2022年不等式的证明三导学案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案,2）选修 4-5 学案2.1.3不等式的的证明3姓名2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元,换元时要留意等价性. 学习目标 ：1. 懂得并把握 反证法、换元法与放缩法; .学问情形 ：2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式常用的换元有三角换元有：1. 不等式证明的基本方法：1 0. 比差法 与比商法 两正数时 1 0已知2 x2 y2 a,可设,；20. 综合法 和分析法 2 0已知2 x2x2 yy21,可设, 0.r1 ；3 0. 反证法 、换元法 、放缩法3 0已知1,可设

2、,a2b22. 综合法 ：从已知条件、不等式的性质、基本不等式等动身 , 例 2设实数x y 满意2 xy2 11,当xyc0时, c 的取值范畴是（通过 规律推理 , 推导出所要证明的结论 . 这种证明方法叫做综合法. 又叫 由导法. A 21,B ,21C 21,D 1用综合法证明不等式的规律关系：AB 1B 2B nB例 3 已知x2y21,求证：1a2yax1a23. 分析法： 从要证的结论动身 , 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实定义、公理或已证的定理、性质等 , 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执索的摸索和证明方法

3、.BB 1B 2B nA用分析法证明不等式的规律关系：结 步步寻求不等式 已论成立的充分条件知.新知建构 ： 1. 反证法 ：利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；. 3. 放缩法 ：“ 放” 和“ 缩” 的方向与“ 放” 和“ 缩” 的量的大小n,其次步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定动身,应用证确的推理方法,推出冲突结果；第四步肯定产生冲突结果的缘由,在于开头所作的假定不正确,于是原证不等式成立例 1 已知 a + b + c 0 , a b + bc + ca 0 , a bc 0 ,求证： a , b, c 0 .由题目分析、

4、多次尝试得出, 要留意放缩的适度 . 常用的方法是：添加或舍去一些项,如：a21a,n n1 将分子或分母放大（或缩小）如：11111n nn2n nlg4 ；应用“ 糖水不等式”：“ 如 0ab,m0,就aam”bbm利用基本不等式,如：lg3 lg52利用函数的单调性细心整理归纳 精选学习资料 利用函数的有界性：如：sin x 1 xR ； 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -肯定值不等式：a1b ab ab ；21k1k

5、kk1N* ,k1,名师精编优秀教案R +,求证：1aadbbaccbddc2例 6 如 a, b, c, d利用常用结论：如：122bcdakkkkk1应用 贝努利不等式 ：1122k2kkN*,k1kkkkxn1nxn n1x2xn1nx .1 2例 4 当 n 2 时,求证：log n1logn1nn3.例 5 求证：1111211123123选修4-5练习2.1.3不等式的证明 3 姓名细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

6、 - - - - - - - -1、设二次函数fx x2pxq,求证：f 1 ,f2 ,f 3 中至少有一个不小于1.名师精编优秀教案1xy和1yx中至少有一个小于2；24、如 x, y 0,且 x + y 2,就2、设 0 a, b, c 2 lognn1 0 ,logn n10b利用基本不等式,如：log3lg5lognn1lognn1lognn12lognn12logn n212lognn2lg32lg5lg22n n1 nn1 2n 2 时, logn n1 logn n11利用函数的单调性例 5 证明：由121k1212211,（ k 是大于 2 的自然数）细心整理归纳 精选学习资料

7、 32k - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -得11112113121n3113 .1名师精编优秀教案以上三式相乘：1 aa.1 bb.1 cc1与冲突 . 原式成立1236411111111114 提示：反设1xy2,1yx2 x, y 0,可得 x + y 2 与 x + y 2 冲突；n 21222232n12n210 证明：1k11 k111,k2 3, ,4 ,n .例 6 证：记 m = aa b+ a, b, c, d Rdbbaccb

8、ddcdk2kkcda11111111mabacdabbcacdcabd12222 3n211223n1nabc=11111n111maababbccdddc211223n1 m 1, 1 bc 1, 1 ca 1, 原式成立 第 7 页,共 8 页 2、 证：设 1 ab 1, 1 bc 1, 1 ca 1, 444444ca 1 64就三式相乘： ab 1 ab.1 bc.1 就三式相乘： ab 1 ab.1 bc.1 ca 164又 0 a, b, c 1 01a a21 1aa又 0 a, b, c 0,可得 x + y 2 与 x + y 2 冲突；10 证明：1k11 k111,k2 ,3 4,n.k2kk11111111122232n211223n1 n=11111n111留意 ：实际上,我们在证明11223n=212.n11112的过程中,已经得到一个更强的结1 2223 2n2论111121,这恰恰在肯定程度上表达了放缩法的基本思想；2 1222 3n2n细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -