2022年九年级数学下例说用二次函数求图形面积的最值知识点分析人教版3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 例说用二次函数求图形面积的最值二次函数常用来解决最优化问题这类问题；而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷；下面分类予以说明；一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图 1,用长为18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃；（1）设矩形的一边长为x（米）,面积为 y（平方米）,求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时,所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？81分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽；解：（1）设矩形的长为x（米）,就宽为（ 18- x ）（米）,依据题意,得：yx 18x

2、x218x；又x0, 00x1818x（2）yx 18x x218 x中, a= -1 0, y 有最大值,即当xb2181 9时,ymax4 acab202 182a441 故当 x=9 米时,苗圃的面积最大,最大面积为81 平方米；点评：在回扣问题实际时,肯定留意不要遗漏了单位；2、 只围三边的矩形的面积最值例2、如图 2,用长为50 米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙；问如何围,才能使养鸡场的面积最大？分析： 关键是明确问题中的变量是哪两个,并能精确布列出函数关系式x ）解：设养鸡场的长为x（米）,面积为y（平方米）,就宽为（502（米）,名师归纳总结 依据题意,得：yx502xx

3、1x225x；第 1 页,共 7 页2x0, 00x50中, a=1 20, y 有最大值,又50x21x225yx502x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即当xb2251 225时,ymax4acb202526252a4 a4122故当 x=25 米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为625 平方米；2点评：假如设养鸡场的宽为 3、 围成正方形的面积最值x,上述函数关系式如何变化？请读者自己完成；例 3、将一条长为 20cm的铁丝剪成两段, 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于 17cm 2,那么这段铁丝

4、剪成两段后的长度分别是多少 . 2两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗. 如能,求出两段铁丝的长度；如不能,请说明理由（1）解：设剪成两段后其中一段为 xcm,就另一段为（20-x ） cm 由题意得： x 2 20 x 2 174 4解得：x 1 16 , x 2 4当 1x 16 时, 20-x=4 ；当 x 2 4 时, 20-x=16 答： 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 16 厘米、 4 厘米；（2）不能理由是：设第一个正方形的边长为xcm,就其次个正方形的边长为2044x5xcm,围成两个正方形的面积为ycm 2,25 2=12.5依据题意,得：yx2 5x 22x210x2

5、5,yx2 5x22x210x25中, a= 2 0, y 有最小值,即当xb2105时,ymin4 acab2424251022a224212, 故两个正方形面积的和不行能是12cm 2.4、 围成扇形的面积最值名师归纳总结 例 4 用长为 30 米的铁丝围成一个扇形, 问如何围扇形的面积最大. 第 2 页,共 7 页解: 如图 3,设围成扇形的半径为R 米, 就围成扇形的弧长为30-2R 米, 扇形的面积为y（平方米） , 依据题意,得：y1lR1302R RR215R22y1lR1302RRR215R中,22a= -1 0, y 有最大值,- - - - - - -精选学习资料 - -

6、- - - - - - - 即当Rb2151 15时,ymax4 acb2015 22252a24 a414故当围成的扇形的半径R是15 米时,扇形的面积最大,最大面积为 2225 平方米；4二、截出图形面积的最值问题例 5 如图 4, ABC是一块锐角三角形的余料, 边 BC=120mm,高 AD=80mm,要把它加工成长方形零件 PQMN ,使长方形 PQMN的边 QM在 BC上, 其余两点 P、N在 AB、AC上；（1）问如何截才能使长方形 PQMN的面积 S最大？（2）在这个长方形零件 PQMN面积最大时, 能否将余下的材料APN、 BPQ NMC 剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个

7、与长方形零件 PQMN大小一样的长方形？如能,给出一种拼法；如不能,试说明理由；分析：解题的关键是利用几何学问求得函数关系式,再利用函数的性质加以解决问题；解：（1）设长方形零件 PQMN的边 PN=a mm,PQ=x mm,就 AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x ）mm,PN BC APN ABC,PN AE（相像三角形的对应高的比等于相像比）BC ADa 80 x, 解得：a 120 3 x,x0, 0 x80 120 x 2 80 x0S= a x x（120 3 x）3 x 2 120 x（ 0x80）2 2S= a x x（120 3 x）3 x 2 120 x（ 0x80）

8、中, a= 30, S 有最大值,2 2 22 2即当 x b 120 40 时,s max 4 ac b 0 12024002a 2 3 4 a 4 32 2故当截得的长方形零件 PQMN的长为 60 mm,宽为 40 mm 时,长方形零件 PQMN的面积最大,最大面积为 2400mm 2；点评：长方形零件 PQMN的面积最大时,PN恰好是三角形的中位线；（2）能；理由是：sABC1120804800,长方形零件的最大面2余料的面积也是2400,所以从理论上说,仍大小一样的长方形；拼法：1、 作 ABC的中位线 PN,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料

9、 - - - - - - - - - 2、 分别过 P、N两点作 BC的垂线,垂足分别为 Q、M,3、 过 A 作 BC的平行线,分别交 QP、MN的延长线于 G、H两点因此,四边形 PNGH即为和长方形 PQMN大小一样的长方形；例 6 如图 6,在直角梯形 ABCD中, A= D=90 ,截取 AE=BF=DG =x,已知 AB=6,CD=3,AD=4；求：（1）四边形 CGEF的面积 S 与 x 之间的函数关系式；（2）四边形 CGEF的面积 S是否存在着最小值？如存在,求出最小值；如不存在,请说明理由；解：（1）梯形 ABCD的面积为 =136 4=18,2S AEF=1 AE AF=

10、 21 x（6-x ） =3x-21 x 22；S DGE= 1 DE DG= 1 x（4-x ） =2x-2 21 x 22；S BCF=1 BF DA= 21 x 4=2x；2所以, S=18-（3x-1 x 2）- （ 2x-2 =x 2-7x+18 ；1 x 22）-2x 由于： GC0、DE0、AF0,所以 6-x 0、3-x 0、 4-x 0、x0 所以 0 x3 因此自变量x 的取值范畴是：0x 3；x 的取值（2）由于 S =x2-7x+18= （x-7 ）22+23 ,故当 x= 47 时,面积有最小值,而自变量 2范畴是： 0 x3,所以 x=三、采光面积的最值7 根本不在

11、这个范畴内,因此面积不存在最小值；2例 7 用 19 米长的铝合金条制成如下列图的矩形的窗框；（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；（2）求自变量 x 的取值范畴；（3）问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？分析：关键是用含 x 的代数式表示出 BC的长；解： 1 由图示的信息,可得：3BC+2 0.5+3 x=19, 所以 , BC=6 x, 所以 AC=AB+BC=6 x+0.5 米 , 名师归纳总结 所以 , S=6 x+0.5 x= -x2+13 x; 20x6, 第 4 页,共 7 页2 由题意 , 得:x 0,6-x 0, 所以

12、0x 6, 因此自变量x 的取值范畴是：（3） S=6 x+0.5 x= -x2+13 x 中, a= -1 0, S 有最大值,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即当xb2131 13时,S max4 acab20132169222a4441 16故当 x=13 米时,窗框的面积最大,最大面积为 4169 平方米；16四、动态图形面积的最值例 8 如图 8,如图 9,在平行四边形ABCD中, AD=4 cm, A=60 , BDAD. 一动点 P从 A 动身,以每秒1 cm 的速度沿 AB C的路线匀速运动,过点P作直线 PM,使 PMAD . 1

13、 当点 P运动 2 秒时,设直线 的面积；PM与 AD相交于点 E,求 APE2 当点 P 运动 2 秒时,另一动点 Q也从 A动身沿 ABC的路线运动,且在 AB上以每秒 1 cm的速度匀速运动,在 BC上以每秒2 cm 的速度匀速运动 . 过 Q作直线 QN,使 QN PM. 设点 Q运动的时间为 t 秒0 t 10 ,直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD所得图形的面积为 S cm 2 . 求 S 关于 t 的函数关系式； 求 S 的最大值 . 解： 1 当点 P 运动 2 秒时, AP=2 cm,由 A=60 ,知 AE=1,PE=3 . S APE=3 . 22 当 0t 6 时,

14、点 P 与点 Q都在 AB上运动,设PM与 AD交于点 G,QN与 AD交于点 F,就 AQ=t , AF= t , QF= 3 t,AP=t +2, AG=1+ t ,PG= 3 3 t . 2 2 2 2 此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为 S= 3 t 3 . 2 2当 6t 8 时,点 P 在 BC上运动,点 Q仍在 AB上运动 . 设 PM与 DC交于点 G,QN与AD交于点 F,就 AQ=t ,AF= t ,DF=4-t ,QF= 3 t,BP=t-6 ,CP=10-t , PG= 10 t 3,2 2 2而 BD= 4 3,故此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为 S

15、= 5 3t 2 10 3 t 34 3 . 8当 8t 10 时,点 P和点 Q都在 BC上运动 . 设 PM与 DC交于点 G,QN与 DC交于点 F,名师归纳总结 就 CQ=20-2 t ,QF=20-2 t 3 ,CP=10- t ,PG= 10t3. t2303 t1503. 第 5 页,共 7 页 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为 S=332- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3t3 , 20t62名师归纳总结 故 S 关于 t 的函数关系式为S5 3t210 3 t34 3, 6t8第 6 页,共 7 页83 3t230 3 t150 3. 8t102当 0t 6 时 ,S 的最大值为723当 6 t 8 时, S的最大值为63当 8 t 10 时, S 的最大值为63所以当 t =8 时, S有最大值为63 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页