2022年中考数学探究题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1如图,已知 ABC是等腰直角三角形, C=90 ； 1 操作并观看,如图,将三角板的 45 角的顶点与点 C重合,使这个角落在 ACB的内部,两边分别与斜边 AB交于 EF 两点,然后将这个角围着点 C在ACB的内部旋转,观看在点 EF 的位置发生变化时,AEEFFB 中最长线段是否始终是 EF？写出观看结果2 探究： AE、 EF、FB这三条线段能否组成以EF 2=AE2+BF2）？假如能,试加以证明EF为斜边的直角三角形（即能否有2如图甲,四边形 ABCD是等腰梯形, AB DC,由 4 个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示

2、 的平行四边形1 求四边形 ABCD四个内角的度数； 2摸索究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系,并说明理由；.如能,请你画出大 3现有图甲中的等腰梯形如干个,利用它们你能拼出一个菱形吗致的示意图3某房地产公司要在一块地图中矩形 ABCD上规划建造一个小区公园 矩形 GHCK,为了使文物爱护区 AEF不被破坏,矩形公园的顶点G不能在文物爱护区内, 已知 AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m1 求矩形小区公园的顶点G恰是 EF的中点时,公园的面积名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必

3、备 欢迎下载2 当 G在 EF 上什么位置时,公园面积最大？4某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题：如图 1,在正三角形ABC中, M、N分别是 ACAB上的点, BM与 CN相交于点 O,如 BON60o,就 BMCN；如图 2,在正方形 ABCD中, M、N分别是 CD、AD上的点, BM与 CN相交于 O,如BON 90o,就 BMCN；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图 3,在正五边形ABCDE中, M、N分别是 CDDE上的点, BM与 CN相交于点 O,如 BON108o,就 BMCN任务要求 ：（1）请你从、三个命题中挑选一个 进行证明；（说明：选做对得4 分,

4、选做对得3 分,选做对得5 分）2 请你连续完成以下探究：请在图 3 中画出一条与 CN相等的线段 DH,使点 H在正五边形的边上,且与 CN相 交所成的一个角是 108o,这样的线段有几条？（不必写出画法,不要求证明）如图 4,在正五边形 如 BON108o,请问结论ABCDE中, M、N分别是 DE、EA上的点, BM与 CN相交于点 O,BMCN是否仍成立？如成立,请赐予证明；如不成立,请说明理由A A N D N 名师归纳总结 M O M 第 2 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载N E M A D O B 图

5、4C 第 4 题图5如图（ l ）,凸四边形 ABCD ,假如点 P满意 APD APB = 且 B P C CPD ,就称点 P为四边形 ABCD的一个半等角点（l ）在图（ 3）正方形 ABCD 内画一个半等角点（2）在图（4）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P,且满意 P,保留画图痕迹 （不需写出画法） . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）如四边形学习必备欢迎下载P1 P2 上任一ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2）,证明线段点也是它的半等角点6如图,有两个外形完全相同的直角三角形A

6、BC和 EFG叠放在一起 （点 A 与点 E重合）,已知 AC 8cm,BC 6cm, C90 , EG4cm, EGF90 , O 是 EFG斜边上的中点名师归纳总结 如图,如整个EFG从图的位置动身,以 1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在EFG 平移的同时,点P 从 EFG的顶点 G动身,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点 F 运第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载动,当点 P到达点 F 时,点 P 停止运动,EFG也随之停止平移设运动时间为 x（ s）,FG的延长线交 AC 于 H,四边形 OAH

7、P的面积为 y（cm 2）（不考虑点 P与 G、F 重合的情形） （1）当 x 为何值时, OP AC . （2）求 y 与 x 之间的函数关系式,并确定自变量x 的取值范畴1324？如存在,（3）是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与ABC面积的比为求出 x 的值；如不存在,说明理由（参考数据： 114 2 12996,115 2 13225, 116 2 13456 71 或 4.4 2 19.36,4.52 20.25,4.62 21.16）QR、RS上,且 QM=RN,填空：如图1,在正方形PQRS中,已知点MN分别在边连结 PN、 SM相交于点 O,就 POM=_度 . 2 如图

8、2,在等腰梯形ABCD中,已知 AB CD,BC=CD, ABC=60 . 以此为部分条名师归纳总结 件,构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明. 第 5 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载O 图 1 图 2 8ABC 中, BC a , AC b , AB c如C90,如图l ,依据勾股定理,就a2b22 c 如 ABC不是直角三角形,如图2 和图 3,请你类比勾股定理,试猜想2Aa2 b 与2 c 的关系,并证明你的结论AAC图 1BC图2BC图3B9已知：如图,在直角梯形ABCD中, AD BC,BC5cm,

9、CD6cm, DCB60 , ABC 90 等边三角形MPN（N为不动点）的边长为a cm,边 MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线 l 上, NC8cm将直角梯形 翻折二次得图形,如此翻折下去ABCD向左翻折 180 ,翻折一次得到图形,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）将直角梯形学习必备欢迎下载a2cm,这时两图ABCD向左翻折二次,假如此时等边三角形的边长形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形 ABCD向左翻折三次,假如第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD的面积

10、,这时等边三角形的边长 a 至少应为多少？（3）将直角梯形 ABCD向左翻折三次,假如第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半,这时等边三角形的边长应为多少？PDAIMNCB图 1210如图,将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C ,11处,两直角边分别与x,y轴平行,2纸板的另两个顶点A,B恰好是直线ykx9与双曲线ymm0的交点2x（1）求 m 和 k 的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）设双曲线 y m m 0 在 A, B 之间的部分为 L ,让一把

11、三角尺的直角顶点 P 在xL 上滑动, 两直角边始终与坐标轴平行,且与线段 AB 交于 M , N 两点, 请探究是否存在点 P 使得 MN 1 AB,写出你的探究过程和结论2y A M 11如图,在ABC中,已知O C P N B x ABBCCA4cm,ADBC于 D,点 P、 Q 分别从 BC 两点同时动身, 其中点 P沿 BC向终点 C运动,速度为 1cm/s；点 P 沿 CA、AB向终点 B运动,速度为 2cm/s ,设它们运动的时间为 xs 求 x 为何值时, PQ AC； 设 PQD的面积为 ycm2,当 0x2 时,求 y 与 x 的函数关系式；名师归纳总结 - - - - -

12、 - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 当 0x2 时,求证： AD平分 PQD的面积； 探究以 PQ为直径的圆与AC的位置关系 请写出相应位置关系的x 的取值范畴 不要求写出过程 A12如图1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形QOBPDCABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边 EF的中点 O（点 O也是 BD中点）按顺时针方向旋转名师归纳总结 （1）如图 2,当 EF与 AB相交于点M,GF与 BD相交于点 N时,通过观看或测量BM,FN的长度,猜想BM, FN满意的数量关系,并证明

13、你的猜想；第 9 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）如三角尺 GEF旋转到如图 3 所示的位置时,线段 FE 的延长线与 AB的延长线相交于点 M,线段 BD的延长线与 GF的延长线相交于点 N,此时,（1）中的猜想仍成立吗？如成立,请证明；如不成立,请说明理由D F O CGANFOBNDGOCEFA G （ 1）B E MA（ 3）BME（2）探究型问题答案1解： 1 观看结果是：当45 角的顶点与点C重合,并将这个角围着点C在重合,并将名师归纳总结 这个角围着点C在 DACB内部旋转时, AE EFFB中最

14、长的线段始终是EF；第 10 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2AE EFFB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形,证明如下：2解： 1 如图, 1=2=3, 1+2+3=360 ,所以 31=360 ,即 1=120 所以梯形的上底角均为 120 ,下底角均为 60 3 分2 由于 EF 既是梯形的腰,又是梯形上底,所以梯形的腰等于上底连接 MN,就FMN=FNM=30 从而 HMN=30 , HNM=90 所以 NH= 12AH因此,梯形的上底等于下底的一半,且等于腰长3 能拼出菱形如图： 拼法不唯独 3名师归

15、纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4（ 1）选命题名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：在图1 中,学习必备欢迎下载BON = 60 , CBM +BCN = 60 BCN +ACN = 60 , CBM =ACN. 又 BC = CA , BCM =CAN = 60 , BCM CAN. BM = CN. BNAMCANDABENCDANOEMCDOBOMOB图5MC图2图3图1选命题证明：在图2 中, BON =

16、90 , CBM +BCN = 90 . BCN +DCN = 90 , CBM =DCN. 又 BC = CD , BCM =CDN = 90 , BCM CDN. BM = CN. 选命题证明：在图3 中, BON = 108 , CBM + BCN = 108 BCN +DCN = 108 , CBM =DCN. 又 BC = CD , BCM =CDN = 108 , BCM CDN. BM = CN. （2） 当 BON = n2180时,结论 BM = CN 成立 . n BM = CN 成立 . 名师归纳总结 证明：如图5,连结 BDCE. 第 13 页,共 20 页- - -

17、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在 BCD和 CDE中, BC = CD , BCD = CDE = 108 , CD = DE, BCD CDE. BD = CE , BDC = CED, DBC = ECD. OBC +OCB = 108 , OCB +OCD = 108 , MBC =NCD. 又 DBC = ECD = 36 ,DBM =ECN. BDM ECN. 5解：（1）所画的点P 在 AC上,且不是AC的中点和 AC的端点,（2）画点 B 关于 AC的对称点 B ,延长 D B 交 AC于 P,点 P 为所求；（3）连 P A,

18、PD,P B,PC 和 P D,P B,依据题意,A 1P D A 1P B, D 1P C B 1P C, A P B B 1P C180P 在 AC 上,P 也在 AC 上,在 D P 1 P 和 B 1P P 中,D P 2 1P B P 2 P , D 1P P B 1P 2P ,1P 2P 公共, D P 1 P B 1P P ,所以 D 1P B 1P ,D P B P ,于是 B、D关于 AC对称；设 P 是 1P P 上任一点,连结 PD,PB,由对称性得DPA BPA, DPC BPC,所以点 P 是四边形的半等角点；6解：（ 1） Rt EFGRt ABC ,名师归纳总结

19、- - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - EG AC4FG,4FG学习必备欢迎下载BC8686 3cmFG当 P为 FG的中点时, OP EG ,EG AC ,OP AC x 1 FG 21 31. 5（s）21当 x 为 1. 5s 时, OP AC （2）在 Rt EFG 中,由勾股定理得：EF 5cmEG AH , EFG AFH EG AHEFFG3 （x 5）5AFFH4 AHx553FH4 （ x 5）, FH5 AH过点 O作 ODFP ,垂足为 D 点 O为 EF中点,OD1 EG2cm2FP3x ,S四边形 OAHP

20、 S AFH S OFP名师归纳总结 1AH FH1OD FP ABC面积的比为13 24第 15 页,共 20 页221 24 （x5）53 （x5）51 2 （ 3 x ）26x217x3 （0x3）255（3）假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与就 S四边形 OAHP 13SABC24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载6x217x313168 2552426x285x 2500 解得x15 , x 2 250 （舍去）30x 3,当 x5 （s）时,四边形 2OAHP面积与ABC面积的比为132471 90 2 构造的命题

21、为： 已知等腰梯形ABCD中,AB CD,且 BC=CD,ABC=60 ,如点 EF分别在 BCCD上,且 BE=CF,连结 AFDE相交于 G,就 AGE=120. 证明：由已知,在等腰梯形ADC=C=120. ABCD中, AB CD,且 BC=DA,ABC=60,BC=CD, BE=CF,CE=DF. 在 DCE和 ADF中,DC C CEAD ,ADFDF ,120 , DCE ADFS.A.S., CDE=DAF . 又 DAF+AFD=180- ADC=60, CDE+AFD=60AGE=DGF=180- CDE+AFD=180- 60 =120. 8解：如ABC是锐角三角形,就有

22、a2b2c2如 ABC是钝角三角形,C 为钝角,就有a2b22 c ；当 ABC是锐角三角形时,Ab cCDaB名师归纳总结 证明：过点A作 ADBC,垂足为 D,设 CD为 x ,就有 BD ax第 16 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据勾股定理,得b2x2学习必备2欢迎下载AD2cax 2即b22 xc2a22ax2 x ；a2b2c22axa0,x0, 2 ax0；a22 b2 c ；当 ABC是钝角三角形时,Ab cCaBD名师归纳总结 证明：过 B 作 BDAC,交 AC的延长线于D；a 至少为 10cm（3）等设 CD

23、为 x ,就有BD2a2x2依据勾股定理,得bx 2a2x22 c 即a2b22bx2 c ；b0,x0, 2 bx0,a22 b2 c ；9解：（ 1）重叠部分的面积等于2 3cm （2）等边三角形的边长第 17 页,共 20 页边三角形的边长为212 cm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载k1第 18 页,共 20 页10解：（ 1）A,B在双曲线ymm0上, AC y 轴, BC x轴,xA,B 的坐标分别 ,1m , m ,12又点 A,B 在直线ykx9上,1m2k9,.22mk922解得k4 1,或k1,m.2

24、 4 .m2当k4且m1时,点 A,B 的坐标都是 ,11 ,不合题意,应舍去；当 222且m4时,点 A,B的坐标分别为 ,14 ,81, 符合题意2k1且m4. 2（2）假设存在点P使得MN1AB2AC y 轴, MP y 轴, AC MP ,PMNCAB , RtACB RtMPN , MPMN1, ACAB2设点 P坐标为Px,4（1 x8,就 M点坐标为Mx ,1x9,x22MP1x94. 又AC417,22x221x947,即2x211 x160（ ）22x411 2421670方程（ ）无实数根- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

25、欢迎下载所以不存在点 P使得 MN 1 AB2 Q在 AB上时,明显 PQ不垂直于 AC；11解：当 当,由题意得：BPx,CQ2x,PC4 x,ABBCCA4, C60 0,如 PQAC,就有 QPC30 0, PC2CQ 44x2 2x, x5,4当 x5 Q 在 AC上 时, PQAC； 当 0x 2 时, P 在 BD上, Q在 AC上,过点 Q作 QHBC于 H, C 600,QC 2x, QHQC sin6003x 3 2 x23xABAC,AD BC, BDCD1 2 BC2 3xDP2x, y1 2 PDQH1 2 2 x 当 0x 2 时,在 Rt QHC中, QC2x, C

26、60 0,HCx, BPHC BDCD, DPDH,ADBC,QH BC, AD QH,OPOQ S PDOS DQO,AD平分 PQD的面积； 明显,不存在x 的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离AC相交；当 x4 5或16 5时,以 PQ为直径的圆与AC相切；当 0x4 5或4 5x16 5或16 5 x4 时,以 PQ为直径的圆与12探究（1）a；（ 2）2a；理由：连结 AD, CD=BC,AE=CA,SDAC = SDAE = SABC = a,名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载S2=2a（ 3）6a；发觉 7 应用拓展区域的面积：（7 21） 10=480（m2）1 仿照以上表达,说明什么是一个三角形的“ 友好平行四边形” ；2 如图,如 ABC 为直角三角形,且C=90,在图中画出 ABC 的全部“ 友好矩形” ,并比较这些矩形面积的大小；名师归纳总结 3 如 ABC 是锐角三角形,且BCACAB,在图中画出 ABC 的全部“ 友好矩第 20 页,共 20 页形” ,指出其中周长最小的矩形并加以证明. - - - - - - -