2022年八年级数学期末专题复习二：八年级数学上册几何图形添辅助线例谈 2.pdf

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1、赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第 1 页（共 8 页）第 2 页 （共 8 页）八年级数学上册期末专题复习资料二：八年级数学上册几何图形添辅助线例谈编制：赵化中学郑宗平新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，有些同学说感觉学起来有些吃力，我想除了推理入门是个难关，还因为有部分几何题需添加辅助线；在几何题中，添加辅助线往往是为了变更题中某些图形的位置（特别是线段和角） ，使得已知条件与结论的之间关系在图形中能清楚的显现出来，从而找到破题的方法，辅助线在其中起到铺路和架桥的作用. 下面给同学们提供一些例子进行解析，部分例子还形成“口诀”（顺口溜），目的是加深印象！希望对同学们有帮助

2、. （请同学们利用课外时间事先完善例题证明过程，并完成例题后面的追踪练习. ）一. 连结例. 如图，已知,ACBD ADBC；求证：CD分析： 要证明CD可考虑化在两个三角形，通过证明其全等使问题获得解决. 但从本题图形结构来看要直接证明AOC和BOC全等缺少条件； 但连接AB后，AB就成了ABC和BAD的公共边，相当于使隐含条件显现出来，证明ABC和BAD全等即可 . 略证 ：连结AB在ABC和DCB中CD追踪练习：1.如图，已知,ABAD CBCD. 求证：BD . 2. 如图，五边形ABCDE中，,ABAEBE CBDE, AFCD垂足为F；求证：点F为边CD的中点 . 二. 延长如图，

3、DACA于A, ABAC;BD是ABC的平分线 , 过C作CEBD的延长线于E. 求证：BD2CE分析： 从本题条件来 看要直接证明BD2CE，我们需要找一条线段来替代BD；本题若我们延长BA和CE交于点F使“残缺”的图形“补全”，通过证明BECBEF即可得到CFBD，所以就把问题就转化证明CF2CE了, 根据题中条件问题可以解决.略证 ：延长BA和CE交于点F. DACA于A，CEBD的延长线于E345690o1F2F90o12BD是ABC的平分线1CBE在BEC和BEF中ECEFCF2CE又在ABD和CAF中CFBD2CE追踪练习：如图 , 已知，四边形ABCD中，,B90A30ADC12

4、0AD4BC1ooo，,求CD的长？三. 作高线例. 已知ABC中ABAC；DE、为边BC的两点，且ADAE. 求证：BDCE分析： 虽然要证明BDCE可以通过证明两个全等三角形来解决，但作ABC的底边的高线，利用等腰三角形的“三线合一”过程会变得更为简捷.略证 ：过点A作AFBC, 垂足为FABAC,ADAEOBCAD21EDABC654321FEDABCEFBCADEBCDABACDDBACEFCDBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - -

5、 - - - - - - 赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第 3 页（共 8 页）第 4 页 （共 8 页）,BFCF DFEF ( “三线合一” )，即BDCE口诀：底边作高线，解答更方便.追踪练习：如右上图，在ABC中，,oA30AC8 AB9；求ABC的面积 . 四. 作垂线连端点例 1. 如图，四边形AC平分DAB , 且CDCB求证 :oBD180分析：要证明oBD180，我们通常会想到一个平角就等于180，所以我们可以想办法把BD、“搬”在一起组成一个平角. 通过构造全等三角形可以解决这个问题；角平分线上的点到两边距离相等可以为证明全等提供条件. 若过点C作DAB两边的垂线可以

6、构造满足需要的两个全等三角形. 略证 ：过点C作CEAB, 垂足为E；作CFAD的延长线与F. oCEBCFD90又AC平分DABCECF在RtCEB和RtCFD中RtCEBRtCFDHL1Bo12180oB180即oBD180例 2. 如图，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边CD的中点，且AEBC,AFCD . . 求证 :ABAD；. 若BCD114o , 求BAD的度数 . 分析：本题主要是问，要证明ABAD关键是抓住AE垂直平分BC和AF垂直平分CD, 所以连接AC后利用垂直平分线的性质得出,ABAC ADAC , 所以ABAD.略解：. 连结AC点E是边BC的中点，AE

7、BCABAC（垂直平分线的性质）同理ABAD. ABAC, ADACB,DBD即BDBCDBADBDBCD42180360oo,BCD114oooooBAD114114. 注： 求BAD的度数的途径不止一种. 口诀：分角两边作垂线，垂直平分连端点，线段相等好转换. 追踪练习：1. 如图，BC90o, 点M是BC中点，DM平分ADC. 求证AM平分DAB. 2. 如图所示，AOB30o,OC平分AOB,CDOA CEOA，CE4. 求CD的长 . 3. 如图，在ABC中，oBC30; 点D是边AB的中点，点F是边AC的中点，且EDAB,GFAC，垂足分别为DF、. 求证 :BEEGGC；五. 作

8、平行线例. 如图，在ABC中，ABAC,ED、分别在AB和AC的延长线上，连接DE交BC于F; 若点F是ED的中点 . 求证：BECD . 分析：要证明BECD我们的主要思路还是要化归贵在两个三角形中，通过证明其全等使问题获得解决；但本题的条件“不足”，根据ABC是一个等腰三角形和点F是ED的中点，我们可以构造一对等腰三角形来解决这个难题.通常在有中点的况下，通过情构造辅助平行线能够得到两个全等三角形. 略证 ：过点E作EGAD交BC于点G. 3D,4ACB点F是ED的中点EFDFAFEBCDCABEDBOACABMDCGEDFABC21FEDABCDABCFEBCAD4321GFEBCAD名

9、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第 5 页（共 8 页）第 6 页 （共 8 页）又在EGF和DCF中EGCDABACBACB又4ACBB4BEGE. 追踪练习：1. 将本例已知中的“点F是ED的中点 ”和求证中的“BECD”对调后加以证明；2. 叙述并证明三角形的内角和定理.六. 截长补短例. 如图，ADBC，点E在CE上，AEBE、分别平分DABCBA、. 求证：ADBCAB

10、. 分析：要证明ADBCAB可以从两个方面考虑：一是想办法在AD或BC所在的直线线为基础截取一条一条线段来等于BC或AD, 相当于把ADBC转成一条线段通过全等三角形直接证明；二是在线段BC上截取一条来等于ADBC的其中一条， 通过证明截取BC余下的线段余下ADBC中一线段相等， 从而使问题得以解决. 前面一种途径可以称为“补短法”，后面一种途径可以称为 “截长法” . 略证： 在线段AB截取AFAB, 连结EF. AE分别平分DAB12又在ADE和AFE中D6ADBCD180o（两直线平行，同旁内角互补）又65180o（等角的补角相等）BE分别平分CBA34在FBE和CBE中BFBC（全等三

11、角形，对应边相等）又AFABAFBFABCD即ADBCAB. 口诀：线段和差要证好，截长补短不可少. 追踪练习：已知，如右上图ABC中，,oABACA108 ,CD平分BCA交AB于D. 求证：BCACBD . 七. 倍长中线：例. 如图。在ABC中，AD为其中线，ACAB; 若,AB5 AC7；求中线AD的取值范围？分析：要求中线AD的取值范围，通常根据三角形三边之间的关系来解决，但本例中要求部分的和已知并非在同一个三角形中，条件比较分散！所以要想办法把它们集中在同一个三角形中，本例可以采用“倍长中线”构造全等三角形来转换，使已知和要求的部分化归在同一个三角形中，从而使问题得以解决. 实际上

12、是线角 “折半加倍” 的中一种情况. 略解： 延长AD至F,使FEAD, 则AF2ADAD为ABC的中线BDCD在ABD和FCD中CFAB（全等三角形，对应边相等）在AFC中有ACCFAFACCF；即ACABAFACAB,AB5 AC7, 且AF2AD752AD75解得：1AD6. 口诀：两边之间夹中线，倍长中线全等见. 追踪练习：如图，在ABC中，点D为BC边上的一点，且CDAB, BADBDA。AE是ABD的中线 . 求证:AC2AE .4321CEABD544321FCEABD6DABC21FDABCCEABDDABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

13、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第 7 页（共 8 页）第 8 页 （共 8 页）八. 注意“ T”字型结构中的辅助线例.图，点C为线段AB的中点；点D为线段AB下方的一点，且有AFBE,DEDF，EF. 求证：DCAB分析：根据本题的条件容易想到通过等腰三角形的“三线合一”来证明DCAB，再加上线段AB和线段DC构成了一个“ T”字型，比较容易连接DADB、构成一个等腰三角形来证明，而根据题中的条件能证明AFDBED, 从而推出DADB, 利用

14、“三线合一”可解决问题 . 略证 ：连接DADB、在AFD和BED中DADB（全等三角形，对应边相等）又点C为线段AB的中点（三线合一）口诀：图中出现“T”字型，连成等腰三角形. 追踪练习：1. 如图，已知,ABAE BCED,F为CD的中点，且BE. 求证 :AFCD. 2. 如图，已知在ABC中 ，CAB的的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DMAB于点M，DNAC的延长线于N. 求证：BMCN九. 沿“线”翻折切入来添辅助线例. 已知，在ABC中，ABAC, AD平分BAC,E是AC上的一点，且1BAC. 求证：BDED. 分析：要直接证明BDED，但由于AD平分BAC，可以考虑

15、沿AD翻折将AED的顶点落在边AB上来切入添辅助线，使ED和BD化归在同一个三角形，利用“等角对等边”来使问题得以解决. 略证 ：在AB上截取AFAE, 连接DF . AD平分BACEADFAD在AFD和AED中,EDFDAEDAFD23（等角的补角相等）21801Co ,B180BACCo, 1BAC1B2BDFDBDED口诀：垂线、高线、分角线，沿线翻折全等连. 追踪练习对于任意ABC（见示意图） .若AD是ABC的边BC上的中线，ADB、ADC的角平分线分别交AB、AC于点EF、，连接EF；探究EFBECF、之间的数量关系? 说明：由于篇幅有限，再加上初二几何哪怕是与三角形相关的性质在教材上也只研究了其中一部分，所以其它辅助线方法就不在这里赘述，务必将本复习资料的例题的证明过程补充完整，并完成每道例题后面的追踪练习；希望同学们多练习、多研究、多总结，做好本次期末迎考的准备. 2018.1.6 ECABFDEFCDBANMDEBCAFEDBCA21EDBCA321FEDBCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -