2022年中考解直角三角形知识点整理复习2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中, 30 角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为 形两直角边的平方和等于斜边的平方BA弦cb股a勾Ca,b,斜边长为 c,那么 a2b2c2. 即直角三角勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长 角形；考点二、直角三角形的判定a,b,c 有下面关系： a2b2c2,那么这个三角形是直角三1、有一个

2、角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理的逆定理： 假如三角形的三边长 a、b、c 满意 a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形； （经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判定三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c）；（2）如 c2a2b2,就 ABC 是以 C 为直角的三角形；如 a2b2c2,就此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；如 a2b2c2,就此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边

3、求第三边；（2）已知直角三角形的一边,求另两边的关系；（3）用于证明线段平方关系的问题；（4）利用勾股定理,作出长为n 的线段sinAA的对边a考点三、锐角三角函数的概念A 的正弦,记为 sinA ,即1、如图,在ABC中, C=90锐角 A的对边与斜边的比叫做斜边c锐角 A的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记为 cosA,即cosAA的邻边b斜边c锐角 A的对边与邻边的比叫做A 的正切,记为 tanA,即tanAA的对边aA的邻边b1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 锐角 A的邻边与对边的比叫做A 的余切,记为 c

4、otA,即cotAA的邻边bA的对边a2、锐角三角函数的概念 锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数 3、一些特别角的三角函数值三角函数 30 45 60 sin 123222cos321222tan31 33cot31 334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA=cos90 A,cosA=sin90 A ；（2）平方关系：sin2Acos2A1（3）倒数关系： tanA .tan90 A=1 （4）商（弦切）关系： tanA=sinAcosA5、锐角三角函数的增减性当角度在 090之间变化时,（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值

5、随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大 （或减小） 而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大 （或 减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出全部未知元素的过程叫做解直角三角形；2、解直角三角形的理论依据 在 Rt ABC 中, C=90 , A,B, C 所对的边分别为a,b,c （1）三边之间的关系：a2b2c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系： A+B=90（3）边角之间的关系：正弦sin ,余弦 cos,正切 tan 2 名师归纳总

6、结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 面积公式：（hc 为 c 边上的高）考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何学问综合求解2、仰角、俯角、 坡面 学问点及应用举例：1仰角 ：视线在水平线上方的角；铅垂线视线俯角 ：视线在水平线下方的角；仰角水平线hih:lih l；坡度一般写成 1: m俯角视线l2坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做 坡度 坡比 ；用字母 i 表示,即的形式,如i1:5等；把坡面与水平面的夹角记作叫做 坡角 ,那么ihtan；l3、从某点的指北方向按顺

7、时针转到目标方向的水平角,叫做方位角；如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是： 45 、 135 、 225 ；解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法已知条件解法步骤三角 类型Rt ABC 两两直角边（如 a,b）由 tan A a b,求 A； B 90 A, c2 ab2B 边斜边,始终角边（如 c,a）由 Sin Aa c,求 A；B90 A,bc2-2 a c 一锐角,邻边B90 A,abSin A ,cb cosAcosA a边一角边（如 A,b）3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - -

8、 - - - - - - A b一和锐角,对边B90 A,ba tanA,ca sinAcos A C 角一锐角（如 A,a）B90 A,acSin A , b c斜边,锐角（如 c, A）2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用应测数据tan 数量关系2依据工具 、 、x1,tan x原理侧倾直角器水平距离 a 三角皮尺形的边角x1 x2 a atan tanx关系tan tantan ax tan a x atan tan tan tan2 测量底部可以到达的物体的高度a1a2数学模型3h 所用应测数据数量关系a 1a 3依据镜子工具目高 a1h a 3a ,

9、ha 2原理皮尺反射a 2镜子水平距离定律aa2水平距离 a3 h a31aa2皮尺标杆高 a1 h a 1a ,h a 2a 1a 3同一时刻物高与影长成正比a 2标杆标杆影长a2物体影长 a3 a1a21hh 皮尺侧倾器高tan haa 1, 矩形的性质和直角三角形的边角a1 2关系水平距离ha1a2tan a2 侧倾倾斜角4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 器ah 2h 仰角tan h , tan a 1h 2矩形的性质和直角三角形的边角a 1俯角关系1水平距离hh1 h2a1（ tan tan依据a1 ）3

10、）测量底部不行到达的物体的高度（1）数量关系数学模型所用应测数据工具tan h1,tan a理论1hxx矩形的性质和h 仰角俯角h ah1 atan tanaa1 x 高度 a 皮尺直角三角形的侧倾tan tan 边角关系器tan ah x, tan aa 俯角 俯角x x ah tan a hax h 高度tanatan tan测量底部不行到达的物体的高度（2）A a数字模型1hh 所用应测距离数量关系 h1依据工具仰角 ,tan h 1x tan原理a 1x h1a1tantantantan仰角a2水平距离ha2h1a2a 1tantan1x a1 tantan侧倾器高a2 a x h 1

11、h 皮尺仰角tan h x, tan ha矩形的性第 5 页,共 9 页侧倾器质和直角htan tan tan三角形的仰角边角关系5 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高度 a tan h x , tan ha x、 h tantan tana x h 仰角tan h x, tan ah x仰角高度 a htantab tan第三部分真题分类汇编详解2007-2022 （2007）19（本小题满分 6 分）一艘轮船自西向东航行, 在 A 处测得东偏北 21. 3 方向有一座小岛 C,连续向东航行 60 海里到达 B 处,测得小岛 C 此时

12、在轮船的东偏北63. 5 方向上 之后,轮船连续向东航行多少海里,距离小岛C 最近？（参考数据： sin21. 3 9 25,tan21. 3 2 5, sin63. 5 9 10,tan63. 5 2）北ABC东（2022） 19（本小题满分 6 分）在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如下列图,其中,AB 表示窗户,且 AB 2 米, BCD表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角 为18.6 o,最大夹角 为 64.5 o请你依据以上数据,帮忙小明同学运算出遮阳蓬中 CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：

13、 sin18.6o0.32, tan18.6o0.34, sin 64.5o0.90, tan 64.5 o2.1）DC B 名师归纳总结 A 6 F G E D 第 6 页,共 9 页A B - - - - - - -第 19 题图精选学习资料 - - - - - - - - - （2022）19（本小题满分 6 分）在一次数学活动课上, 老师带领同学们去测量一座古塔 CD 的高度 他们第一从 A 处安置测倾器,测得塔顶 C 的仰角 CFE 21 ,然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处,此时测得仰角 CGE 37,已知测倾器高 1.5 米,请你依据以上数据运算出古塔 CD 的高度（参考数

14、据：sin37 3,tan 373,sin 21 9,tan 21 3）5 4 25 8（2022）19（本小题满分 6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB,AB 80 米为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37 ,大厦底部 B 的俯角为48 求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD的长度（结果保留整数）（参考数据：sin37o3,tan37o3,sin 48o7,o tan4811）A 541010解：C 37D 48B 第 19 题图（2022）196 分 某商场预备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由A 原先的 40o 减至 35o已

15、知原楼梯AB长为 5m,调整后的楼梯所占地面CD 有多长？ 结果精确到0.1m参考数据： sin40 o 0.64 ,cos40oC 35o40oD 0.77 ,sin35 o0.57 ,tan35 o0.70 B （2022） 20. （8 分）7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 附历年真题标准答案：（2007）19（本小题满分 6 分）解：过 C 作 AB 的垂线,交直线 设 BD x 海里,AB 于点 D,得到 Rt ACD 与 Rt BCD C 在 Rt BCD 中, tanCBD CD BD, CDx t

16、an63.5 D x 解得, x15在 Rt ACD 中, AD AB BD60 x海里, tanACD AD,B 60CD 60x tan21.3 xtan63.5 60x tan21.3 ,即2x25答：轮船连续向东航行15 海里,距离小岛 C 最近 6（2022） 19（本小题满分 6 分）解：设 CD为 x ,在 Rt BCD中,BDC186.,AC tan221.xC tanBDCtanBDCBC,BCCD0. 34 xCD在 Rt ACD中,ADC64.5, tanADC,ACCDADCCDABACBC,21.2x.0 34xx 1.14答： CD长约为 1.14 米（2022）1

17、9（本小题满分 6 分）解：由题意知 CDAD, EFAD,G E D CEF90 ,设 CEx ,CE,就EFCEx8 x；34 x3F 在 RtCEF中, tanCFEEFtanCFE CEtan21xA B 在 RtCEG中, tanCGECE,就GE第 19 题图GEtanCGEtan37第 8 页,共 9 页 EFFGEG ,8 3x504xx37.5,CDCEED37.5 1.539（米）3答：古塔的高度约是39 米 6 分（2022） 19（本小题满分 6 分）A 解：设 CD = x在 Rt ACD中, tan37AD CD,8 37D C 48名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就3 4AD x,AD3x . 分4在 Rt BCD中,tan48 = BD,CD就11 10BD x,BD11x . 410ADBD = AB,3 4x11x8010解得： x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离（2022） 19（本小题满分 6 分）（2022） 20. （8 分）CD大约是 43 米 6 分9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页