2022年中考复习二次函数综合题精选.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载中考复习二次函数的综合精选1如图,二次函数 y 1 x 2 c 的图象经过点 D 3 , 9,与 x 轴交于 A、B 两点2 2求 c 的值；如图,设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点,直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分,试证明线段 BD 被直线 AC 平分,并求此时直线 AC 的函数解析式；设点 P、Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点, 试猜想：是否存在这样的点 P、Q,使 AQP ABP？假如存在, 请举例验证你的猜想； 假如不存在,请说明理由（图供选用）解： 抛物线经过点D3,9 21

2、32c922c=6. 过点 D、B 点分别作 AC 的垂线,垂足分别为E、F,设 AC 与 BD 交点为 M,AC 将四边形 ABCD 的面积二等分,即： S ABC=S ADCDE=BF 又 DME=BMF, DEM=BFE DEM BFMDM=BM 即 AC 平分 BD6）c=6. 抛物线为y1x22A（23,0）、B（230,）,9 4M 是 BD 的中点M（32设 AC 的解析式为 y=kx+b,经过 A、M 点名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 23kb0学习好资料9. 欢迎下载k33103kb9解得b9

3、524直线 AC 的解析式为y33x105存在设抛物线顶点为 N0,6,在 RtAQN 中,易得 AN= 4 3 ,于是以 A 点为圆心,AB= 4 3为半径作圆与抛物线在 x 上方肯定有交点 Q,连接 AQ,再作 QAB 平分线 AP 交抛物线于 P,连接 BP、PQ,此时由“ 边角边” 易得 AQP ABP2已知一次函数 y1 x 1 的图象与 x 轴交于点 A与 y 轴交于点 B ；二次函数 y 1x 2bx c2 2图象与一次函数 y1 x 1 的图象交于 B 、C 两点,与 x 轴交于 D 、E 两点且 D 点的坐标为 ,1 0 2（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEF

4、的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P,使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？如存在,求出全部的点 P ,如不存在,请说明理由；【答案】解：（1） 由题意知 :当 x=0 时,y=1, B（0,1）,当 y=0 时,x=2, A（ 2,0）c 1 c 11 b c 0 解得b 3 , 所以 y 12 x 2 32 x 12 2（2）当 y=0 时, 1x 2 3x 1 0 ,解得 x1=1,x2=2, D1,0 E2,0 AO=3, AE=4. S=S2 2CAESABD,S= 1 AE 3 1 AD OB,S=4.5, 2 23存在点 Pa,0,当 P 为直角顶点时 ,如图,过

5、 C 作 CFx 轴于 F, Rt BOPRt PFC, 由题意得, AD6,OD1,易知, AD BE,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载BO OP即 1 a,整理得 :a 24a3=0, 解得 a=1 或 a=3, 所以所求 P 点坐标为 1,0PF CF 4 a 3或3,0. 综上所述 , 满意条件的点 P 有两个 . 3如图（ 1）,抛物线 y x 2x 4 与 y 轴交于点 A,E（0,b）为 y 轴上一动点,过点 E 的直线 y x b与抛物线交于点 B、C. （1）求点 A 的坐标

6、；（2当 b=0 时（如图（ 2）,成立吗,为什么？ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当b4时,上述关系仍（3）是否存在这样的b,使得BOC 是以 BC 为斜边的直角三角形,如存在,求出b；如不存在,说明理由 . y yCCBExBExOOAA图（ 1）图（ 2）解：（1）将 x=0,代入抛物线解析式,得点A 的坐标为（ 0, 4）（2）当 b0 时,直线为 yx ,由yx2x4解得x 12,x 22yxy 12y 22所以 B、C 的坐标分别为（ 2, 2）,（2,2）SABE1424,SACE1424b4,b4yC22所以SABESACE（利用同底等高说明面积相等亦可）G当b4时,仍有

7、SABESACE成立 . 理由如下RBO由yx2b4,解得x 1b4b,x 2b4FQyxxy 1b4y2b4+b）,所以 B、C 的坐标分别为（b4,b4+b）,（bCGb4,作 BFy 轴, CGy 轴,垂足分别为F、G,就BF而ABE 和ACE 是同底的两个三角形,所以SABESACE. （3）存在这样的 b. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料90欢迎下载由于BFCG,BEFCEG,BFECGE所以BEFCEG所以 BECE ,即 E 为 BC 的中点所以当 OE=CE 时,OBC 为直角三角形由

8、于GEb4bbb4GC所以CE2b4,而 OEb所以2b4b ,解得b 14,b 22,所以当 b4 或2 时, OBC 为直角三角形 . 4 如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2bxc的图象与 x 轴交于 A、B 两点, A点在原点的左侧, B 点的坐标为（ 3,0）,与 y 轴交于 C（0,-3）点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 .（1）求这个二次函数的表达式/（2）连结 PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POP C, 那么是否存在点 P,/使四边形 POP C 为菱形？如存在,恳求出此时点 P 的坐标；如不存在,请说明理由（3）当点 P 运动到什么位

9、置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 .【答案】解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得3 bc0c3名师归纳总结 解得：b2x22x3）,第 4 页,共 18 页c3所以二次函数的表达式为：yx22x3（2）存在点 P,使四边形 POP/C 为菱形设 P 点坐标为（ x,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PP/交 CO 于 E/学习好资料欢迎下载如四边形 POP/C 是菱形,就有 PCPO连结 PP就 PECO 于 E,3OE=EC= 2解得1x = y =3 2（不合题意,舍去）8 分x22x3=3

10、22210,x =2210P 点的坐标为（2210,3 ） 2（3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F,设 P（x,x22x3）,易得,直线 BC 的解析式为yx3就 Q 点的坐标为（ x,x3）. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1 1 1S 四边形 ABPC S ABC S BPQ S CPQ AB OC QP OE QP EB2 2 21 1 24 3 x 3 x 32 22= 3x 3 752 2 8当 x 3 时,四边形 ABPC 的面积最大2此时

11、 P 点的坐标为 3, 15,四边形 ABPC 的2 4面积 的最大值为 7585如图,已知在直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上, OC 在 x 轴的正半轴上, OAAB2,OC3,过点 B 作 BDBC,交 OA 于点 D,将 DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交 y 轴的正半轴于 E 和 F（1）求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE 经过（ 1）中抛物线的顶点时,求 CF 的长；（3）连接 EF,设 BEF 与 BFC 的面积之差为 S,问：当 CF 为何值时S 最小,并求出这个最小值 . 【答案】由题意得： A（0,2）、B（2,2）、

12、C（3,0）,设经过 A,B,C 三点的抛物线的a 2c 2 3解析式为 y ax 2bx c,就 4 a 2 b c 2,解得：b 4,所以 y 2x 2 4x 23 3 39 a 3 b c 0 c 2（2）由 y 2x 2 4x 22 x 1 2 8,所以顶点坐标为 G（1,8）,过 G 作 GHAB,3 3 3 3 3垂足为 H,就 AHBH1,GH822, EAAB,GHAB, EA GH, GH 是3 3 BEA 的中位线,EA3GH4 3,过 B 作 BMOC,垂足为 M,就 MBOAAB, EBF名师归纳总结 ABM90, EBA FBM90 ABF,R t EBAR t FB

13、M,FMEA 43,第 6 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载CMOCOM3 21, CFFMCM73（3）设 CFa,就 FM a1 或 1 a, BF 2FM EBA FBM, BMBF,2BM 2a1 22 2a 22a5,又就 S BEF 1 BE BF 1 BF 2 1 a 22 a 5,又 s BFC 1 FC MB 1 a 2 a ,2 2 2 2 2S1 a 22 a 5 a 1a 22 a 5,即 S1 a 2 2 1,当 a2（在 2a3）时,2 2 2 2 2S最小值 126如图 12 已知 A

14、BC 中,ACB90以 AB 所在直线为 x 轴,过 c 点的直线为 y 轴建立平面直角坐标系此时, A 点坐标为（一 1 , 0）, B 点坐标为（ 4,0 ）（1）试求点 C 的坐标2（2）如抛物线 y ax bx c 过 ABC 的三个顶点,求抛物线的解析式（3）点 D（ 1,m ）在抛物线上,过点 A 的直线 y=x1 交（2）中的抛物线于点 E,那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P,使以 P、B、D 为顶点的三角形与ABE 相像？如存在,求出 P 点坐标；如不存在,说明理由；D H G 【答案】（1） ACB 90,COAB , ACO CBO,COAO,CO=2,OBCO就

15、 C（0,2）；名师归纳总结 - - - - - - -（2）抛物线yax2bxc 过 ABC 的三个顶点,就aabc00,a1,b3,c2,1624 bc22c抛物线的解析式为 y 1 x 2 3 x 22 2（ 3）点 D（ 1,m ）在抛物线上,；m3, D（ 1, 3）,把直线y=x1 与抛物线y1x23x2联立成方程组yx13x2x 11 ,0x 256,1yx2y 1y 22222第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载E（5,6）, 过点 D作 DH垂直于 x 轴, 过点 E 作 EG垂直于 x 轴,DH=BH=3, DBH=

16、45 , BD= 32,AG=EG=6, EAG=45 ,AE=62, 当 P在 B的右侧时 , DBP=135 ABE,两个三角形不相像 , 所以 P 点不存在；当 P 在 B 的左侧时 DPB EBA 时,BP DB , BP 3 2,BP 5, P 的坐标为（3 ,0）,BA AE 5 6 2 2 2 DPB BEA 时,PB DB , PB 3 2,BP 36, P 的坐标为（16 ,0）,EA BA 6 2 5 5 5所以点 P 的坐标为（3 ,0）或（16 ,0）；2 57如图 1,抛物线 y 1 ax 2 2 ax b 经过点 A（ 1,0）,C（0,3 ）两点,且与 x 轴的另

17、一2交点为点 B（1）求抛物线解析式；（2）如抛物线的顶点为点 M ,点 P 为线段 AB 上一动点（不与 B 重合）,Q 在线段 MB 上移动,且 MPQ=45 ,设 OP=x,MQ= 2 y ,求 y 于 x 的函数关系式,并且直接写出自变量2的取值范畴；（3）如图 2,在同一平面直角坐标系中,如两条直线x=m,x=n 分别与抛物线交于E、G 两点,与（ 2）中的函数图像交于F、H 两点,问四边形 EFHG 能否为平行四边形？如能,求出m、n 之间的数量关系；如不能,请说明理由图1 图 2 名师归纳总结 【答案】（1）y1x2x3；x3；22（2）由顶点 M（1,2）知 PBM=45 ,易

18、证 MBP MPQ 得PMQMPM2BMQM,得1x24222y2,即y21x2x50BMPM222（3）存在,设点 E、G 是抛物线y1x2x3分别与直线 x=m,x=n 的交点,就22第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E m,21 22 mmn3、Gn,学习好资料欢迎下载5 2,1n2n3,同理Fm ,1m2m5、Hn,1n2n222222EFm22m,1GHn22 n1由四边形 EFHG 为平行四边形得 EG=FH,即1,因m2n2m20mn2mn 0,由mnmn20m2,且m此,四边形 EFHG 可以为平行四边形, m、

19、n 之间的数量关系是m+n=2（0m2,且 m 1）8如图,在 ABC 中, C45,BC10,高 AD8,矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上,E、F 两点分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于点 H（1）求证：AH AD EF BC；（2）设 EFx,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大 .并求其最大值；（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时, 该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线QC 匀速运动当点 Q 与点 C 重合时停止运动 ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFFQ 与 ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式【答案】解：（1） 四边形 E

20、FPQ 是矩形,EF QP AEF ABC又 ADBC, AHEFAH ADEF（2）由（ 1）得AH 8 x 10AH4 5x EQHDADAH84 5x, S矩形 EFPQEF EQx 84 5x 4 5x 28 x4 5（x5）220 4 50, 当 x5 时, S矩形 EFPQ 有最大值,最大值为 20（3）如图 1,由（ 2）得 EF5,EQ4名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载图 1 C45 , FPC 是等腰直角三角形 PCFPEQ=4,QCQPPC9分三种情形争论： 如图 2当 0

21、t4 时,设 EF、PF 分别交 AC 于点 M、N,就 MFN 是等腰直角三角形FNMFtSS 矩形 EFPQSRt MFN=201 2t 2 1 2t 220；如图 3,当 4t5 时,就 ME5t,QC9t SS梯形 EMCQ1 2（5t）（ 9t ） 44t28；如图 4,当 5t9 时,设 EQ 交 AC 于点 K,就 KQ=QC9t SS K QC=1 2 9t21 2 t9 2图 4 图 2 图 3 综上所述： S 与 t 的函数关系式为：1 t 2200t 4,2S= 4 t 28（4t 5,1 t 9 2（5t 9229已知抛物线 y ax bx c a 0 顶点为 C（1,

22、1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（x,y）向直线 y 5 作垂线,垂足为 M ,连 FM（如图） . 4（1）求字母 a,b,c 的值；（2）在直线 x1 上有一点 F 1, 3 ,求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标, 并证4明此时 PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点出 t 值,如不存在请说明理由 . N（1,t）,使 PMPN 恒成立,如存在恳求名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【答案】（1）a 1,b2,c0 （2）过 P 作直线 x

23、=1 的垂线,可求 P 的纵坐标为1 4PF1,故 MPF 为正三角形 . ,横坐标为113.此时, MPMF2（3）不存在 .由于当 t5 4与 PN 不行能相等 . ,x1 时,PM 与 PN 不行能相等,同理,当t5 4,x1 时,PM10如图,以 A 为顶点的抛物线与 0,41求抛物线的解析式；y 轴交于点 B已知 A、B 两点的坐标分别为 3,0、名师归纳总结 - - - - - - -2设 Mm ,n是抛物线上的一点 m、n 为正整数 ,且它位于对称轴的右侧如以M 、B、O、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点 M 的坐标；3在2的条件下,试问：对于抛物线对称轴上

24、的任意一点 P,PA 2+PB 2+PM 228 是否总成立 .请说明理由第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载11. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为（4 , 1）的抛物线交 y 轴于 A点,交 x 轴于 B , C两点（点 B 在点 C 的左侧） . 已知 A 点坐标为（ 0 , 3）. （1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D , 假如以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切,请判定抛物线的对称轴 l 与 C 有怎样的位置关系,并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点,且位于A , C

25、 两点之间,问：当点 P 运动到什么名师归纳总结 位置时,PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC 的最大面积 . yDx【答案】A（1）解：设抛物线为ya x421. 抛物线经过点 A （0,3）,3a0421.aO 1. BC43 分第 12 页,共 18 页抛物线为y1x4211x22x3. 444 分2 答： l 与 C 相交. 证明：当1 4x4210时,x 12,x 26. B 为（ 2, 0）, C 为（6,0）.AB2 32 213. 设 C 与 BD 相切于点 E ,连接 CE,就BEC90AOB. ABD90,CBE90ABO . - - - - - - -精选学

26、习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载7 分又BAO90ABO ,BAOCBE .AOB BEC . CE OBBC.CE62.CE82. 6 分AB21313抛物线的对称轴 l 为x4, C 点到 l 的距离为 2. 抛物线的对称轴 l 与 C 相交 . 3 解：如图,过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q . 可求出 AC 的解析式为 y 1x 3 . 8 分2设 P 点的坐标为（ m ,1m 22 m 3）,就 Q 点的坐标为（ m ,1m 3）. 4 21 1 2 1 2 3PQ m 3 m 2 m 3 m m . 2 4 4 2S PAC S PA

27、Q S PCQ 1 1m 2 3m 6 3 m 3 2 27 , 2 4 2 4 4当 m 3 时,PAC 的面积最大为27 . 4此时, P 点的坐标为（ 3,3）. 10 分412如图 , 已知抛物线 y 1 x 2 bx c 与 y 轴相交于 C,与 x 轴相交于 A、B,点 A 的坐标为2（2,0）,点 C 的坐标为（ 0,-1 ）. （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点,过点 E 作 DEx 轴于点 D,连结 DC,当 DCE 的面积最大时,求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点P,使 ACP 为等腰三角形,如存在,求点P 的坐标,如不存在,说明

28、理由 . yxyBoDAxBoAEC C【答案】名师归纳总结 解：（1）二次函数y1x 2bxc的图像经备用图第 13 页,共 18 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载过点 A（2,0）C0, 122 bc0分4 分5 分c1解得： b=1c=1-2 分2二次函数的解析式为 y 1 x 2 1 x 1-32 2（2）设点 D的坐标为（ m,0） （0m2） OD=mAD =2-m由 AD E AOC 得,ADDE-AOOC22mDE1DE=22m - CDE 的面积 =1 222m m =m2m=1m1214244当 m=1 时

29、, CDE 的面积最大点 D 的坐标为（ 1,0）-1x8 分（3）存在由1知：二次函数的解析式为y1x2122设 y=0 就01x21x1解得： x1=2 x2=122点 B 的坐标为（ 1,0）C（0, 1）设直线 BC的解析式为： y=kxbk b 0解得： k=-1 b=-1 b 1直线 BC的解析式为 : y=x1 在 Rt AOC 中, AOC=90 0 OA=2 OC=1 由勾股定理得： AC=5点 B1,0 点 C（0, 1）OB=OC BCO=45 0当以点 C为顶点且 PC=AC=5 时,设 Pk, k1 名师归纳总结 过点 P 作 PHy 轴于 H HCP=BCO=45

30、010第 14 页,共 18 页CH=PH= k在 Rt PCH中k2+k2=52解得 k1=10 , k2=22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P1（10 ,2学习好资料10 ,2欢迎下载101） P2（101）- 10 分22以 A为顶点,即 AC=AP= 5设 Pk, k1 过点 P 作 PGx 轴于 G AG= 2k GP= k1在 Rt APG 中 AG 2PG 2=AP 2（2k 2+ k1 2=5 解得： k1=1, k2=0舍 P31, 2 -11 分 以 P 为顶点, PC=AP设 Pk, k1 过点 P 作 PQy 轴于点 Q P

31、Lx 轴于点 L L k,0 QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA= 2 kAL= k-2 , PL= k1在 Rt PLA 中2 k2=k22 k12；矩形解得： k=5 P4 25 ,27 -212 分综上所述：存在四个点： P1（10 ,2101）2P2（-10 ,2101）P31, 2 P45 ,27 2213如图 1,已知抛物线经过坐标原点O和 x 轴上另一点 E,顶点 M的坐标为 2,4ABCD的顶点 A 与点 O重合, AD、AB分别在 x 轴、 y 轴上,且 AD=2,AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形 ABCD以每秒 1 个单位

32、长度的速度从图1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行名师归纳总结 移动,同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 动身向 B 匀速移动,设它们运动的时间第 15 页,共 18 页为 t 秒（ 0t 3）,直线 AB 与 该 抛物线的交点为N（如图 2 所示） . 当 t=5 时,判定点 P是否在直线 ME上,并说明理由；2 设以 P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问 S是否存在最大值？如存在,求出这个最大值；如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y M yx2E 学习好资料O M 欢迎下载y C B C N E x B P D O

33、 Ax D A 图 14x图 2【答案】 解：（1）（2）点 P 不在直线 ME 上依题意可知： P（ t ,t ）,N（ t ,t 2 4 t）当 0 t 3 时,以 P、N、C、D 为顶点的多边形是四边形 PNCD,依题意可得：S S PCD S PNC = 1 CD OD + 1 PN BC = 1 3 2 + 1t 24 t t 2 = t 23 t 32 2 2 2= t 3 2 212 4抛物线的开口方向：向下,当 t = 3 ,且 0 t 3 3 时,S 最大 = 212 2 4当 t 3或 0 时,点 P、N 都重合,此时以 P、N、C、D 为顶点的多边形是三角形依题意可得,S

34、 1 S 矩形 ABCD = 1 2 3 =3 2 2综上所述, 以 P、N、C、D为顶点的多边形面积 S 存在最大值 21 414. 已知：如图,把矩形 OCBA放置于直角坐标系中,OC 3,BC 2,取 AB 的中点 M ,连结 MC ,把 MBC 沿 x 轴的负方向平移 OC 的长度后得到 DAO . 1试直接写出点 D 的坐标；2已知点 B与点 D 在经过原点的抛物线上, 点 P 在第一象限内的该抛物线上移动, 过点 P作PQx轴于点 Q ,连结 OP . 如以 O、 P 、 Q 为顶点的三角形与DAO 相像,试求出点 P 的坐标；名师归纳总结 试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ,使得TOTB的值最大 . 第 16 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 学习好资料欢迎下载y P A M B x D A M B x O C O E C Q T 【答案