2022年九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题3.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆【学问梳理】1. 圆的有关概念和性质1 圆的有关概念圆:平面上到定点的距离 等于定长的全部点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心,定长为半径弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,小于半圆的弧称为劣弧简称弧,大于半圆的弧称为优弧,弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径(2)圆的有关性质 圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图 形,对称中心为圆心垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧说明:依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具
2、 备:过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所 对的劣弧;上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论;弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“ ” 表示,以 CD 为端点的弧记为“”,读作“ 圆弧 CD” 或“ 弧 CD”;半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆;优弧:大于半圆的弧叫做优弧劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧;为了区分优弧和劣弧,优弧用三个字 母表示; 弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所
3、对的圆 周角是直角; 90” 的圆周角所对的弦是直径等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆;等弧:在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧;圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距. (3)对圆的定义的懂得 :圆是一条封闭曲线,不是圆面;圆由两个条件唯独确定:一是圆心(即定点) 2. 与圆有关的角,二是半径(即定长)(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角;圆心角的度数等于它所对的弧的 度数1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - (2)圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆相
4、交的角,叫圆周角;圆周角的 度数等于它所对的弧的度数的一半(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一 半(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于 3. 点与圆的位置关系及其数量特点:假如圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,就 点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 它相邻内角的对角其中点在圆上的数量特点是重点,它可用来证明如干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等;4. 确定圆的条件 : 1. 懂得确定一个圆必需的具备两个条件 : 圆心和半径 ,圆心打算圆的位置
5、,半径打算圆的大小 . 经过一点可以作很多个圆 ,经过两点也可以作很多个圆 ,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情形 : 1 经过同始终线上的三点不能作圆 . 2经过不在同始终线上的三点 ,能且仅能作一个圆 . 定理: 不在同始终线上的三个点确定一个圆 . 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念 : 1三角形的外接圆和圆的内接三角形 : 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 ,这个三角形叫做圆的内接三角形 . 2三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 . 3三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等 . 5
6、. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义 : 1相交 : 直线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线. 2相切 : 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点 . 3相离 : 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特点 : 设O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为 d;dr 直线 L 和O 相交 . d=r 直线 L 和O 相切 . dr 直线 L 和O 相离 . 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理 :
7、 圆的切线垂直于过切点的半径 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个,可得如下结论 : ,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 .5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念 . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形 . 6. 三角形内心的性质 : 1三角形的内
8、心到三边的距离相等 . ,内切圆的圆心叫做三角形2过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 . 由此性质引出一条重要的帮助线 : 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 . 6. 圆和圆的位置关系 . 1. 外离、外切、相交、内切、内含包括同心圆 这五种位置关系的定义 . 1外离 : 两个圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 ,叫做这两个圆外离 . 2外切 : 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 .这个惟一的公共点叫做切点 . 3相交 : 两个圆有两个公共点 ,此时叫做这个两个圆相交 . 4内切
9、: 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,一个圆上的都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个惟一的公共点叫做切点 . 5内含 : 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内含 .两圆同心是两圆内的一个特例 . 2. 两圆位置关系的性质与判定 : 1两圆外离 dR+r 2两圆外切 d=R+r 3两圆相交 R-rdR+r R r 4两圆内切 d=R-r Rr 5两圆内含 dr 3. 相切两圆的性质 : 假如两个圆相切 ,那么切点肯定在连心线上 . 4. 相交两圆的性质 : 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. ,这. 7. 圆内接四边形如四边形的四
10、个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特点 : 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式 : 圆周长 C=2 R R 表示圆的半径 2. 弧长公式 : 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 弧长lnRR 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 . 1803. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形4. 弓形定义 : . . 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形弧
11、的中点到弦的距离叫做弓形高5. 圆的面积公式 . 圆的面积SR2R 表示圆的半径 6. 扇形的面积公式 : 扇形的面积S扇形n2 RR 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 360弓形的面积公式 :如图 5 OABAOBOAB, S 弓形 图 5 C S 扇形S 三角形CC 1当弓形所含的弧是劣弧时2当弓形所含的弧是优弧时, S 弓形S 扇形S 三角形S 扇形, S 弓形1R23当弓形所含的弧是半圆时24 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题解析【例题 1】如图 1, O是ABC的外接圆, AB 是直径
12、,如BOC80,就AD等于()D30oA60oB50oC40oAOAOCBCB图 1 图 2 图 3 【例题 2】如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 C,如大圆半径为AB 与小圆相切于点10cm,小圆半径为 6cm,就弦 AB 的长为 cm【例题 3】 如图 3, ABC内接于 O,AB=BC,ABC=120 ,AD为 O的直径,AD6,那么 BD_【例题 4】如图 4 已知 O的两条弦 AC,BD相交于点 E, A=70 o,c=50 o,那么 sin AEB的值为() A.1B.3C.2D.32322图 4 【例题 5】 如图 5,半圆的直径AB10,点 C 在半圆上,BC6
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