2022年初中数学二次函数知识点整理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学二次函数学问点整理1. 定义：一般地,假如 y ax 2 bx c a , b , c 是常数,a 0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 . 2. 二次函数 y ax 2 的性质（1）抛物线 y ax 2的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴. （2）函数 y ax 2的图像与 a 的符号关系 . 当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 . （3）顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）. 3. 二次函数 y ax 2 bx c

2、的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .24. 二次函数 y ax 2 bx c 用配方法可化成：y a x h 2k 的形式, 其中 h b,k 4 ac b. 2 a 4 a2 2 25. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式： y ax； y ax k； y a x h；y a x h 2k； y ax 2 bx c . 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a 0 时,开口向上；当 a 0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h . 特殊地, y 轴记作直线 x 0

3、 . 7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 2 28. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y ax 2bx c a x b 4 ac b,顶点是2 a 4 a2（b,4 ac b）,对称轴是直线 x b. 2 a 4 a 2 a2（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y a x h k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 x h . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛名师归纳总结 - - - -

4、- - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备. 欢迎下载物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. b09. 抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用（1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：b0时,对称轴为 y 轴；b0（即 a 、b 同号）时,对称轴在 y 轴左侧；2aaa（即 a 、 b 异号）时,对称轴在y轴右侧 . （3） c 的大小打算抛物线ya

5、x2bxc与 y 轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：c0,抛物线经过原点; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧,就b0. a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向时对称轴（ y 轴）顶点坐标ab2 yax2x0（ 0,0 ）当a0x0（ y 轴）0, k yax2xh h ,0 yaxh2xh h , k yaxh2开口向上yax2bxc当a0时xbb4,ac开口向下2a2a411. 用待定系数法求二次函数的解析

6、式（1）一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常选择一般式. x2. （2）顶点式：yaxxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、x ,通常选用交点式：yaxx112. 直线与抛物线的交点名师归纳总结 （1） y 轴与抛物线yax2bxc得交点为 0, c. 第 2 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与 y 轴平行的直线xh与抛物线y学习必备bx欢迎下载 h ,ah2bhc. ax2c有且只有一个交点（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数yax

7、2bxc的 图像 与 x 轴 的两 个 交 点的 横 坐 标x 、x2,是 对 应 一元 二 次 方程ax2bxc0的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点00抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点抛物线与 x 轴相离 . （ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . （ 5）一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次

8、函数 y ax 2bx c a 0 的图像 G 的交点, 由方程组y kx n2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只y ax bx c有一组解时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点 . （ 6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1,B x 2,由于 1x 、x 是方程 ax 2bx c 0 的两个根,故b cx 1 x 2 , x 1 x 2a a2 2AB x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24 x 1 x 2 b 4 c b 4 aca a a

9、 a一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系（3 分）1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系；名师归纳总结 其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向；两第 3 页,共 20 页轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 轴和

10、y 轴上的点,不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（a,b）表示,其次序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“ ,” 分开,横、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对,当 a b 时,（a, b）和（ b,a）是两个不同点的坐标；考点二、不同位置的点的坐标的特点（3 分）1、各象限内点的坐标的特点点 Px,y 在第一象限x0 y0点 Px,y 在其次象限x0 y0点 Px,y 在第三象限x0 y0点 Px,y 在第四象限x0 y02、坐标轴上的点的特点点 Px,y 在 x 轴上y0,x 为任意实数P 坐标为（ 0,0）点 Px,y 在 y 轴上x0,y 为任意实数点 Px,y 既

11、在 x 轴上,又在y 轴上x, y 同时为零,即点3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 Px,y 在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等点 Px,y 在其次、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同；5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特点点 P 与点 p 关于 x 轴对称 横坐标相等,纵坐标互为相反数点 P 与点 p 关于 y 轴对称 纵坐标相等,横坐标互为相反数点 P 与点 p 关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距

12、离点 Px,y 到坐标轴及原点的距离：（1）点 Px,y 到 x 轴的距离等于yy2（2）点 Px,y 到 y 轴的距离等于x（3）点 Px,y 到原点的距离等于x2考点三、函数及其相关概念（38 分）1、变量与常量在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量；一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与 y,假如对于x 的每一个值,y 都有唯独确定的值与它对应,那么就说x 是自变量, y 是 x 的函数；2、函数解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载用来表示函数关系的数学

13、式子叫做函数解析式或函数关系式；使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范畴；3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法；（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数（3）图像法y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法；用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点（3）连线：依据自变量由小到大的次序,把所描各点用平滑的曲线连接起来；考点四、正比例

14、函数和一次函数（310 分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地,假如ykxyb（k,b 是常数, k0）,那么 y 叫做 x 的一次函数；kxb中的 b 为 0 时,ykx（ k 为常数, k0）；这时, y 叫做 x 的正比例函特殊地,当一次函数数；2、一次函数的图像全部一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特点：一次函数ykxb的图像是经过点（0,b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0,0）的直线；图像特点k 的符号b 的符号函数图像y b0 0 x 图像经过一、二、三象限,y 随 x 的增大而增大；k0 y b0 0 x 图像经过一、三、四象限,y 随

15、x 的增大而增大；K0 y 图像经过一、二、四象限,y 随 x 的名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载增大而减小0 x y b0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时, y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 ykk0 k0 时,函数图像的两个分支分别当 k0 yax2bxca,b,c是常数,a0a0 y y 图像0 x 0 x 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 性质学习必备欢迎下载（1

16、）抛物线开口向上,并向上无限延长；（1）抛物线开口向下,并向下无限延长；（2）对称轴是x=b,顶点坐标是（b,（ 2）对称轴是x=b,顶点坐标是（b,2a2a2a2a4 acab2）；4acab2）；44（3）在对称轴的左侧,即当xb时, y 随 x（3）在对称轴的左侧,即当xbxb时,y 随 x 的增大而减小,简记左增2a2a时, y 随 x 的增大而增大,简记左减右增；右减；（4）抛物线有最低点,当 x=b时,y 有最小值,（4）抛物线有最高点,当x=b时, y 有最大2a2 ay最小值4acb2值,y最大值4 acab24 a42、二次函数yax2bxca,b,c是常数,a0中,a、b、

17、c的含义： a 表示开口方向：a 0时,抛物线开口向上,a 0 时,图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点；当 0 时,图像与 x 轴没有交点；补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法）y 如图：点 A 坐标为（ x1,y1）点 B 坐标为（ x 2,y 2）就 AB 间的距离,即线段AB 的长度为x 1x 22y 1y220 A x B 2、函数平移规律（中考试题中,只占 节约做题的时间）3 分,但把握这个学问点,对提高答题速度有很大帮忙,可以大大名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料

18、- - - - - - - - - 3、直线斜率：ktany2y 1学习必备欢迎下载b为直线在 y轴上的截距x2x 1 1 2 5 4、直线方程：一般两点斜截距,一般一般直线方程 ax+by+c=0 ,两点由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两点式:yy1y2y1xx1 - 最最常用,记牢x2x13,点斜知道一点与斜率yy 1kxx 14,斜截斜截式方程,简称斜截式: ykxb k 0,截距由直线在x 轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式：xy1ab记牢可大幅提高运算速度5、设两条直线分别为,1l ：yk xb 12l ：yk xb2db2；2y01 bkx0ky01b如l1

19、/l2,就有l1/l2k 1k2且b1如l1l2k1k21kx 06、点 P（x0,y0）到直线 y=kx+b 即： kx-y+b=0 的距离 : k22对于点 P（x0,y0）到直线滴一般式方程ax+by+c=0 滴距离有da x 02by 0c常用记牢a2 b中考点击考点分析：名师归纳总结 内容要求第 10 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别,懂得图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像 4、一次函数的增减性、象限分布情形,会

20、作图 5、反比例函数的概念、图像特点,以及在实际生活中的应用 6、二次函数的概念和性质,在实际情形中懂得二次函数的意义,会利用二次函数 刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 命题猜测：函数是数形结合的重要表达,是每年中考的必考内容,函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范畴,及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等,一般占 2%左右一次函数与一次方程有紧密地联系,是中考必考内容,一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查,占 5%左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式显现,要关注反比例函数与实际问题的联系,突出应用价值,36分；二次函数是中学数学的一个非常重要

21、的内容,是中考的热点,多以压轴题显现在试卷中要求：能通过对实际问题情形分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像,能丛图像上分析二次函数的性质；会依据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴,并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值分析近年中考,特殊是课改试验区的试题,估计 20XX 年除了连续考查自变量的取值范畴及自变量与因变量之间的变化图像,一次函数的图像和性质,在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的懂得同时将注重考查二次函数,特殊是二次函数的在实际生活中应用中学数学助记口诀 函数部分 特殊点坐标特点: 坐标平面点 x,y,横在前来纵在后；+,+,-,+,-,

22、-和 +,-,四个象限分前后；X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴；对称点坐标 : 对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆,X 轴对称 y 相反 ,Y 轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记 , 横纵坐标变符号；自变量的取值范畴：分式分母不为零,偶次根下负不行；零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行；函数图像的移动规律 : 如把一次函数解析式写成 y=k （x+0）+b、二次函数的解析式写成 y=a（x+h）2+k 的形式,就用下面后的口诀“同左上加,异右下减” ；一次函数图像与性质口诀 : 一次函数是直线,图像经过仨象限；正比例函数更简洁 , 经过原点始终线；两个系数 k 与 b, 作

23、用之大莫小看,k 是斜率定夹角 ,b 与 Y 轴来相见 ,k 为正来右上斜 ,x 增减 y 增减； k 为负来左下展, 变化规律正相反；k 的肯定值越大 , 线离横轴就越远；二次函数图像与性质口诀 : 二次函数抛物线,图象对称是关键；开口、 顶点和交点 , 它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见 ,b 的符号较特殊,符号与 a 相关联；顶点位置先找见,Y 轴作为参考线,左同右异中为 0,牢记心中莫纷乱；顶点坐标最重要 , 一般式配方它就现,横标即为对称轴 , 纵标函数最值见；如求对称轴位置 , 符号反 , 一般、顶点、交点式,不同表达能互换；反比例函数图像与性质口诀 : 反

24、比例函数有特点 , 双曲线相背离的远 ;k 为正 , 图在一、三 象 限,k 为负 , 图在二、四 象 限; 图在一、三函数减 , 两个分支分别减；图在二、四正相反 , 两个分支分别添 ; 线越长越近轴 , 永远与轴不沾边；正比例函数是直线,图象肯定过圆点,k 的正负是关键,打算直线的象限,负 k 经过二四限,x 增大 y 在减,上下平移 k 不变,由引得到一次线,向上加 b 向下减,图象经过三个限,两点打算一条线,选定系数是关键；名师归纳总结 反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k 落在一三限,x 增大 y 在减,图象上面任意点,矩形面积都不第 11 页,共 20 页变,对称轴是角分线x、y

25、 的次序可交换；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数抛物线,选定需要三个点,学习必备欢迎下载x 轴上数交点,a 的正负开口判,c 的大小 y 轴看, 的符号最简便,a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键；1. 一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号,移项时候要变号；同类项、合并好,再把系数来除掉；两边除（以）负数时,不等号改向别忘了；2. 特殊点坐标特点 : 坐标平面点 x,y, 横在前来纵在后；+,+,-,+,-,- 和+,-, 四个象限分前后；X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴

26、；3. 平行某轴的直线 : 平行某轴的直线,点的坐标有讲究,直线平行 X 轴, 纵坐标相等横不同；直线平行于 Y 轴, 点的横坐标仍照旧；4. 对称点坐标 : 对称点坐标要记牢 , 相反数位置莫混淆,X 轴对称 y 相反 , Y 轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记 , 横纵坐标变符号；5. 自变量的取值范畴：分式分母不为零,偶次根下负不行；零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行；6. 函数图像的移动规律 : 如把一次函数解析式写成 y=k（x+0）+b,二次函数的解析式写成 y=a（x+h）2+k 的形式,就用下面后的口诀：7.“ 左右平移在括号, 上下平移在末稍, 左正右负须牢记, 上正

27、下负错不了” ；一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线,图像经过仨象限；8.正比例函数更简洁, 经过原点始终线；, 变化规律正相反；两个系数k 与 b, 作用之大莫小看,k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见 , k 为正来右上斜,x 增减 y 增减； k 为负来左下展k 的肯定值越大, 线离横轴就越远；二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线,图象对称是关键；名师归纳总结 开口、顶点和交点, 它们确定图象限；第 12 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 开口、大小由学习必备欢迎下载Y轴作为参考线,a 断,c 与 Y 轴来相见 ,b 的

28、符号较特殊,符号与a 相关联；顶点位置先找见,9.左同右异中为0,牢记心中莫纷乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现,横标即为对称轴, 纵标函数最值见；如求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式,不同表达能互换；反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点, 双曲线相背离的远; k 为正 , 图在一、三 象 限； k 为负 , 图在二、四 象 限; 图在一、三函数减 , 两个分支分别减；图在二、四正相反 , 两个分支分别添 ; 线越长越近轴 , 永久与轴不沾边；函数学习口决： 正比例函数是直线,图象肯定过原点,k 的正负是关键,打算直线的象限,负 k 经过二四限,x 增大 y 在减,上下

29、平移 k 不变,由引得到一次线,向上加 b 向下减,图象经过三个限,两点打算一条线,选 定系数是关键；10.反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k 落在一三限,x 增大 y 在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,a、对称轴是角分线x、y 的次序可交换；二次函数抛物线,选定需要三个点,a 的正负开口判,c 的大小 y 轴看, 的符号最简便,x 轴上数交点,b 同号轴左边抛物线平移a 不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键；求定义域 ：求定义域有讲究,四项原就须留意；负数不能开平方,分母为零无意义；指是分数底正数,数零没有零次幂；限制条件不唯独,满意多个不等式；求定义域要过关,四项

30、原就须留意；负数不能开平方,分母为零无意义；分数指数底正数,数零没有零次幂；限制条件不唯独,不等式组求解集；11.解一元一次不等式：先去分母再括号,移项合并同类项；系数化“1” 有讲究,同乘除负要变向；先去分母再括号,移项别忘要变号；同类各项去合并,系数化“1” 留意了；同乘除正无防碍,同乘除负也变号；12.解一元一次不等式组：大于头来小于尾,大小不一中间找；大大小小没有解,四种情形全来了；同向取两边,异向取中间；中间无元素,无解便显现；13.幼儿园小鬼当家, 同小相对取较小 敬老院以老为荣, 同大就要取较大 军营里没老没少； 大小小大就是它 大大小小解集空； 小小大大哪有哇 解一元二次不等式：第一化成一般式,构造函数其次站；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载判别式值如非负,曲线横轴有交点； a 正开口它向上,大于零就取两边；代数式如小于零,解集交点数之间；方程如无实数根,口上大零解为全；小于零将没有解,开口向下正相反；13.1 用