2022年中考压轴题函数中的动点与三角形问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第 1 节 函数中动点与三角形的存在性本节 4 个案例,其中案例1 主要是以三角形之间的面积关系为主线,探究三角形的存在；案例 2 就是用分类思想争论等腰三角形的存在；案例 3 争论直角三角形存在的个数问题；案例 4 争论的是相像三角形的存在性方程思想、分类思想、数形结合都渗透其中案例 1 （20XX 年重庆市 A 卷第 25 题）如图 1,对称轴为直线x1的抛物线yax2bxca0与 x 轴相交于A 、 B 两点,其中点 A 的坐标为3 ,0. （1）求点 B 的坐标；（2）已知 a 1, C 为抛物线与 y 轴的交点 .

2、如点 P 在抛物线上,且 S POC 4 S BOC,求点 P 的坐标； 设点 Q 是线段 AC 上的动点,作 QD x 轴交抛物线于点 D ,求线段 QD 长度的最大值 . 【思路探究】 （1）由抛物线的对称性可直接写出点B 的坐标；（2）由a1和抛物线与x 轴的两个交点坐标直接写出抛物线的解析式,以及抛物线与y轴的交点坐标,要求SPOC4SBOC,留意到两个三角形有一条公共边OC ,因此以这条边为底边,面积的关系就转化成这条边上的高之间的关系,也就是点 P 与 B 横坐标之间的关系,问题由此得解；由于点 Q 是线段 AC 上的动点, 点 D 在抛物线上, 且QD /y轴,因此它们的横坐标相

3、同,可建立关于它们横坐标的函数关系式,然后依据函数的性质求线段QD 长度的最大值【动感设计】 打开“ 2022 重庆市 A 卷第 25 题” ,点击按钮 “ 面积 4 倍1 ” ,“ 面积 4 倍2 ” ,观看此时 P点运动到的位置, 体会分类争论在解题中的作用,再点击按钮 “ Q点运动 / 停止” ,名师归纳总结 同时观看坐标系内函数图象（红色）, 体会二次函数最值的情形. 3 ,0 , 点第 1 页,共 11 页【试题解答】 （1）由题意知,点A、B关于 直线x1对称,点 A的坐标为B 的坐标为 ,10 （2）抛物线过点A、 B ,且a1,- - - - - - -精选学习资料 - - -

4、 - - - - - - 抛物线的解析式为yx3 x学习必备y欢迎下载2x31,即x2当x0时,y3点 C 的坐标为0 ,3 0,解得k1,过点 P 作PHOC于点 H ,如图 2.S POC1OCPH,S BOC1OCOB22又SPOC4SBOC,PH4 OB,即x4或4当x4时,y21；当x4时,y5；点 P 的坐标为4, 21 或45,；设直线 AC 的解析式为ykxb,就3 kb3bb3直线 AC 的解析式为yx3,0设Qm ,m3 点 Q 在线段 AC 上,3m由于QDx轴,且点 D 在抛物线上, 点Dm ,m22m3QDm3 m22 m3 2 m3 m m32924当m3时, QD

5、 长度最大,最大值为9. 24【易错点评】 依据两个三角形的面积关系探求点P 的坐标时, 疏于观看图形, 不能发觉两个名师归纳总结 三角形有一条公共边的隐含条件,从而找不到解决问题的突破口,或很繁琐的依据点P的第 2 页,共 11 页坐标求POC 的面积后列方程求解. 另外,最终一问中用点D 、 Q 的纵坐标表达式求线段QD 长度的函数关系式时符号简单出错. 【反思与启发】观看能导致发觉,题中告知我们“SPOC4SBOC” 引导我们去观看两个POC 、BOC ,发觉它们有一条公共边OC ,从而将三角形面积之间的关系转化成线段之间的关系,得出点P 的横坐标,使问题顺当解决,解题的胜利要靠正确思路

6、的挑选,观察能引导你发觉正确而简捷的思路.【变式练习】（ 20XX 年兰州市第28 题）如图 3,在平面直角坐标系xOy中, A、B 为 x 轴上两点, C、D 为 y 轴上的两点,经过点A、 C、B 的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线的一部分学习必备欢迎下载C 组合成一条封闭曲线,我们把C 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分这条封闭曲线成为“ 蛋线”已知点 C 的坐标为,03,点 M 是抛物线C ：2ymx22mx3 m（m0）的顶点（1）求 A、 B 两点的坐标；（2）“ 蛋线” 在第四象限上是否存在一点P,使得 PBC 的面积最大？如

7、存在,求出 PBC面积的最大值；如不存在,请说明理由；（3）当 BDM 为直角三角形时,求 m 的值案例 2 如图 1,已知抛物线y（20XX 年湘西州第25 题）1x2bx4与 x 轴相交于 A 、 B 两点,与 y 轴相交于4点 C ,如已知 A 点坐标为A 2,0 . （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求 C 点坐标,连接 AC 、 BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判定 AOC 与 COB 是否相像？并说明理由 ; （4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ,使 ACQ 为等腰三角形,如存在,求出符合条件的 Q 点坐标；如不存在,请说明理由 . 【思路探究】（1

8、）由抛物线 y 1x 2bx 4 与x 轴相交于 A 2 0, ,将点 A 2 , 0 代入4抛物线的解析式中,解方程可得 b 的值,再依据求二次函数对称轴的公式或用配方法写出它的对称轴方程；（2）在抛物线的解析式中,令x0,求与 y 轴的交点 C 的坐标；令y0,求与 x 轴的交点 B ；再将 B 、 C 两点的直线解析式中,解方程组求线段BC所在直线的解析式；名师归纳总结 （3）在直角坐标系中A、 B 、 C 三点的坐标有了,因而线段OA、OB、OC、AC、BC第 3 页,共 11 页线段的长度也就有了, 试试“ 两边对应成比例并且夹角对应相等的两个三角形相像”或用“ 三边对应成比例的两个

9、三角形相像”判定AOC 与COB 是否相像- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（4）对于是否存在类的探究题,通常是假设存在,此题探究在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ,因此设点 Q 的坐标为 3 , m ,依据 A、 C 、 Q 三点的坐标,求出线段 AC 、 AQ 、CQ 的长,但由于没有明确等腰三角形的底和腰,因此要分 AC AQ、CA CQ、QA QC 三种情形一一争论 . 【动感设计】 打开“20XX年湘西州第 25 题” ,点击按钮“ 等腰三角形 ACQ1” ,“ 等腰三角形 ACQ2” ,“ 等腰三角形 ACQ3” ,观看右

10、侧度量值“AC-CQ” 、“QA-CQ” 的变化,体会不同的等腰三角形；名师归纳总结 【试题解答】 （1）抛物线y01x2bbx4的图象经过点A 2 ,0Q 3,m,第 4 页,共 11 页412 2b2 4342 抛物线解析式为y1x23x442配方得y1x23x41x3225 对称轴方程为x34244（2）在y1x23x4中,令x0就y4 点C04,42令y0,就1x23x40,解得1x8,x2242A20,B 80,设直线 BC 的解析式为ykxb,把B8 0, ,C04,的坐标分别代入解析式就8 kb40k12 4bb直线 BC 的解析式为y1 x 24（3）可判定AOC COB成立

11、.理由如下：在AOC 与COB中OA2,OC4,OB8OA21,OC41OC42OB82OAOC,又AOCBOC90AOC COBOCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x3,Q 点在对称轴x3上,如图 2,设点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AC25,AQ252 m,学习必备m欢迎下载9CQ4 2分三种情形争论 ACQ 为等腰三角形：当 AC AQ 时,有 25 m 2 2 5,两边平方后整理得 m 25,此时方程无实数根,此时 ACQ 不能构成等腰三角形；当 CA CQ 时,有 2 5 m 4 2 9,两边平方后整理得 m 4 211,m 4 11

12、或 m 4 11,Q 1 3 , 4 11 ,Q 2 ,3 4 11 当 QA QC 时,有 25 m 2 m 4 2 9,两边平方后整理得 m 0Q 3 3 , 0 故满意条件的 Q 点坐标为：Q 1 3 , 4 11 ,Q 2 3 , 4 11 ,Q 3 ,3 0 【易错点评】（1）直觉判定 AOC 与 COB是相像, 但说理时疏忽平面直角坐标系的特点,只想到去找角的相等证明两三角形相像,导致解题陷于困境.有了平面直角坐标系,要有数形结合的思想,更多的从“ 数” 的角度摸索“ 形”,开创解题的新天地； （2）在“ 求符合条件的 Q 点,使 ACQ 为等腰三角形” 时,思维单一,不分类争论,

13、导致漏解是常见的错误【反思与启发】 在解答直角坐标系的问题时,要留意几何图形的性质,数形结合, 往往能使解题思路简洁明快此题主要考查了一次函数、二次函数学问的综合应用、两三角形相像的判定、 等腰三角形的性质等学问,综观此题,点的移动贯穿始终,其中对于等腰三角形的确定需要分类争论,在详细求点Q 坐标时,仍要充分留意图形的几何特点,数形结合【变式练习】 （20XX年泰安市第29 题） 如图 3,抛物线y1x2bxc与 y 轴交于点C0 ,4,与 x 轴交于点 A ,B,2且 B 点的坐标为B20,（1）求该抛物线的解析式（2）如点 P 是 AB 上的一动点, 过点 P 作 PE AC ,交 BC

14、于 E,连接 CP,求PCE 面积的最大值OMD 为等腰三角形,求M 点的（3）如点 D 为 OA 的中点,点 M 是线段 AC 上一点,且坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载案例 3 （20XX 年湖州市第 24 题）如图, O 为坐标原点,点 B 在 x 轴的正半轴上,四边形 OACB 是平行四边形,sinAOB4,5反比例函数ykk0在第一象限内的图象经过x点 A ,与 BC 交于点 F （1）如 OA 10,求反比例函数解析式；（2）如点 F 为 BC 的中点,且 AOF 的面积 S 1

15、2,求 OA 的长和点 C 的坐标；（3）在（2）中的条件下,过点 F 作 EF / OB,交OA于点 E （如图）,点 P 为直线 EF 上的一个动点,连接 PA 、PO 是否存在这样的点 P ,使以 P 、O 、 A为顶点的三角形是直角三角形？如存在,请直接写出全部点 P 的坐标；如不存在,请说明理由图【思路探究】 （1）先过点 A 作AHOB,构造 Rt,依据sinAOB4,OA10,5求出 AH 和 OH 的值,从而得出A 点坐标,再把它代入反比例函数中,求出k 的值,即可求出反比例函数的解析式；出AH（2）先设OAaa0 ,过点 F 作FMx轴于 M ,依据sinAOB4 5,得4a

16、,OH3a,求出S AOH1OHAH6a2,依据SAOF12,求出平55225行四边形 OACB 的面积, 依据点 F 为 BC 的中点, 求名师归纳总结 出SOBFa6,FBM,AOB,得出第 6 页,共 11 页依据BF1a,2FM23 10a,BM5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S BMF1BMFM3学习必备欢迎下载a2,S OFM63a2,再依据点 A 、 F 都在反比例函数25050yk x的图象上,得SSOFM,列方程求出a ,从而得出 OA、 AH 、 OH 的长度,AOH再依据 S 平行四边形 AOBC OB AH 24,得出 OB

17、 AC 3 3,即可求出点 C 的坐标；（3）分别依据当 APO 90 时,在 OA的两侧各有一点 P ,得出 P ,P ；当 PAO 90时,求出 P ；当 3 POA 90 时,求出 P 即可【动感设计】 打开“20XX年湖州市第 24 题” ,点击按钮“ 直角三角形 1” ,“ 直角三角形 2” ,“ 直角三角形 3” ,体会不同的直角三角形所在的位置 .【试题解答】（1）过点 A 作 AH OB 于 H ,在 Rt AOH 中,sin AOB 4,OA 10,5AH 8,OH 6,点 A 的坐标为 6 8, ,又 反比例函数 y k在第一象限内的图象x经过点 A ,8 k,即 k 48

18、,反比例函数解析式 y 48（x 0）6 x（2）设 OA a a 0 ,过点 F 作 FM x 轴于 M ,在 Rt AOH 中,sin AOB 4,AH 4a,OH 3a,5 5 5S AOH 1OH AH 6a 2,2 25S AOF 12,平行四边形 OACB 的面积为 24 ,点 F 为 BC 的中点,S OBF 6,BF 1a,FBM AOB,2FM 2 a,BM 3a,S BMF 1 BM FM 3 a 2,5 10 2 50S OFM S OBF S BFM 6 3 a 2,50点 A 、 F 都在反比例函数 y k的图象上,xS AOH S OFM 即 6a 26 3a 2,

19、解之 a 103,舍去负值得 OA 10325 50 3 3AH 8 3,OH 2 3,3又 S 平行四边形 AOBC OB AH 24,OB AC 3 3,C 5 3 , 3 ；（3）存在三种情形：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当APO90学习必备欢迎下载时,在 OA 的两侧各有一点P,分别为：1P2 33,43P 28 33,433,；33当时,34,4 33,PAO90P 39当POA90时,P 416433,93【易错点评】 解答第（ 2）问时想不到第（ 1）问的解题思路对其示意作用,从而找不到解决 问

20、题的突破口第（3）问是动点问题,由于点 P 的位置没有确定,需要自己画图探究,学 生易疏忽点 O 为直角顶点,造成漏解 .平行四边形、【反思与启发】 此题主要考查了反比例函数的综合,用到的学问点是三角函数、反比例函数、三角形的面积等,解答时特殊要留意运用数形结合、分类争论等数学思想 .第（1）问看似是特殊的一种情形,所得结论虽不能应用于第（2）、（ 3）问,但它示意明白题思路,指明第（2）问的解题方向“ 设 OA a a 0 ” ,解题的突破口正是受第（1）问中“OA 10” 的影响 . 【变式练习】 （20XX 年广州市第 24 题） 如图 4,抛物线 y 3 x 2 3 x 3 与 x 轴

21、交于 A、8 4B两点（点 A 在点 B的左侧）,与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当ACD的面积等于ACB的面积时,求点 D的坐标；（3）如直线 l 过点 E 4 , 0 , M为直线 l 上一动点,当以 A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线 l 解析式案例 4 A 1x已知,如图 1,抛物线（20XX 年日照市第22 题）yax2bxc经过点0,Bx2,0 ,C,02 ,其顶点为 D .以 AB 为直径的 M 交 y 轴于点 E 、 F ,过点 E 作 M 的名师归纳总结 切线交 x 轴于点 N .ONE30,x

22、 1x 28. 第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）连结 AD 、 BD ,在（1）中的抛物线上是否存在一点 P ,使得ABP 与ADB 相像？如存在,求出P 点的坐标；如不存在,说明理由；（3）如图 2,点 Q 为弧 EBF 上的动点（ Q 不与 E 、F 重合）,连结 AQ 交 y 轴于点 H ,问：AH AQ 是否为定值？如是,恳求出这个定值；如不是,请说明理由 . 【思路探究】 （1）结合圆的性质解直角三角形,运算出OM、OA、OB等线段的长度,名师归纳总结

23、 从而写出相关点的坐标,用然后用待定系数法求出抛物线的解析式,配方得顶点D 的坐标；第 9 页,共 11 页（2）第一由抛物线的对称性知ADB 是等腰三角形,因此要使ABP 与ADB 相像,就ABP 也必需是等腰三角形且与ADB 对应的角要能相等. 同样由对称性, 直觉告知我挑选角的相等入手比较简单,求出顶点D关于x轴的对称点D,这样便有一对底角相等,再判断它是不是等腰三角形,从而得出是否存在符合要求的P 点的坐标；（3）由乘积式AHAQ想到相像三角形,为此连AF 、 QF ,构造相像三角形AQF 、AFH ,将AHAQ转化为2 AF ,再由勾股定理运算出AF216为定值【动感设计】 打开“2

24、0XX年日照市第22 题” ,点击按钮“ 右侧对应角相等”,“ 左侧对应角相等” ,可以看到此时BP-AB 0,即 ABP不是等腰三角形,即不存在相像三角形；点击按钮“Q在弧上运动 / 停止” ,可以发觉随着Q的运动, AHAQ的值不变 .【试题解答】 （1）以 AB 为直径的 M 的半径r1AB1x 1x2422连结 ME , NE 是切线,MENE在RtMNE中,ONE30,MAME4,EMN60,MN8OM2,OA2,OB6,A 20,B6,0抛物线经过点A、B,设抛物线的解析式为yax2x6 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又抛物线经过点C0

25、,学习必备欢迎下载2 3x22 ,代入得a16抛物线的解析式为y1x2 x6 1x266配方得y1x2 28,顶点 D 的坐标为2 ,8 3632）如图 3,由抛物线的对称性可知：ADBD ADB为等腰三角形 . 如在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P ,使ABP 与ADB 相像必需有BAPBPABAD设 AP 交抛物线的2对称轴于D点,明显D2 ,8,直线 AP 的解析式为y2 x 34 3x2103由2 3x41x22x2,得1x2（舍去）,363P 10 8,PB45,而AB8,PBAB,即BAPBPA,PAB与BAD 不相像同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点所以在该

26、抛物线上不存在点P ,使得与PAB 与相像3 连结 AF 、 QF ,如图 4,在AQF 和AFH 中,由垂径定理易知：弧AE =弧 AF , AQFAFH, 又QAFHAF,AQF AFH ,AFAH,AHAQAFAQAF在RtAOF中,AF2AO2OF216,AHAQ16为定值【易错点评】 探究是否存在符合要求的P 点坐标,通常都是存在的多,同学受思维定势的名师归纳总结 影响,在求出“直线 AP 与抛物线的交点坐标” 后,往往 不加验证就说明存在,直接写出2第 10 页,共 11 页个 P 点的坐标 .而此题恰恰相反,是不存在.【反思与启发】 解决存在性问题的基本思路是：先假设存在, 然后

27、依据问题的已知条件去探索,但对于按部分条件得出的结论仍需要验证是否真正满意题目的要求,假如不存在满意题目要求的点,也要敢于下结论,切不行纠结于常规,形成思维定势,以为自己做错而拚命的去查找,铺张考场上珍贵的时间,影响考试心态. 记住：解题体会当然重要,但真理更珍贵 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【变式练习】 （20XX 年盐城市第28 题） 如图 5,如二次函数y3x2bxc的图象与 x 轴交于A2,0、B3,0两点, 点 A 关6于正比例函数y3x的图象的对称点为C. （1）求 b 、 c 的值；名师归纳总结 （2）证明：点C 在所求的二次函数的图象上；第 11 页,共 11 页（3）如图 6,过点 B 作DBx轴交正比例函数y3 的图象于点D,连结 AC ,交正比例函数y3 的图象于点E,连结 AD、 CD.假如动点 P 从点 A 沿线段AD 方向以每秒2 个单位的速度向点D 运动,同时动点Q 从点 D 沿线段 DC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动,当其中一个到达终点时,另一个点随之停止运动,连结 PQ、QE、PE,设运动时间为t 秒,是否存在某一时刻,使PE 平分APQ ,同时 QE 平分PQC ,如存在,求出 t 的值；如不存在,请说明理由.- - - - - - -