2022年全等三角形证明提高题 .pdf

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1、全等三角形提高题精选全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。 对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。一、与线段相等有关的竞赛题例（成都市初二数学竞赛题）如图，ABC 的两条高BD、CE 相交于点P，且 PDPE。求证： AC AB 。简证：连 AP。因为 PDA PEA90， PDPE，PAPA，所以RtPDA RtPEA（HL ） 。所以 AD AE。因为 90 CAB ，所以RtACERtABD （AAS ） 。所以 AC AB 。31221DEBPBACAFCED图图例（天津市初二数学竞赛题）如图，AC BC， ACB 90

2、， A 的平分线AD交 BC 于点 D，过点 B 作 BEAD 于点 E。求证： BE12AD 。简证：延长BE、AC 交于点 F。因为，AEAE，AEB AEF90，所以 AEB AEF（ASA） 。所以 BEFE12BF。因为 90 F， BCAC, 所以RtBCFRtACD （ASA） 。所以 BFAD ，BE12AD 。二、与角相等有关的竞赛题例（赣州市初三数学竞赛题）如图，ABC 中， ACB 90， AC BC，BD 是中线， CEBD 于点 E，交 AB 于点 F。求证： ADF CDE。简证：过点A 作 AGAC 交 CF 的延长线于点G。因为 90，ACBC，所以RtCAGR

3、tBCD （ASA ） 。所以 AG CDAD ， G CDE。因为 45， AFAF, 所以 ADF AGF （SAS） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 所以 ADF G CDE。5413254231EDBCAGACFBFED图图例（上海市初中数学竞赛题）如图，四边形ABCD 中， AC 平分 BAD ，CEAB于点 E，AE12（ADAB） 。求证： ADC ABC 180。简证：过点C 作 CF AD

4、交 AD 的延长线于点F。因为，ACAC，所以RtACFRtACE （AAS ） 。所以 CFCE，AFAE。因为 AD AB AE，ABAEEB，所以 EBAEAD 。因为 FDAFAD ，所以 EBFD。所以RtCEBRtCFD（SAS） 。所以 ABC 5。所以 ADC ABC ADC 180。全等三角形（竞赛题选讲）【例题讲解】例题 1 （第 17 届江苏省竞赛题）如图17 -1 所示，在四边形ABCD 中，对角线 AC 平分 BAD ，ABAD ，下列结论正确的是( ) A. AB-ADCB-CD B.AB -AD=CB - CD CAB -AD CB CD DAB -AD与 CB

5、- CD 的大小关系不确定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 例题 3如图 17 -3 所示， B2C，AD BC 于 D，求证： ABBDCD例题 4.如图 17 -6 所示，已知 ABC 中， AD 、BE 既是 ABC 的角平分线，又是ABC 的高，试判断ABC 的形状名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

6、 - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 例题 5如图所示，在RtABC 中， ACB 90 CDAB ，垂足为 D，AF 平分CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EGAB 交 CB 于 G.求证： CFGB. 例题 7如图所示，ABC 的 A 的平分线为AD ，M 为 BC 的中点， AD ME求证： BECF12(AB+AC) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 【

7、练习巩固】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 【答案与提示】【证明与计算】10如图 17 28 所示， ABC 中； ACBC，ACB 90,D 是 AC 上一点，且AEBD 的延长线于E，又 AE1

8、2BD求证： BD 是 ABC 的平分线11 如图所示， 已知 AB CDAEBC+DE 2， ABC AED 90，求五边形ABCDE的面积18、如图，等腰直角三角形ABC 中， ACB90，AD 为腰 CB 上的中线，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - CEAD 交 AB 于 E求证 CDAEDB19、在 RtABC 中，A90，CE 是角平分线，和高AD 相交于 F，作 FGBC 交 AB 于 G，求证： A

9、EBG20、如图，已知 ABC 是等边三角形， BDC120o ，说明 AD=BD+CD 的理由21、如图，在 ABC 中，AD 是中线， BE 交 AD 于 F,且 AE=EF,说明 AC=BF 的理由22 、 如 图 ， 在 ABC中 ， ABC=100o ，AM=AN,CN=CP, 求MNP 的度数23、如图，在 ABC 中,AB=BC,M,N 为 BC边上的两点，并且 BAM= CAN,MN=AN, 求MAC 的度数 . A B C D E F G 12ABCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

10、理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 24、如图，已知 BAC=90o,ADBC, 1=2,EFBC, FMAC,说明 FM=FD的理由25、用两个全等的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB、AC 重合.将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转 . （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD 相交于点 E、F 时（如图所示），通过观察或测量BE、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；FEDCBA（2）当三角尺的两边分别与菱形的

11、两边BC、CD 的延长线相交于点E、F 时（如图所示） ，你在（ 1）中得到的结论还成立吗？说明理由。FEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - FDECBA(2)GFEDCBA26、 （1）如图，在正方形一边上取中点，并沿虚线剪开，用两块图形拼一拼，能否拼出平行四边形、梯形或三角形？画图解释你的判断. (1)（2）如图（2）E 为正方形 ABCD 边 BC 的中点， F 为 DC 的中点， BF 与 AE 有

12、何关系？请解释你的结论。27、 如图DCBA、四点在同一直线上， 请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明DACE,CDAB,BFAE，FBGEAG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 28、直线 CD 经过BCA的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点，且BECCFA（1）若直线 CD 经过BCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1

13、，若90,90BCA，则EF_ BEAF（填“” ， “”或“”号） ；如图 2，若0180BCA，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是 _ ；（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA的外部，BCA，请探究 EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明29、已知：如图， ABC 中， ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分 ABC，且 BEAC于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(1) BF=AC (2) CE=12BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。30、如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形， A，C

14、，D 三点在同一直线上，连结 BD，AE，并延长 AE 交 BD 于 F求证：1）ACEBCD（2）直线 AE与 BD 互相垂直A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 ABCDEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 31、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线， AFDC，连接 AC、CF，求证： CA 是DCF 的平分线。FDA

15、CB32、如图甲，在 ABC 中， ACB 为锐角点D 为射线 BC 上一动点，连接AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果 AB=AC ，BAC=90o当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图乙，线段 CF、BD 之间的位置关系为，数量关系为当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙， 中的结论是否仍然成立， 为什么？（2）如果 ABAC，BAC90o ，点 D 在线段 BC 上运动试探究：当 ABC 满足一个什么条件时， CFBC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由 （画图不写作法）33、如图 1，四边形 ABCD 是

16、正方形，点E 是边 BC 的中点90AEF，且EF 交正方形外角DCG的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M，连接 ME，则AM=EC ，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 如果不正确，请说明理由；ABCDEF第 28 题图图甲图乙FEDCBAFEDCBA图丙名师资料总结 - - -精品资料

17、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由34、如图（1） ，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方， BC 在直线 MN 上，E 是BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1）连接 GD，求证： ADGABE；（2）连接 FC

18、，观察并猜测 FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（ 2） ，将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、b 为常数） ，E 是线段 BC 上一动点（不含端点B、C） ，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小是否总保持不变，若FCN 的大小不变，请用含a、b 的代数式表示 tanFCN 的值；若 FCN 的大小发生改变，请举例说明35、已知：如图在ABCD中，过对角线 BD 的中点O作直线 EF 分别交 DA 的延长线、ABDCBC、的延长线于点EMNF、 、 观

19、察图形并找出一对全等三角形：_ _ ， 请加以证明；A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 E B M O D N F C A N M B E A C D F G 图（1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - B A O D C E 图 8 36、 （1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求 AEB 的大小； （2）如图 8，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB的大小 . E B M O D N F C A C B O D 图 7 A E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -