2022年初三数学圆知识点总结与典型习题精练 .pdf

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1、圆一） 【圆的定义及与圆相关的定义】在一个平面内， 一条线段 OA 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，这个线段 OA 叫做半径，以点 O 为圆心的圆，记作，读作“圆 O ” 。圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴。例1.如图，将半径为1 的圆的边上的A 点与数轴的原点重合，然后沿着数轴向右滚动，滚动一周得到点A，则点 A表示的数为 _弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示。二） 【圆的确定】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

2、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三） 【垂径定理及其应用】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等2.对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：（1）过圆心；（2）垂直于弦；

3、（3）平分弦（直径） ；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧，简记为“知二推三”。3.在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距 d（圆心到弦的距离） 、半径 r 及弓形高h（弦所对的弧的中点到弦中点的距离）这四者的关系，它们的关系为r2=d2+(a/2)2，r=d+h。例 2： 如图，O 的直径 AB垂直于弦 CD， 垂足为 E， 若 COD=120， OE=3厘米，则 OD=_: 例 3：如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12 米，拱高 CD=4米，则拱桥的半径为() A.6.5 米 B.9米 C.13米 D.15米例 4： 等腰 ABC的三个顶点都在O 上，底边 BC=8cm， O 半

4、径为 5cm，求 SABC分为两种情况：如图1，当O 在 ABC 外部时，连接AO，交BC 于D，连接OB， O 是 ABC的外接圆， AB=AC ，AOBC，BD=CD=218cm=4cm，在 RtOBD中，由勾股定理得：OD=34522（cm） ，AD=AO-OD=5cm-3cm=2cm，SABC=21BCAD=218cm2cm=8cm2；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 如图 2，当 O 在ABC内部时，连接

5、AO，交 BC于 D，连接 OB，AD=AO+OD=5cm+3cm=8cm，SABC=21BCAD=218cm8cm=32cm2 四） 【弧、弦、圆心角之间的关系】1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。例 5：如图， OABC， AOB=70，则 AOC的度数为 _， ADC的度数为 _例 6： 如图， AB 是O 的直径， C、D 是弧 BE的两个等分点，COD=35，则 AOE的度数为 _度五） 【圆周角定理及推论】1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧

6、或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例 7：如图，点A、B、C、D 在 O 上，若 BDC=30 ，则 BAC=() 度例 8：如图， ABC内接于 O，C=40，则 ABO=_度例 9：如图，已知ABC内

7、接于 O， C=45，AB=4，则 O 的半径为 () 六） 【点和圆的位置关系】设 O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有： dr，点 P在 O 外。例 10：在直角三角形ABC中， C=90 ， AC=3 ，AB=5 若以点C 为圆心，画一个半径为3的圆，则点A，点 B和 C的相互位置关系为()A.点 A，点 B均在 C内 B.点 A，点 B均在 C外C.点 A，点 B均在 C上 D.点 A在 C上，点 B在 C外例 11：如图，在RtABC中 ACB=90 ， AC=6 ，CB=8 ，CD是斜边 AB上的中线，以AC为直径作 O ，设线段 CD的中点为P ，则点 P与

8、O的位置关系是 _七） 【直线与圆的位置关系】直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 直线 l 与 O

9、相交dr 如何判断直线与圆的关系：方法方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系 . 0，直线和圆相交. =0 ，直线和圆相切. 0，直线和圆相离. 方法是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径 R 的大小加以比较. dR，直线和圆相交. d=R，直线和圆相切. dR，直线和圆相离. 八） 【圆和圆的位置关系】1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、

10、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和 r ，圆心距为d，那么两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdr）两圆内含dr) 4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切， 那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。九） 【相交弦定理】1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）。2.相交弦定理说明：若弦AB、CD交于点 P，则 PA PB=PC PD。例 12：如图， O 中弦 AB，CD相交于点 P，已知 AP=3，BP=2 ，CP=

11、1 ，则 DP=() 例 13： 如图点 P为弦 AB上一点，连接OP，过 P作 PC PO，PC交 O 于点 C，若 AP=4，PB=2，则 PC的长为 _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 十） 【切线及切线长】切线的判定和性质1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。在应用判定定理时注意：线必须满足两个条件：a、经过半径的外端； b

12、、垂直于这条半径， 否则就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切” 这个结论直接得出来的在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。切线长定理1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平

13、分两条切线的夹角。十一）【三角形的外接圆与外心】1.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。2.三角形的外心是什么：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。3.三角形的外接圆与外心的性质：（1）三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径；（2）一个三角形有且只有一个外接圆；（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。例 14：如图， O 是 ABC的外接圆，已知B=60，则 CAO的度数是 =_度例 15：如图， O 是 ABC的外接圆， C=30， A

14、B=2cm，则 O 的半径为 _cm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 作直径 AD，连接 BD，得：ABD=90， D=C=30， AD=4，即圆的半径是2十二）【圆内接四边形】1.圆内接四边形的定义：如果一个多边形的所有定点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。例 16：已知如图，在圆内接四边形ABCD中， B=30，则 D=_例

15、 17： 如图，四边形ABCD内接于 O，如果它的一个外角DCE=64 ，那么 BOD=() 例 18：如图，已知O 中， AOB 的度数为 80，C 是圆周上一点，则ACB的度数为 () 十三 ) 【正多边形和圆的相关概念】一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 十四）【弧长的计算】弧长的计算在半径是的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就是圆的周长，所以n的圆心角所对的弧长为。1.这里的，180 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位；2.在弧长的计算公式中，已知中任意的两个量，都可以求出第三个量；3.应区分弧、弧长、弧的度数这三个概念，度数相等的弧，其弧长不一定相等，弧长相等的弧，也不一定是等弧。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -