2022年中考数学几何题总汇.docx

《2022年中考数学几何题总汇.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学几何题总汇.docx（41页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.三角形的有关概念学问考点：懂得三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理；关键是正确理解有关概念,学会概念和定理的运用；应用方程学问求解几何题是这部分学问常用的方法；精典例题：【例 1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b ,且aLb,那么这个三角形的周长L 的取值范畴是 （）A、3 aL3 bB、2 abLa2aC、2 a6bL2baD、3 ab2 b分析： 涉及构成三角形三边关系问题时,肯定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和；答案： B 变式与摸索： 在 ABC中, AC5,中线 AD7,就

2、 AB边的取值范畴是（）A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB 19 评注：在解三角形的有关中线问题时,假如不能直接求解,就常将中线延长一倍,借助全等三角形学问求解,这也是一种常见的作帮助线的方法；【例 2】如图,已知ABC中, ABC450, ACB610,延长 BC 至 E,使 CE AC,延长 CB至 D,使 DBAB,求 DAE的度数；分析： 用三角形内角和定理和外角定理,等腰三角形性质,求出D E的度数,即可求得DAE的度数；略解： ABDB,ACCE AE D1 ABC, E21 ACB 2DBC D E1 （ ABC ACB） 53 20例 2 图 DAE 1

3、80 0（ D E） 1270探究与创新：【问题二】如图,已知 P是等边ABC的 BC边上任意一点,过 P点分别作 AB、AC的垂线 PE、PD,垂足为 E、D；问：AED的周长与四边形 EBCD的周长之间的关系？分析与结论：（1）DE是 AED与四边形 EBCD的公共边,只须证明 AD AEBEBCCD （2）既有等边三角形的条件,就有 60 0 的角可以利用；又有垂线,可造成含 300 角的直角三角形,故此题可借助特别三角形的边角关系来证明；2y略解：在等边ABC中, B C6002 , PCBEAD又 PEAB于 E,PDAC于 D BPE CPD 300P不妨设等边ABC 的边长为1,

4、BE x ,CD y ,那么： BP,xy1,而 AE1x,AD1y2C问题二图AEAD2xy32又 BECDBCxy132ADAEBEBCCD 从而 ADAEDEBEBCCDDE 即 AED的周长等于四边形 EBCD的周长；评注：此题如不仔细分析三角形的边角关系,而想走“ 全等三角形” 的道路是很难奏效的；跟踪训练：一、填空题：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、在 ABC中,如 C2（ A B）,就 C度；D,那么 BDC；6、如图,在ABC中, A800, ABC和 ACB的外角平分线相交于点10、如 AB

5、C的三边分别为 a 、 b 、 c ,要使整式Cabc abc m0,就整数 m应为；AA1BCDC0,填空：EDFAEBB2第 6 题 图第 7 题图第 8 题图4、如图,已知OA a ,P 是射线 ON 上一动点（即P可在射线 ON 上运动）, AON60（1）当 OP时, AOP 为等边三角形；（2）当 OP时, AOP 为直角三角形；（3）当 OP 满意时, AOP为锐角三角形；（4）当 OP 满意时, AOP为钝角三角形；AaO600PN第 4 题图一、填空题：；3、120 0；5、 DCB；6、50 0；10、偶数；4、（1） a ；（2）2 a或 2 a ；（3）a OP22a；

6、（4）0OPa 或 OP22 a2.全等三角形学问考点：把握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和运算问题,形全等；精典例题：敏捷运用三角形全等的三个判定定理来证明三角【例 1】如图,已知 AB BC,DCBC,E 在 BC上, AEAD,ABBC；求证： CECD；分析： 作 AFCD 的延长线（证明略）评注： 寻求全等的条件,在证明两条线段（或两个角）相等时,如它们所在的两个三角形不全等,就必需添加帮助线,构造全等三角形,常见帮助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点,或与已知直线相交；作一角等于已知角；名师归纳总结 AFAA第 2 页,共 27 页

7、D1234BECEBDC12例 2 图EBPC例 1 图问题一图【例 2】如图,已知在ABC中, C2B, 1 2,求证： AB ACCD；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 采纳截长补短法,延长 AC 至 E,使 AE AB,连结 DE；也可在 AB上截取 AEAC,再证明 EBCD（证明略）；探究与创新：【问题一】阅读下题：如图,P是 ABC中 BC边上一点, E是 AP上的一点,如EBEC, 1 2,求证： APBC；证明：在ABE和 ACE中, EBEC,AEAE, 1 2 ABE ACE（第一步）ABAC, 3 4（其次步）APBC（等

8、腰三角形三线合一）上面的证明过程是否正确？如正确,请写出每一步的推理依据；如不正确,请指出关键错在哪一步,并写出你 认为正确的证明过程；略解： 不正确,错在第一步；正确证法为：BECE EBC ECB 又 1 2 ABC ACB,ABAC ABE ACE（SAS） 3 4 又 ABAC APBC 【问题二】 众所周知, 只有两边和一角对应相等的两个三角形不肯定全等,使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（ 2）（3）（4）；你能想方法支配和外理这三个条件,解：设有两边和一角对应相等的两个三角形,方案（1）：如这个角的对边恰好是这两边中的大边,就这两个三角形全等；方案（2）：

9、如这个角是直角,就这两个三角形全等；方案（3）：如此角为已知两边的夹角,就这两个三角形全等；评注：这是一道典型的开放性试题,答案不是唯独的； 如方案（4）：如此角为钝角, 就这两个三角形全等； （5）：如这两个三角形都是锐解（钝角）三角形,就这两个三角形全等；能有效考查同学对三角形全等概念的把握情形,这类题目要求同学依据问题供应的题设条件,查找多种途径解决问题；此题要求同学着眼于弱化题设条件,设计让 命题在一般情形不成立,而特别情形下成立的思路；跟踪训练：一、填空题：3、如图,在ABC中, C900,BC40,AD 是 BAC的平分线交BC于 D,且 DCDB35,就点 D 到 AB 的距离是

10、；A ACDBBEHCD第 3 题图第 4 题图）；三、解答题：1、如图, 1 2, 3 4, ECAD；求证：ABE和 BDC 是等腰三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - D A4AE123CBCFDEB 解答题第 1 题图解答题第 2 题图2、如图, ABAE, ABC AED,BC ED,点 F是 CD的中点；（1）求证： AFCD；（2）在你连结 BE后,仍能得出什么新结论？请再写出两个；3、（1）已知,在ABC和 DEF中, ABDE,BCEF, BAC EDF100 0,求证：ABC DEF；（2）

11、上问中,如将条件改为 ABDE,BCEF, BAC EDF70 0,结论是否仍成立,为什么？4、如图,已知MON 的边 OM 上有两点 A、B,边 ON 上有两点 C、D,且 ABCD,P 为 MON 的平分线上一点；问：（1） ABP与 PCD是否全等？请说明理由；（2） ABP与 PCD的面积是否相等？请说明理由；CMBA F BP A EO C D N D解答题第 4 题图 解答题第 5 题图5、如图,已知 CEAB,DFAB,点 E、F 分别为垂足,且 AC BD；（1）依据所给条件,指出ACE和 BDF具有什么关系？请你对结论予以证明；（2）如 ACE和 BDF不全等,请你补充一个条

12、件,使得两个三角形全等,并赐予证明；参考答案3、15 三、解答题：1、略；2、（1）略；（2）AFBE,AF 平分 BE等；3、（1）略；（2）不成立,举一反例即能说明；4、（1）不肯定全等,因ABP与 PCD中,只有 ABCD,而其它角和边都有可能不相等,故两三角形不肯定全等；（ 2）面积相等,由于 OP 为 MON 平分线上一点,故 P 到边 AB、CD上的距离相等,即ABP中 AB 边上的高与 PCD中 CD边上的高相等,又依据 ABCD（即底边也相等）从而ABP与 PCD的面积相等；5、（1） ACE和 BDF的对应角相等； （2）略4.直角三角形、勾股定理、面积学问考点：明白直角三角

13、形的判定与性质,懂得直角三角形的边角关系,把握用勾股定懂得某些简洁的实际问题；它的有关性质广泛应用于线段运算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面；精典例题：ABCD中, A 600, B D900,BC2,CD3,就 AB？【例 1】如图,在四边形分析： 通过作帮助线,将四边形问题转化为三角形问题来解决,其关键是对内分割仍是向外补形；名师归纳总结 答案：83第 4 页,共 27 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AA3DQ2B C E B P C例 1 图 例 2 图【例 2】如图, P为 ABC边 BC上一点, PC2PB

14、,已知 ABC45 0, APC60 0,求 ACB的度数；分析： 此题不能简洁地由角的关系推出ACB 的度数,而应综合运用条件 PC2PB 及 APC60 0 来构造出含30 0 角的直角三角形；这是解此题的关键；答案： ACB750（提示：过 C作 CQAP 于 Q,连结 BQ,就 AQBQCQ）探究与创新：【问题一】如图,大路 MN 和大路 PQ 在点 P 处交汇,且 QPN30 0,点 A 处有一所中学,AP160 米,假设汽车行驶时,四周 100 米以内会受到噪声的影响,那么汽车在大路 MN 上沿 PN方向行驶时,学校是否会受到噪声的影响？假如受影响,已知汽车的速度为18 千米小时,

15、那么学校受影响的时间为多少秒？略解： 作 ADMN 于 D,在 Rt ADP 中,易知 AD80；所以这所学校会受到噪声的影响；以 A 为圆心, 100米为半径作圆交 MN 于 E、F,连结 AE、AF,就 AEAF100,依据勾股定理和垂径定理知：EDFD60,EF120,从而学校受噪声影响的时间为：t1201（小时） 24（秒）18000150评注：此题是一道存在性探究题,通过给定的条件,判定所争论的对象是否存在；FNACDEMPAQB问 题 一 图问题二图【问题二】台风是一种自然灾难,它以台风中心为圆心在四周数十千米范畴内形成气旋风暴,有极强的破坏力如图 12,据气象观测,距沿海某城市

16、A 的正南方向 220 千米的 B 处有一台风中心,其中心最大风力为 12 级,每远离台风中心 20 千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以 15 千米时的速度沿北偏东 30 0 方憧憬 C 移动,且台风中心风力不变；如城市所受风力达到或超过四级,就称为受台风影响；（1）该城市是否会受到这次台风的影响 . 请说明理由；（2）如会受到台风影响,那么台风影响该城市的连续时间有多长 . （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级 . 解：（1）如图 1,由点 A 作 ADBC,垂足为 D；AB 220, B30 AD110（千米）；从名师归纳总结 - - - - - - -由题意知, 当 A 点距台

17、风中心不超过160 千米时, 将会受到台风的影响；故该城市会受到这次台风的影响；（2）由题意知,当A 点距台风中心不超过160 千米时,将会受到台风的影响；就AE AF160；当台风中心E处 移 到F处 时 , 该 城 市 都 会 受到 这 次 台 风 的 影 响 ； 由 勾 股 定 理得 ：第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - DEAE2AD22 1602 110270503015； EF60 15 （千米）；该台风中心以15 千米时的速度移动；这次台风影响该城市的连续时间为6015415（小时）；15（3）当台风中心位于D 处时, A 市所受这次台风的风

18、力最大,其最大风力为12110 6.5（级）；20评注：此题是一道几何应用题,解题时要善于把实际问题抽象成几何图形,并领悟图形中的几何元素代表的意义,由题意可分析出,当 A 点距台风中心不超过 160 千米时,会受台风影响,如过 A 作 ADBC 于 D,设 E,F 分别表示 A 市受台风影响的最初,最终时台风中心的位置,就 AEAF160；当台风中心位于 D 处时, A 市受台风影响的风力最大；跟踪训练：一、填空题：ABDC第 5 题图4、等腰ABC中,一腰上的高为 3cm,这条高与底边的夹角为 30 0,就 S ABC；5、如图, ABC中,BAC90 0,B 2C,D 点在 BC上,AD

19、 平分 BAC,如 AB1,就 BD 的长为；7、如图,等腰梯形 ABCD中, AD BC,腰长为 8cm, AC、BD 相交于 O 点,且 AOD60 0,设 E、F 分别为 CO、AB的中点,就 EF；A D A BAF O P E CDE QB C B D C第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图8、如图,点 D、E 是等边ABC的 BC、AC 上的点,且 CDAE,AD、BE 相交于 P 点, BQAD；已知 PE1,PQ3,就 AD；9、如下列图,全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为 7cm,就正方形 A、B、C、 D 的面积的和是；AO4、

20、如图,已知ABC中, B 90BC6 ,就 OAB 的度数为（）第 4 题图0,AB3,BC3 ,OAOCA、100B、150C、200D、250三、解答题：3、如图,ABC中, AD是高, CE是中线, DCBE, DGCE于 G；（1）求证： G 是 CE的中点；（2） B 2BCE；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - AEGBDC第 3 题图5、已知ABC的两边 AB、AC 的长是方程x22k3 xk23 k20的两个实数根,第三边BC 5；（1） k 为何值时,ABC是以 BC为斜边的直角三角形；（2） k

21、为何值时,ABC是等腰三角形,求出此时其中一个三角形的面积；参考答案一、填空题：1、 10 或27；2、16.9；3、135 0；4、33cm2；5、31；6、5；7、4 8、 7；9、49 二、挑选题： BDCB 三、解答题：1、（1）；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：过 A 作 ADBC于 D,就 AB3 2,AC2 33、提示：连结 ED 4、（1）51 米；（2）如要水渠造价最低,就水渠应与 AB 垂直,造价 2427 元；5、（1）2；（2） k 4 或 3,当 k 4 时,面积为 12；5.角平分线、垂直平分线学问考点：明白角平分线、垂直平分线的有关性质和定理,并能

22、解决一些实际问题；精典例题：【例题】如图,已知在ABC中, ABAC, B300,AB 的垂直平分线EF交 AB于点 E,交 BC于点 F,求证：CF2BF；分析一：要证明 CF2BF,由于 BF与 CF没有直接联系,联想题设中BFAF；问题转化为证 CF2AF,又 B C30 0,这就等价于要证性质可得 CF 2AF2BF；EF是中垂线,依据其性质可连结 AF,就CAF90 0,就依据含 30 0 角的直角三角形的分析二：要证明 CF2BF,联想 B30 0,EF是 AB 的中垂线,可过点 A 作 AG EF交 FC于 G 后,得到含 30 0角的 Rt ABG,且 EF是 Rt ABG 的

23、中位线,因此 BG2BF2AG,再设法证明 AGGC,即有 BFFGGC；A AE EB F C B F G C例题图 1 例题图 2 分析三：由等腰三角形联想到“ 三线合一” 的性质,作 ADBC 于 D,就 BD CD,考虑到 B30 0,不妨设EF1,再用勾股定理运算便可得证；以上三种分析的证明略；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - EBEACBA312FDDC问题图例题图 3 跟踪训练：一、填空题：2、如图,已知ABAC, A440,AB的垂直平分线MN 交 AC于点 D,就 DBC；AADDMENB C B

24、 C第 2 题图 第 4 题图4、如图,在ABC中, ABAC,DE是 AB 的垂直平分线,BCE的周长为 24,BC 10,就 AB；5、如图, EG、FG 分别是 MEF 和 NFE的角平分线,交点是 G,BP、CP分别是 MBC 和 NCB 的角平分线,交点是 P,F、 C在 AN 上, B、E 在 AM 上,如 G68 0,那么 P；NFCPGDFAEC D1 234ABEMBCAB填空第 5 题图挑选第 1 题图挑选第 2 题图1、如图, Rt ABC的 A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D,求证： MAMD；DBA2、在AAMFFCBDECBDEC第 1 题图第 2 题图第

25、3 题 图ABC中, AB AC,D、E 在 BC上,且 DEEC,过 D 作 DF BA 交 AE于点 F,DFAC,求证： AE平分BAC；3、如图,在ABC中, B22.50, C600,AB 的垂直平分线交BC于点 D,BD62,AEBC于点 E,求 EC的长；4、如图,在Rt ABC中, ACB900,ACBC,D 为 BC的中点, CEAD,垂足为 E,BF AC 交 CE的延长线于点 F,求证 AB 垂直平分 DF；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - CAEDBF第 4 题图参考答案一、填空题：1、 3

26、80；2、240；3、4；4、14；5、680二、挑选题： CBCDB 三、解答题：1、过 A 作 ANBC于 N,证 D DAM；2、延长 FE到 G,使 EGEF,连结 CG,证 DEF CEG 3、连结 AD,DF为 AB的垂直平分线,ADBD620, B DAB22.5 ADE450,AE2 AD22626 2又 C600ECAE623334、证ACD CBF 10.三角形的中位线学问考点：把握三角形、梯形的中位线定理,并会用它们进行有关的论证和运算；精典例题：AQPBDMC例 2 图【例 2】如图,ABC的三边长分别为 AB14,BC16, AC26,P 为 A 的平分线 AD 上一

27、点,且 BPAD,M 为 BC的中点,求 PM 的长；分析： A 的平分线与 BP边上的垂线相互重合,通过作帮助线延长 BP交 AC于点 Q,由 ABP AQP 知 ABAQ14,又知 M 是 BC的中点,所以 答案： PM6 ；跟踪训练：一、填空题：PM 是 BQC的中位线,于是此题得以解决；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - AGF EQPBD 第 7 题 图CPQBE7、如图, D、E、F 分别为ABC三边上的中点,G 为 AE 的中点, BE与 DF、DG 分别交于P、Q 两点,就；3、如图,已知ABC的周长

28、为 1,连结 ABC三边的中点构成其次个三角形,再连结其次个三角形三边的中点构成第三个三角形,依此类推,第2004 个三角形的周长为（）A、1B、1C、21D、212003200420032004AB C挑选第 3 题图跟踪训练参考答案一、填空题：；7、14 三、解答题：1、（1）证 MN BC且 MN BC；（2）6cm；2、取 BC的中点构造三角形的中位线；y3、解：设上底为x ,下底为 y ,高为h,由题意知EF1yx ,即yx2a,h3yx3 a,22x23h233a6a,所以：梯形 ABCD的面积为：16a3 a33 a2212.解直角三角形学问考点：本节学问主要考查解直角三角形的四

29、种类型,以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题；精典例题：【例 1】如图,在 Rt ABC中, C 90 0,sinA2 ,D 为 AC上一点, BDC 45 0,DC6,求 AB 的长；5分析： 由 C90 0, BDC45 0,可知 DCBC6,再由 sinABC 2 即可求出 AB 的长；AB 5解：在 Rt ABC中, C90 0, BDC45 0 BDC DBC45 0 BDCBC6 在 Rt ABC中, C900,sinABC AB2ADC5例 1 图名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB6251

30、5 0, ACB 600,求 AB 的长；变式：如图,在ABC中, B900,C是 BD 上一点, DC10, ADB45分析： 设 AB x ,通过解 Rt ABC和解 Rt ABD即可；解：设 AB x0, ACB600 B90BCxcot6003xA3又 BDBCDC （x3 x 310DCBx1553例 1 变式图答案： AB 的长为1553评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为x,建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法；【例 2】如图,在ABC中, A300,E 为 AC上一点, 且 AE EC3 1,EFAB 于 F,连结 FC,就 cotCFB）A、13B、13C、43

31、D、136234分析： 由于 CFB不是直角三角形的一个内角,故想法构造一个直角三角形,使CFB是它的一个锐角,由EFAB联想到作 EF的平行线 CD,得到 Rt CDB即可求解；解：过 C作 CD EF交 AB 于点 D 0AFDCBAFAE3FDECDFECAF1AFAE3E由EFAE3可得CDACEF4EF例 2 图CDAC4AE3设 EF x ,由 EF AF可知AEF是 Rt ,且 A30AE2x,AF3 xCD4x,DF1x,CD EF,EFAB 33CDAB, CFD是直角三角形在 Rt CFD中,cotCFBDF13x33 4CDx43答案： D 探究与创新：【问题】如图,假如

32、ABC中 C 是锐角, BC a ,AC b ；证明：S ABC1absinC2证明：过 A 作 AD BC于 D,就 ADC是直角三角形名师归纳总结 sinCADCbsinCBAC第 11 页,共 27 页ACADACsinD问题图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又S ABC1BCAD2S ABC1absinC2评注：此题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系；同理仍可推出：S ABC1absinC1bcsinA1acsinB（三角形面积公式）222跟踪训练：一、填空题：3、在 ABC中, C900, AB2,BC3 ,就 t

33、anA 2；0,就 POAO；4、已知正方形ABCD的两条对角线相交于O, P 是 OA 上一点,且 CPD60ABDC第 5 题图6、等腰三角形的周长为23,腰长为 1,就底角等于；二、挑选题：2、在 Rt ABC中, CD 是斜边 AB上的高线,已知ACD 的正弦值是 2 ,就 AC 的值是（）3 AB2 3 5 2A、B、C、D、5 5 2 33、如图,梯子 AB 靠在墙上,梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2 米,梯子的顶端 B 到地面的距离为 7 米；现将梯子的底端 A 向外移动到 A ,使梯子的底端 A 到墙根 O 的距离等于 3 米,同时梯子的顶端 B 下降到 B ,那么 B

34、 B（）A、等于 1 米 B、大于 1 米 C、小于 1 米 D、不能确定BBAA 10题图第 3 题图O名师归纳总结 3、如图,已知BCAD 于 C,DFAB 于 F,SAFD9, BAE；第 12 页,共 27 页SEFB（1）求sincos的值；（2）如SAEBSADE, AF6 时,求 cotBAD的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - DCEAFB解答第 3 题图跟踪训练参考答案 一、填空题：1、3 ；2、213；3、3 ； 4、133 ；5、33；6、 3002二、挑选题： CDCA 三、解答题：1、22；125；2、 BC8,CE53、2

35、10,43514.比例线段 学问考点：本节学问在历年中考的考题中,主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理；由于比例的性质在应用时有其限制条件,一些中考题又以此为背景设计分类求解题；精典例题：【例 1】已知xyz0,那么xyz；345xyz分析： 此类问题有多种解法,一是善于观看所求式子的特点,敏捷运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解,将已知条件转化为x3z,y4z,代入所求式子即可得解；三是设“k ” 值法求解,这种方法对于解有关55连比的问题非常便利有效,要把握好这一技巧；名师归纳总结 答案：1 3a:yczbe:12 3,如b2dyf30,就a2 ce2；第 13 页,共 27

36、页变式 1：已知bdfb2df3变式 2：已知x:2:3,求2x3z的值；x2yacaba,就 k 的值为变式 3：已知kcbccba- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：（1）2 ；（ 2）3；（ 3）1 或 2；3BC 的延长线于点D；求证：【例 2】如图,在ABC中,点 E、F 分别在 AB、AC上,且 AE AF,EF的延长线交CDBDCFBE；分析： 在题设中,没有平行的条件,要证明线段成比例,可考虑添加平行线,观看图形,对比结论,需要变换比 CFBE,为了变换比CFBE,可以过点C作 BE的平行线交ED于 G,并设法证明CGCF即可获证；AAGAEEFEFGFBCDBCDBCDG例 2 图 1 例 2 图 2 例 2 图 3 本例为了实现将比CF BE转换成比CD BD 的目的,仍有多种不同的添画平行线的方法,它们的共同特点都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形,请你们参考图形,自己去构思证明；AEAAC 于 E,连结GEFAFEFBCDBDCBDC例 2 图 4 变式 1 图变式 2 图变式 1：已知如图, D 是 ABC的边 BC的中点,且AE1,求AF 的值；FCBE3变式 2：如图, BDDC 53,E 为 AD 的中点,求BEEF的值；答案：（1）1 ；（ 2）13