2022年函数的单调性和奇偶性专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数的单调性和奇偶性专题经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数 上的单调性 . 证明：在 0,+上任取 x1、x2x1 x2, 令 x=x 2-x10 就x10, x20,上式 0, y=fx 2-fx 10 上递减 . 总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？作差 3如何判定一个式子的符号？对差适当变形举一反三：【变式 1】用定义证明函数 上是减函数 . 思路点拨：此题考查对单调性定义的懂得,在现阶段,定义是证明单调性的唯独途径 . 证明：设 x1, x2 是区间 上的任意实数,且 x1x

2、2,就0 x1 x21 x1-x20,0x1x21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载0 x1x2 1 故,即 fx 1-fx 20 x1x2 时有 fx1fx 2 上是减函数 . 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在 上是增函数；在今后的学习中常常会遇到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象 . 类型二、求函数的单调区间2. 判定以下函数的单调区间；1y=x 2-3|x|+2； 2解： 1由图象对称性,画出草图fx 在上递减,在上递减,在上递增. 2图象为名师归纳总结 - -

3、 - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx在精品资料欢迎下载上递增 . 举一反三：【变式 1】求以下函数的单调区间：1y=|x+1|； 23. 解： 1画出函数图象,函数的减区间为,函数的增区间为-1,+；2定义域为,其中 u=2x-1 为增函数,在-, 0与 0, +为减函数,就上为减函数；-, 0,单调减区间为3定义域为 -, 00,+,单调增区间为：0,+. 总结升华：1数形结合利用图象判定函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关 . 3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函

4、数；复合函数为增函数；内外层函数 利用已知函数的单调性解决 .关注：内外层函数同向变化 反向变化 复合函数为减函数 . 类型三、单调性的应用 比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小 值3. 已知函数fx在 0,+ 上是减函数,比较fa2-a+1 与的大小 . 解：又 fx 在0,+上是减函数,就 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4. 求以下函数值域：1； 1x5,10； 2x-3,-2 -2,1；2y=x 2-2x+3；1x-1,1； 2x-2,2. 思路点拨： 1 可应用函数的

5、单调性；2数形结合 . 解：1 2 个单位, 再上移 2 个单位得到,如图1fx在5, 10上单增,；2；2画出草图1yf1, f-1 即2,6；名师归纳总结 2. 第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载举一反三：【变式 1】已知函数 . 1判定函数 fx的单调区间；2当 x1,3时,求函数 fx 的值域 . 思路点拨：这个函数直接观看唯恐不简单看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即可得到我们相对熟识的形式.,其次问即是利用单调性求函数值域 . 解： 1上单调递增,在 上单调递增；2 故函数 fx在1,3上单调递

6、增x=1 时 fx有最小值, f1=-2 x=3 时 fx有最大值x1,3时 fx的值域为 . 5. 已知二次函数fx=x2-a-1x+5 在区间上是增函数,求：1 实数 a 的取值范畴； 2f2 的取值范畴 . 解： 1对称轴是打算 fx 单调性的关键,联系图象可知只需；2f2=2 2-2a-1+5=-2a+11 又 a2, -2a -4 f2=-2a+11 -4+11=7 . 类型四、判定函数的奇偶性名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载6. 判定以下函数的奇偶性：12-4|x|+3 253fx=

7、x4fx=|x+3|-|x-3| 6 7思路点拨：依据函数的奇偶性的定义进行判定 . 解： 1fx的定义域为,不关于原点对称,因此 fx为非奇非偶函数；2x-10, fx 定义域 不关于原点对称,fx为非奇非偶函数；3对任意 xR,都有 -xR,且 f-x=x 2-4|x|+3=fx ,就 fx=x 2-4|x|+3 为偶函数；4xR,f-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-fx , fx为奇函数；5, fx 为奇函数；6xR,fx=-x|x|+x f-x=-x|-x|+-x=x|x|-x=-fx, fx为奇函数；7, fx为奇函数 . 举一反三：【变式 1】判定以下函数

8、的奇偶性：1；2fx=|x+1|-|x-1| ；3fx=x2+x+1；4. 名师归纳总结 思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判定. ；第 6 页,共 16 页解：1 fx为奇函数；2f-x=|-x+1|-|-x-1|=-|x+1|-|x-1|=-fx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3f-x=-x2+-x+1=x精品资料欢迎下载2-x+1 f-x -fx 且 f-x fx fx为非奇非偶函数；4任取 x0 就 -x0, f-x=-x2+2-x-1=x2-2x-1=-x2+2x+1=-fx 任取 x0,就 -x0 f-x=-x2+2-x+1=-x2-2

9、x+1=-x2+2x-1=-fx x=0 时, f0=-f0 xR 时, f-x=-fx fx 为奇函数 . 举一反三：【变式 2】已知 fx ,gx均为奇函数, 且定义域相同, 求证：fx+gx 为奇函数, fx gx 为偶函数 . 证明：设Fx=fx+gx , Gx=fx gx就F-x=f-x+g-x=-fx-gx=-fx+gx=-Fx G-x=f-x g-x=-fx -gx=fx gx=Gx fx+gx 为奇函数, fx gx为偶函数 . 类型五、函数奇偶性的应用 求值,求解析式,与单调性结合 7.已知 fx=x 5+ax 3-bx-8,且 f-2=10 ,求 f2. 解：法一： f-2

10、=-2 5+-2 3a-2b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 3a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 8a-2b=-50 f2=2 5+2 法二：令 gx=fx+8 易证 gx为奇函数 g-2=-g2 f-2+8=-f2-8 f2=-f-2-16=-10-16=-26. 8. fx 是定义在 R 上的奇函数,且当x 0 时, fx=x2-x,求当 x0 时, fx的解析式,并画出函数图象. x0 时, -y=-x2-x fa-1 fa时,求 a解：奇函数图象关于原点对称,即 y=-x2-x 又 f0=0 ,如图9. 设定义在 -3,3上的偶函数fx在 0,

11、3上是单调递增,当的取值范畴 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解： fa-1 fa f|a-1| f|a| 而|a-1|,|a|0, 3 . 类型六、综合问题10.定义在 R 上的奇函数fx为增函数,偶函数gx在区间的图象与fx的图象重合,设 ab0,给出以下不等式,其中成立的是_. fb-f-a ga-g-b；fb-f-a ga-g-b ；fa-f-b gb-g-a；fa-f-b gb-g-a. 答案： . 11. 求以下函数的值域：1 2 3思路点拨： 1中函数为二次函数开方,可先求出二

12、次函数值域；2由单调性求值域,此题也可换元解决；3单调性无法确定,经换元后将之转化为熟识二次函数情形,问题得到解决,需留意此时 t 范畴 . 解：1；2 经 观 察 知,；3令 . 12. 已知函数 fx=x2-2ax+a2-1. 名师归纳总结 1如函数 fx在区间 0,2上是单调的,求实数a 的取值范畴；y=ga的图象 . 第 8 页,共 16 页2当 x-1, 1时,求函数fx的最小值 ga,并画出最小值函数解： 1fx=x-a2-1 a0 或 a2 21 当 a-1 时,如图1,ga=f-1=a2+2a - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料

13、 欢迎下载2 当 -1 a1 时,如图 2,ga=fa=-1 3 当 a 1 时,如图 3,ga=f1=a 2-2a ,如图13. 已知函数 fx 在定义域 0,+上为增函数, f2=1 ,且定义域上任意 x、y 都满意 fxy=fx+fy ,解不等式： fx+fx-2 3. 解：令 x=2,y=2, f2 2=f2+f2=2 f4=2 再令 x=4,y=2, f4 2=f4+f2=2+1=3 f8=3 fx+fx-2 3 可转化为： fxx-2 f8 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载. 14.

14、 判定函数上的单调性,并证明. 证明：任取 0x1x2,0 x1 x2, x1-x20,x1x20 1当时x2-10 0x1x21, x1 fx 1-fx 20 即 fx 1fx 2 上是减函数 . 2当 x1, x2 1,+ 时,上是增函数 . 难点： x1x2-1 的符号的确定,如何分段 . 15. 设 a 为实数,函数 fx=x 2+|x-a|+1,xR,试争论 fx的奇偶性,并求 fx 的最小值 . 解：当 a=0 时, fx=x2+|x|+1,此时函数为偶函数；. 当 a 0 时, fx=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数1当 xa 时,1名师归纳总结 - - - - - - -第

15、 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载且2 上单调递增,上的最小值为fa=a2+1. 2当 xa 时,1 上单调递减,2综上：上的最小值为fa=a2+1 上的最小值为. 学习成果测评 基础达标 一、挑选题1下面说法正确的选项 A函数的单调区间就是函数的定义域 B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象肯定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是 DABC3已知函数为偶函数, 就的值是 名师归纳总结 A. B. C. D. 第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学

16、习资料 - - - - - - - - - 4如偶函数在精品资料欢迎下载 上是增函数,就以下关系式中成立的是ABCD5假如奇函数在区间上是增函数且最大值为,那么在区间上是 B增函数且最大值是,在上肯定是 A增函数且最小值是C减函数且最大值是D减函数且最小值是6设是定义在上的一个函数, 就函数A奇函数B偶函数. C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数7以下函数中,在区间上是增函数的是 ABCD8函数 fx 是定义在 -6,6上的偶函数,且在 -6,0上是减函数,就 A. f3+f4 0 B. f-3-f2 0 C. f-2+f-5 0 D. f4-f-1 0 二、填空题1设奇函数的定义域为,如当时

17、,的图象如右图, 就不等式的解是 _. 2函数的值域是 _. 3已知,就函数的值域是 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 如 函 数精品资料欢迎下载的 递 减 区 间 是是 偶 函 数 , 就_. 5 函数在 R上为奇函数,且,就当,_. 三、解答题1判定一次函数反比例函数,二次函数1的单调性 . 2已知函数的定义域为,且同时满意以下条件：是奇函数；2在定义域上单调递减；3的值域；求的取值范畴 . 3利用函数的单调性求函数4已知函数 . 当时,求函数的最大值和最小值；上是单调函数 . 求实数的取值范畴,使

18、在区间才能提升一、挑选题1以下判定正确选项 是偶函数A函数是奇函数B函数C函数是非奇非偶函数D函数既是奇函数又是偶函数2如函数在上是单调函数,就的取值范畴是 名师归纳总结 AB第 13 页,共 16 页CD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3函数精品资料 欢迎下载的值域为 AB在区间上是减函数, 就实数的取值范CD4已知函数围是 B在CD是A5以下四个命题：1函数时是增函数,也是增函数, 所以增 函 数 ； 2 如 函 数与轴 没 有 交 点 , 就且； 3 的递增区间为；4 和表示相等函数 . 其中正确命题的个数是 DABC6定义在R 上的偶函数,满

19、意,且在区间上为递增,就 BACD二、填空题1函数的单调递减区间是_. ,那么时,2已知定义在上的奇函数,当时,_. 3如函数在上是奇函数,就的解析式为 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4奇函数在区间精品资料欢迎下载上的最大值为8,最小值为 -1,上是增函数,在区间就_. 上是减函数,就的取值范畴为 _. 5如函数在三、解答题1判定以下函数的奇偶性1 22已知函数与的定义域为,且对任意,都有,且当时,恒成立,是奇函数 . 是奇函证明： 1函数是上的减函数； 2函数3设函数的定义域是且是偶函数,数,且,求和

20、的解析式 . 4设为实数,函数,. 1争论的奇偶性； 2求的最小值 . 综合探究1已知函数,就的奇偶性依次为 , 且 在上 是 减 函 数 , 就A偶函数,奇函数B奇函数,偶函数C偶函数,偶函数D奇函数,奇函数2 如是 偶 函 数 , 其 定 义 域 为的 大小关系是 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A精品资料B欢迎下载CD3 已知,那么_. 4如在区间上是增函数,就的取值范畴是_. 5已知函数的定义域是,且满意,如果对于,都有,. 的最小值 . 1求； 2解不等式6当时,求函数7已知在区间内有一最大值,求的值 . 8已知函数的最大值不大于,又当,求的值 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页