2022年九年级上册数学二次函数知识点汇总.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点新人教版九年级上二次函数学问点总结学问点一：二次函数的定义1二次函数的定义：一般地,形如yax2bxc （ a, , 是常数,a0）的函数,叫做二次函数其中 a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项学问点二： 二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数ya xh2k 的图象与性质a 的肯定值越大,抛物线的开口越小（1）二次函数基本形式y2 ax 的图象与性质：（2）yax2c 的图象与性质：上加下减名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - -

2、 - - - - （3）ya xh2的图象与性质：学习必备精品学问点左加右减名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）二次函数ya xh2学习必备精品学问点k 的图象与性质3. 二次函数yax2bxc的图像与性质名师归纳总结 （ 1）当a0时,抛物线开口向上,对称轴为bxb,顶点坐标为b,4acab2第 3 页,共 7 页2a2a4当xb时, y 随 x 的增大而减小；当x时, y 随 x 的增大而增大；当xb时,2a2a2ay有最小值4acb2xb,顶点坐标为b,4 ac4ab24 a（2）当a0时,抛物线开口向下,

3、对称轴为2a2a当xb时, y 随 x 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时,2a2a2ay有最大值4acb24 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数yax2bxc 图象的画法ya xh 2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后画精确图五点绘图法（列表-描点 -连线）利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式在对称轴两侧,左右对称地描点画图. y 轴的交点,顶点. 画草图抓住以下几点：开口方向,对称轴,与（2）二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶

4、点式ya xh2k ,确定其顶点坐标h,k；y=ax2+k向右 h0【或左 h0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或下 k0【或下 k0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k平移规律：概括成八个字“ 左加右减,上加下减”（ 3）用待定系数法求二次函数的解析式一般式：. 已知图象上三点或三对、的值,通常挑选一般式. . 顶点式：. 已知图象的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. 交点式：. 已知图象与轴的交点坐标、,通常挑选交点式（ 4）求抛物线的顶点、对称轴的方法名师归纳总结 公式法：yax2bxcaxb24 acb2,顶点是（b,4 ac4ab2）,对称轴第 4 页,共 7 页2 a4 a2

5、a是直线xb. yaxh2k的形式,得到顶点为2a配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 h , k ,对称轴是直线xh. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . （ 5）抛物线 y ax 2 bx c 中,a , b , c 的作用 a 打算开口方向及开口大小,这与 y ax 2中的 a 完全一样 . b和 a 共同打算抛物线对称轴的位置由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故0, c ）,

6、故2a假如b0时,对称轴为y轴；假如b0（即 a 、 b 同号）时,对称轴在y 轴左侧；a假如b0（即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 .a c的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置当x0时,yc,所以抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（假如c0,抛物线经过原点；假如c0, 与 y 轴交于正半轴；假如c0, 与 y 轴交于负半轴 . 学问点三：二次函数与一元二次方程的关系5. 函数yax2bxc,当y0时,得到一元二次方程ax2bxc0,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x 轴的交点情形打算一元二次方程根的情形.x

7、轴有两个交点,这时,就方程有两个不相等实根；1 当二次函数的图象与2 当二次函数的图象与3 当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点,这时,就方程有两个相等实根；x 轴没有交点,这时,就方程没有实根.通过下面表格可以直观地观看到二次函数图象和一元二次方程的关系：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点的图象方程有两个相等实数解 方程有两个不等实数解 方程没有实数解 的解6. 拓展：关于直线与抛物线的交点学问（1） y 轴与抛物线yax2bxc得交点为 0, c .ax2bxc有 且 只 有 一 个 交

8、点xh与 抛 物 线y（ 2 ） 与 y 轴 平 行 的 直 线 h ,ah2bhc. （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数y2ax2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,是对应一元 2二次方程axbxc0的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐名师归纳总结 标相等,

9、设纵坐标为k ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根 . 0的图像 G 的第 6 页,共 7 页（ 5）一次函数ykxnk0的图像 l 与二次函数yax2bxca交点,由方程组ykxnc的解的数目来确定：y2 axbx方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 . ycax2bxc与 x 轴两交点为a（ 6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线Ax1,0,Bx2,0,由于x 、x 是方程 2ax2bx0的两个根

10、,故x 1x 2b,x 1x 2caaABx 1x 2x 1x 22x 1x 224x 1x 2b24 cb24acaaa学问点四：利用二次函数解决实际问题7. 利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去讨论问题 . 在讨论实际问题时要留意自变量的取值范畴应具有实际意义 . 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：1 建立适当的平面直角坐标系；2 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；3 用待定系数法求出抛物线的关系式；名师归纳总结 4 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 第 7 页,共 7 页- - - - - - -