2022年习题答案复变函数与积分变换.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第一章1-11-2（1）zz3i5,z34; z1z2z1z2z1z2222（2）z7i 13,z529; 22（3）z3i4,z10; （4）z1,z1; 1,yx11. 1-3为实数的充要条件是12 z即1-4zz1zz0. 2k; ; ; 12；证明略1-5（1）icos2isin2,ii e2,i1,Argi21; （ 2）1cosisin,1i e,Arg12k3 1i32, arg 1i33,Arg1i332 k1-64 1cosisin2sin2sin2icos22sin2i e225 z1i,z2, arg

2、z4. 3ab由设知,z 21, argz 22；所以,z2iz ；故有z 1z 11-7（1）163i；（2）8i ；i1；（ 3）3i1,i,3i1,3i1,i,31-822222222z 11i3,z 22,z 31i3；1-92cosn1-10 证明略名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1-11 证明略 1-12 （1） a,b 连线的垂直平分线；（2）x12y21 16；4（3）等轴双曲线2xy2 a ,（4）双曲线xy2a21-13 略1-14x0,x2y21,x12y22,无界的单

3、连通区域；v01-15 （1）w1 2；（2） uv ；（3）去掉原点（ 0,0）的直线4 w11 2; （5）u1221-16 （1）w 1i,w 222 ,w 38 i（2）0argw1-17 证明略 1-18 证明略其次章2-1（1）在 z=0 点可微,f0uiiv0x 0,y 0处,xx0,0（2）在直线2x3y 和直线2x3y 上可微,在可微点fz 0uv62 x 0；xxx 0,y 0（3）-（6）略；名师归纳总结 2-2fiw2i,伸缩率fi2 i ,旋转角是2； 把过 zi 平行于实轴的正向,映第 2 页,共 13 页；为 w 平面上过1点,且指向虚轴的正向；2-3（1）,（2

4、）均到处不解析；2-4证明略,fzuiv3x23y2i xyxx2-5应用可微函数判别定理证明,下半平面的任一点都是fz 的可微点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2-6证明略优秀学习资料欢迎下载名师归纳总结 2-7（1）fzx33 x y 23xy 2y3i3 x y 23 xy2y3x 3ncc,有第 3 页,共 13 页（2）fz1 ln 22 x2 yiarctanyclnziczx2-8u,v 不 满 足CR 方 程2-9（1）至 （3）均正确；2-10 （1）z1 2 2k1i1k15k0, 1, 2,.；（2）z2 k 14iln21k

5、 10, 1, 2,.,z2k24iln21k20, 1, 2,.；2-11 （1）1ee1cos1i1ee1sin1ch1cos1ish1sin122；0,0（2）sin6ish22 22 ch 1 sin 3；2-12 （1）1i；（2）2 ；（ 3）2 R ；22-13 （1）92i（2）95i ；2-14 （1）i ；（2）i；2-158；z11dz2iC:z122-16不都为 0,例如C；2-17（1）0；（2）0；（3）0；（4）0；2-18（1）0；（2）0；（3）0；（4）；2-19考察函数fzz2；2-20由推广的柯西积分定理知,存在适当小的正数0,使对任一fz dzfz d

6、zfz dzLz z 00z z 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2-21（1）0；（2）i ；优秀学习资料1；欢迎下载i；（3）e（4）41名师归纳总结 2-22（5）0；（6）2i（7）i ee15e1i ；第 4 页,共 13 页2证明略2-23利用柯西公式；2-24（1）0； （2）6 i ；（3）i e 2e1；（4）22-25（5）0（n1或n100）； （6）1100n2i1000n100；n由设可推出,fz 在 L 上及其内恒不为0；2-26证明略R , Rz 0；2-27由最大模原理推出；2-28应用柯西不等式；2-29证明略（1

7、）z1; （2）x；（3）z1；2-30（1）R1,zi1；（2）R2,z22-31（3）R,z（4 Re ,ze由于k1k z c zk的收敛半径是Rz ,故级数的收敛半径rmin2-32（1）z2, tanzz1 3z32z5；2-33152-34（2）z1,sin 1z1sin1cos1zcos11sin12 z25cos1 6sin13 z（3）z1,fze1z2 3 z2.3 13 z3.；z1,fz11k12k z（1）k1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - z12,fz优秀学习资料z欢迎下载1k12k1k；（2）z,1kk11 .1z4k

8、2；3k i zksinz2k12 k（3）z1,i 21i 2z1 32 kk21zi2 42 k（ 4）zii1 2ziizi31,lnz2ii z3第三章名师归纳总结 3-1 （ 1 ） 不 解 析 点 是zi,zi, ,z2； 它 们 的 解 析 领 域 分 别 是第 5 页,共 13 页0zi2内,zi2, 0zi2, 0z25,；在 01k1fz214i1z1ik015 21ik1zik,24 i2 ik50在 0zi2内1k1k15 21ik1zik,fz214 i1z1ik524 i2i在 0z25内11k221ik2z2k；fz1z12k01k152i2i（2）在 0zaab

9、 内k01k1a1k2zakfza1b z1ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 0zbba 内优秀学习资料欢迎下载名师归纳总结 3-2fzb1a z1bk01k112zak第 6 页,共 13 页abk（3）在 0z1内fzi1k0ikik1zk在 0zi1 内2 zzfzz1k0ik1k2zi（4）在 0z1内,1k1fzk01k1k.z1k（1）在 0z11内,z1kfzz112k0在1z1内fzz112kz10在 0z21fzz22k01kz2k在1z2内fzz12k01kz2k（2）在 0z1内2k2fzk0ezk.- - - - - -

10、 -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）在 0z内优秀学习资料欢迎下载名师归纳总结 （4）在 0fz1k1.11zk34z2k3第 7 页,共 13 页2kz 2kz内k0fz1k1211 .z2k1kk k121kk0（5） 在 0z2内1fz8zk3k2在 2z内1k2k1k1k21fzk z4k0在 0z22内11k1fz2123228z20k 2z4z在 2z2内fz2kz1k（6）在 0z1内k0z2k411k0zkfz2 zfzzzk3在1z内在 0z11内k011k1k2fzz1k0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在

11、1z1内优秀学习资料欢迎下载名师归纳总结 3-3fz1kk1z1k3第 8 页,共 13 页k0（ 1）z1三级极点；（2）zkk0, 1, 2,一级极点；3-4（3）z=2 可去奇点；（ 4）z=0,本性奇点；（ 5）z=0,本性奇点；（ 1）z2 i ,二级极点；3-5（2）z2k i k0, 1, 2,一级极点；（3）z=0,可去奇点；（4）z=0,可去奇点；（5）z=0,本性奇点；（6）z=0,本性奇点；（ 1）点不是孤立奇点；（2）点不是孤立奇点；3-6（3）点不是孤立奇点；（4）点是一级级点；（5）点是一级级点；（5）点是可去奇点；（7）点是本性奇点；（ 1）在z6内,fz6z6k

12、26k1zkk1z点是一级极点；（2）在z0内fzz1 11 13.z5.3 zz点是一级极点；（3）在z2内fzk 21zk1k0z点是可去奇点；（4）在z0内fz111k31zk23-7z2z2.k.z点是本性奇点；（ 1） Resf,00；（2） Resf,00；（3）Resf,274,Resf, 214- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4） Resf aieai2 ai优秀学习资料欢迎下载, Resf,aieai2ai；名师归纳总结 （5）Resf,245, Resf i12 10, Resf,i12 10；第 9 页,共 13 页（6） R

13、esf n1；（7 ） Resf z ke z t k,z k2k12k0, 1, 2,（8）Resf z kz k2 ,z ke2k1i2nk0, 1, 2,（9） Resf, 58 25, Resf,08 25；（10） Resf,01 8, Resf, 21 8；（11）Resf, 11n12 n.n1 .n1 .；（12）Resf,01n1n1 .；（13） Resf,01 6；（14） Resf,11；（15） Resf,05 6；（16） Resf,11；（17） Resf, 1cos1；3-8（1）n0时,Resf,01nkn01k1,k.ne；1en0时,Resf,01n1e,

14、 Resf, 11（2）n0时,Resf,01nkn01k,k.n1kn0时, Resf,0；3-9（ 1）0；（2） 2 i ；（3）i2；（4）1n2ik0k.e3-10（1） 83 ；（2）2a21；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）2aa21优秀学习资料a2欢迎下载； （4）213 2；3-11证明略e4 4；（2）e4 8；b24 e ；3-12（1）（3）2e4；（4） 2 e3（5）；aembbema2ab a2（6）2 ma1e2ma43 a；第四章（答案略）第五章5-1在映射w2 z 下,原区域被映成：以原点为中心,R 为半径的

15、圆域z2 R 除去线段1,0 后的那一部分区域；5-2 在映射 w i下,原带域被映成带域 0 Re w 1, Im w 0；z5-3 w z i iz 1；5-4 w z z 0 R；5-5 所求映射是映射 1z iz 和映射 w z 1 i z 1 i 的迭合,即 w z 1 z 1；5-6 所求映射,或者是 w z 1,或者是 w z a 1, 1；z 15-7 如所求的映射是 w az b cz d,依据实轴变实轴的要求知,a, b, c, d 必为实数；依据 Im w i 0 可知 Im ai b ad2 bc2 0；于是,当 a, b, c, d 为实数,且 ad bc 0ci d

16、 c d时,上述的映射就是所求映射的一般形式；名师归纳总结 5-8所用映射的一般公式是iz ez0, Im2 i0；2；第 10 页,共 13 页w由f2 i0知,2i ；由f2 i知,2argf2 i0,argf所求映射wi z2 iz2 i；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5-9把 G 映成域D:w1, 0优秀学习资料欢迎下载4 z 是 G 内的单叶解析映射,所argw2；由于映射w以是 G 内的保形映射；5-10不能；第一,映射 wz 在 z 平面上割破负实轴后才有意义；其次,根式映射 wz有把角域缩小的作用,但是z1不是角域；5-11（1）映

17、成角域：arg w；当0,2时,映像是 w 平面割破实半轴的区域；（2）映成区域：w0, 0argw；当2时,映像是单位圆外w1 去掉实正轴上的点后的那一部分区域；5-12（1）留意到 A 3 i , B 3 i ；并用映射 1z z A z B 把原象映成角域,选 使得 0, i 映成 1, 0 ；于是映射 1z z A z B 就把原象映成以原点为3顶点,正实轴为一边,夹角为 的角域；在用映射 w z 1 3 z 3 i 就把原象映为3 z 3 iIm w 0 了；（ 2）A 2 i 2, B 2 i 2；映射z 1 i z A z B i z 2 i 2 z 2 i 2把原象映为以原点为

18、顶点,正实轴为一角边,夹角为 的角域,点 z 2 2 映为点 z 1 1；44再用映射 w z 1 4z 2 i 2 z 2 i 2 就把所论区域映为 Im w 0 了；4 4（3）映射 1z z 把原象放大 4 倍映成上半圆域 G 1 : z 1 2 , Im z 1 0；再用映射4 4z 2 z 1 2 z 1 2 把 G 映成 G 2 : Re z 2 0, Im z 2 0,并把点 z 1 0 映成 z 2 1；2于是映射 w z 就把 G 映为 Im w 0；它们的迭合映射就把原象映成上半平面 Im w 0了；名师归纳总结 （4）在映射1zz 下,原象被映成G 1:z 1w1, 0z

19、argz 1；映射wz 112；第 11 页,共 13 页z 11把G 映成 w 的上半平面Imw0；从而映射12把原象映成w 的上半平面z1Imw0；（5）所求映射为w2 eizz2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第六章6-1GA1ej；3coscostd,j6-2 （1）f t4sin0（2）f t21cossintd0名师归纳总结 6-3G22；s12；第 12 页,共 13 页26-4f t1u1tu1t1；26-5f tcos0 t ；6-6Gcosacosa；26-7 （1）F sz1；（2）F s2 4 s（3）

20、F s1；2；（4）F sz；3 s2 s4 s（5）k（6）2；F sF s2 sk2 sk6-8F s1 3 s4 e2se4s；6-9Lft1e12 s1；s6-10（1）Lf t1bss1bbs2 se（2）Lf t2 s11cths了；2（3 Lft1 th sbs；26-11（1）F s1 2 2 s 2s3 s2；（2）F s2 ss4s35；1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）F s2 sa22；优秀学习资料欢迎下载s2a2名师归纳总结 6-12（4）F sts636；第 13 页,共 13 页22（5）F s1e5s；3s（6）

21、F s1 s；（7）F s2 s22；s s4（1）f t1 sin 2 t ；2（ 2）13 t ；6（3）13 t e；（4）f te3t66-132cos3 tsin3t ；（6）f t33 te1et；（5）f t22（7）f t1 3 e 25t2 e3 t8）f t2 e2tcos3 t1e2 tsin3 t3LftAths；s26-14Lft1；s sh s1 sin ata；6-15（1）f t（2）ftca2eatcbtac2ebt；6-16baabab（3）f t13cos at11t2；4 a122 a（4）f tsh atsinat；2 a（5）f tsh ttt2 e2t； （2）ft1sint1sin 2 t ；（1）f t36（3）f t2 1tcht；（4）ft1etsinttcost；2- - - - - - -