条件,当logab 26logab10（ 1）或f logab22100（2）logab210f 6logab解（ 1）得1log a b32 2311b1 a2 23解（ 2）得1log a b13故,当 a1时, 1 ab3a当 0a1 时,3a例 3 设 Plog2x2a2 log2xa1 ,如当 a2,2时,P0 恒成立, 求 x 的变化范畴；解：设 Pf a log2x1 alog22x2log2x1 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - -

4、- 当 a2,2时的图像是一条线段,所以a 在2 2上变动时, P 恒为正值的充要条件是f200即log22x4log2x30解得 log2x3或log2x1f log22x10即 x 的取值范畴是0,18,2二、二次函数型（1）当二次函数的定义域为R 时： 如二次函数 y=ax2+bx+c a 0大于 0恒成立,就有a00如二次函数y=ax2+bx+c a 0小于 0 恒成立,就有a00例 1.如函数y2 mx6 mxm8在 R 上恒成立,求m 的取值范畴；略解：要使y2 mx6 mxm8在 R 上恒成立,即mx26mxm80在 R 上恒成立； 1 om0时, 80m0成立细心整理归纳 精选

5、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -o 2m0时,m0m24m学习必备32欢迎下载0,0m1368m m1由 1 o , 2 o可知, 0 m 1例 2已知函数 y lg x 2 a 1 x a 2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴；解 ： 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x 2 a 1 x a 2 0 对 x R 恒 成 立 , 即 有 a 1 24 a 20 解得 a 1 或 a 1；3所以实数 a 的取值范畴为 , 1 1 , ；3练习 1： .

6、已知函数 f x x 2ax 3 a ,在 R 上 f x 0 恒成立,求 a 的取值范畴；（2）当二次函数的定义域不是R 时,即二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根与系数的分布学问求解；有时也可以转化为求最值；例 1：如 x 2,2 时,f x x 2ax 3 a 0 恒成立,求 a 的取值范畴；2 2解：f x x a a a 3,令 f x 在 2,2 上的最小值为 g a ；2 4当 a 2,即 a 4 时,g a f 2 7 3 a 0 a 7又 Q a 42 3a 不存在；2当 2 a 2,即 4 a 4 时,g a f a aa 3 0 6 a 2 又2 2

7、4Q 4 a 4 4 a 2 当 a 2, 即 a 4 时 ,g a f 2 7 a 0 a 7 又 Q a 427 a 4总上所述,7 a 2；变式 2：如 x 2,2 时,f x 2 恒成立,求 a 的取值范畴；解法一 ：分析： 题目中要证明 f x a 在 2,2 上恒成立, 如把 a 移到等号的左边,就把原题转化成左边二次函数在区间2,2 时恒大于等于 0 的问题；略解：f x x2ax3a20,即f x x2ax1a0在2,2 上成立； 第 3 页,共 7 页 a24 1a022 2a22 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - -

8、- - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a241a0学习必备欢迎下载f20a225；a2222 2 f 20a 22或2综上所述,5a22解法二：（利用根的分布情形学问）当 a 2,即 a 4 时,g a f 2 7 3 a 2 a 5 4, a 不存在；2 32 当 2 a 2,即 4 a 4 时,g a f a aa 3 2,2 2 42 2 2 a 2 2 2 4 a 2 2 2当 a 2,即 a 4 时,g a f 2 7 a 2,a 5 5 a 42综上所述 5 a 2 2 2；例 2. 已 知 函 数 f

9、 x x 2 m 5 x 2 m 5 在 其 定 义 域 内 恒 为 非 负 , 求 方 程x2 | m 2 1 的根的取值范畴；m 1解：由于 f（x）恒为非负,就 m 5 2 8 m 5 0 解得 5 m 3,方程化为2 x m 1 | m 2 1 当 5 m 2 时,就 2 x m 1 2 m 1 所以 2 xm 22 m 3 m 1 24所以 2 x 4,x 2 当 2 m 3 时,就 2 x m 1 m 1 m 2 1,3 m 2 1 8所以 log 2 3 x 3 所以方程的根的取值范畴是,3例 2设 f x x 2 2 mx 2,当 x ,1 时,f x m 恒成立,求实数 m

10、的取值范围；解：设Fxx22 mx2m,就当x,1时,Fx0恒成立 第 4 页,共 7 页 当4m1 m2 0 即2m1时,Fx0明显成立；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当0 时,如图,Fx0学习必备欢迎下载y恒成立的充要条件为：x 0F1 0解得3m2；-1 O x 2 m21综上可得实数m 的取值范畴为1,3 ；三、其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般

11、类型有：1）fx a恒成立afxmin,当x,33 时,fx gx2）fx a恒成立afxmax例 1已知fx7x228xa,gx2x34x240x恒成立,求实数a 的取值范畴；a ,解：设Fxfxgx2x33x212xc,就由题可知Fx 0对任意x,33 恒成立令Fx6x26x120,得x1 或x2,f x 0恒成立,求而F1 7a,F220a,F3 45a ,F3 9Fxmax45a0a45即实数 a 的取值范畴为45 ,；,1例 2函数fx x22xa,x,1,如对任意xx实数 a 的取值范畴；解：如对任意x,1,f x 0恒成立,1 1时恒成立而得a3 第 5 页,共 7 页 x x2

12、2xa0恒成立,即对x,1,fx考虑到不等式的分母x,1,只需x22xa0在x而抛物线gxx22x3a0得a在x,1的最小值gminxg细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -注：此题仍可将fx变形为fx学习必备2欢迎下载fx最小值；xa x,争论其单调性从而求出分别变量法如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分别于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范畴；这种方法本质也仍是求最值,但它思路更清楚,操作性

13、更强；一般地有：1）fxgaa为参数）恒成立gafxmax2）fxgaa为参数）恒成立gafxmax实际上,上题就可利用此法解决；例 1已知函数fx ax4x2x2 x,0 4 时fx0恒成立, 求实数 a 的取值范畴；解： 将问题转化为a4xxx对x0,4恒成立；令gx4xx2,就agxminx由gx4xx241可知gx 在0,4上为减函数,故gxming40xx0,；a0即 a 的取值范畴为注：分别参数后,方向明确,思路清楚能使问题顺当得到解决；例 2.已知函数f x lgaxbx,常数a1b0,求（ 1）函数yf x 的定义域； 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - -

14、 （2）当a、b满意什么条件时f x 在区间 1,上恒取正；解：（1）Qf lgaxbxaxbx0ax1,又Qa1b0x0b定义域x x0（2）欲使lgaxbx0在 1,恒成立,就axbx1在 1,恒成立,由于a1b0,所以函数yaxbx在 1,单调递增,所以axbxabab1且a1b0；例5 已知函数fx在定义域,上为减函数,如f msin f 12 m72 cosx 对于任意的 xR成立, 求m的取值范畴；（纠4错 64 页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

15、- -例 3 如不等式x1x2a 在 x学习必备欢迎下载R上恒成立（ 或改为有解 ）求的取值范畴；数形结合法数学家华罗庚曾说过： “ 数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明白数形结合思想的妙处, 在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用；亲密的联系：我们知道, 函数图象和不等式有着1）fxgx x2函数fx图象恒在函数gx图象上方；gx成立 , 求实数a的2）fxgx函数fx 图象恒在函数gx图象下上方；4xx 4x1例 1设fx ga, 如恒有fx , 3取值范畴 . y 细心整理归纳 精选学习资料 分析：在同始终角坐标系中作出fx及gx的图象0-4 -4 O -2 x 第 7 页,共 7 页 如下列图,fx的图象是半圆x220y24 ygx的图象是平行的直线系4x3y33a0；要使fxgx恒成立,33a的距离就圆心20,到直线4x3y满意d833a25解得a5 或a5（舍去 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -