2022年二次函数与一元二次方程的关系以及实际应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载老师姓名：同学姓名：王祎惠把握二次函数解析式的求法教学懂得抛物线yax2bxc中,a ,b ,c与函数图像的关系目标懂得二次函数与一元二次方程的关系重点：二次函数与一元二次方程的关系难点重点 难点：二次函数的实际应用【学问清单】1、抛物线yax2bxc中,a,b,c与函数图像的关系;.的正负；a b c 打算开口方向a0,开口向上 ;开口向下 .a0,a b c 与 b 打算对称轴位置a b 同号 , 在轴左侧 ;a b 异号 , 在轴右侧 .c0,交点在 y轴的正半轴上c 打算抛物线与y 轴交点的位置c0,交点在原点 ;c0

2、,交点在 y轴的负半轴上式子abc的正负就是当x=1 时,对应的函数值y=abc2、二次函数与一元二次方程的联系（1） y 轴与抛物线yax2bxc 的交点为0, .（2）抛物线与x 轴的交点：二次函数yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,就是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点的个数可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 . （3）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .

3、当有 2名师归纳总结 个交点时, 两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,就横坐标是ax2bxck 的两个实数根 . 第 1 页,共 9 页（4）抛物线与x 轴两交点之间的距离如抛物线yax2bxc 与 x 轴两交点为A x 1,0,B x 2, ,由于1x、 2 x 是方程ax2bxc0的两个根,故x 1x2b,x 1x 2caa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABx 1x 2x 1x 22x 1x2学习必备欢迎下载24cb2a4 aca（非重点）24x x 2baa3、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方

4、程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a ,b ,c 的符号, 或由二次函数中a ,b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或 已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 . 【巩固练习】1、已知二次函数y2 axbxc的图象如图26-2 所示,就下4 ac0列结论中正确的判定是（）a0b0c0b2A BC D26-3 所示 ,下2、已知二次函数y2 axbxc的图象如图列结论中 : abc0b2aab

5、c0abc0正确选项【典型例题】名师归纳总结 【例 1】 小明、小亮、小梅、小丽四人共同探究代数式x24x5的值的情形他们作了如第 2 页,共 9 页下分工：小明负责找值为1时x的值,小亮负责找值为0 时 x 的值,小梅负责找最小值,小丽负责找最大值几分钟后,各自通报探究的结论,其中错误选项（）A. 小明认为只有当x2时,x24x5的值为 1. B. 小亮认为找不到实数x ,使x24x5的值为0 . C. 小梅发觉x24x5的值随x 的变化而变化,因此认为没有最小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D. 小丽发觉当x 取大于 2 的实数时,学习必备x5

6、欢迎下载2 x4的值随x 的增大而增大,因此认为没有最大值. 【例 2】 已知二次函数 y x 2x a a 0,当自变量 x 取 m 时,其相应的函数值小于 0 ,那么以下结论中正确选项（）A . m 1 的函数值小于 0 B . m 1 的函数值大于 0C . m 1 的函数值等于 0 D . m 1 的函数值与 0 的大小关系不确定【例 3】 已知关于 x 的一元二次方程 2 x 24 x k 1 0 有实数根,k 为正整数 . （1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数y2x24xk1的图象向下平移 8 个单位,求平移后的图象的解析式；（3）在（ 2）

7、的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其 余 部 分 保 持 不 变 , 得 到 一 个 新 的 图 象 . 请 你 结 合 这 个 新 的 图 象 回 答 ： 当 直 线y1xb bk 与此图象有两个公共点时,b 的取值范畴 . 2【例 4】图 26-4,图中抛物线的解析式为y2 axbxc ,依据图象判定以下方程根的情形；（1）方程ax2bxc20的两根分别为m的交点的横坐标即为方程ax2bxcm 的（2）方程ax2bxc30的两根分别为（3）方程ax2bxc2的根的情形是（4）方程ax2bxc5的根的情形是【分析】 抛物线yaxbxc与直线 y根,故可依

8、据图象可直接判定；【例 5】 阅读材料,解答问题名师归纳总结 例：用图象法解一元二次不等式：x22x303第 3 页,共 9 页解：设yx22x3,就 y 是 x 的二次函数a10,抛物线开口向上又当y0时,x22x30,解得x 11,x 2由此得抛物线yx22x3的大致图象如下列图0的解集是 _；观看函数图象可知：当x1或x3时,y0x22x30的解集是x1或x3（1）观看图象,直接写出一元二次不等式：x22x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载0（2）仿照上例,用图象法解一元二次不等式：x21【例6】如下列图,抛物线yax2bxc

9、a0与 x 轴的两个交点分别为A1,0和B2,0,当y0时, x 的取值范畴是yyA-1O12BxO1B 3xx1,如其与 x 轴一例 6 图例 7 图【例 7】如下右图是抛物线yax2bxc 的一部分,其对称轴为直线交点为B3,0,就由图象可知,不等式ax2bxc0的解集是【例 8】已知二次函数y2 xm1xm1（1）求证：不论m 为任何实数,这个函数的图象与x 轴总有交点,（2） m 为何实数时,这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？考点二 二次函数的实际应用例 1、某公司年初推出一种高新技术新产品,该新产品销售的累积利润 y （万元）与销售时间 x （ 月 ） 之 间 的 关 系

10、（ 即 前 x 个 月 的 利 润 总 和 y 与 x 之 间 的 关 系 ） 为名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - y1x22 x x0；学习必备欢迎下载21 求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴；2 请在所给坐标系中画出这个函数的简图；3 依据函数图象,你能否看出公司的这种新新产品销售累积利润是从什么时候开头盈利的？4 这个公司第 6 个月所获的利润是多少？【分析】画函数图象时,留意 x 0 带来的变化；依据图象进行分析；例 2、某商场购进一种单价为 40 元的篮球, 假如以单价 50 元售出, 那么每月可售出 50

11、0 个,依据销售体会,单价每提高 1 元,销售量相应削减 10 个；（1）假设销售单价提高 x 元,那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个（用含 x 的代数式表示）；（2）8000 元是否为每月销售这种篮球的最大利润？假如是,请说明理由；假如不是,请你求出最大利润,此时篮球的售价应定为多少元？【点评】 （1）题设计了两个问题,一是每个篮球的利润,二是每月的销售个数,这为第 （ 2）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题解答铺平了道路,要会利用二次函数的最值,解决实际问题；例 3

12、、如图 26-9（1）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两个小孔外形、大小都相同,正常水位时,大孔水面宽度AB=20 米,顶点M 距水面 6 米（即 MO=6 米）小孔顶点N 距水面 4.5 米,（即 NC=4.5 米）,当水位 上涨刚好埋没小孔时,借助图 26-9（2）中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽 度 EF；【解析】依据图中直角坐标系知抛物线 的顶点 M （0,6）, B（10,0）,故可 E,F,N 三 求抛物线的解析式,再依据 点的纵坐标相同,都为 4.5,可求 E,F 的横坐标,从而求出水面宽 EF；解：【点评】解题的关键有两点：（1）建立恰当的平面直角坐标第（此题题中已给出）；

13、（2）点的坐标未直接给出,要结合题意去懂得,抛物线的解析式通常要求出来；例 4、某广告公司设计一幅周长为12 米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000 元,该矩形一边长为 x 米,面积为 S 平方米；1 求出 S与 x 之间的函数关系式,并确定自变量 x 的取值范畴；2 请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用；3 为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并运算出可获得的设计 费的多少（精确到元）？（参考资料：当矩形的长是宽与“ 长 5 2.236；+宽” 的比例中项时,这样的矩形叫做黄金矩形【解析】（ 1）如矩形的长为 x 米,就宽为（ 6- x ）米,由长、

14、宽均有意义,可确定 x 的取值范畴；（ 2）S 最大时,设计费最多,可依据二次函数的极值求出；（3） x 的值应当是一个详细的值,可求；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,利用二次函数的性质可以解决,3【点评】（1）2问为常规的二次函数与几何面积的综合题问从美观的角度考虑 ,很新奇 ,有意义 .例 5、如图,在 Rt ABC中, C=90 ,点 P 为 AC边上的一点,将线段 AP绕点 A 顺时针方向旋转（点 P 对应点 P,）,当 AP旋转至 AP,AB时,点 B、P、P,恰好在同始终线上,此时作

15、P,EAC于点 E. 1 求证： CBP=ABP；5时,求CPP（2）求证： AE=CP；（3）当CP3,BP,5PE2线段 A B的长 . EB A【课后作业】1一辆电瓶车在试验过程中,前 10 秒行驶的路程 S（米）与时间 t （秒）满足关系式 s at ,第 10 秒末开头匀速行驶,第 224 秒末开头刹车,第 28秒末停止离终点 20 米处,图 26-12 是电瓶车行驶过程中每 2 秒记录的一次的图象；（1）求电瓶车从动身到刹车时的路程S（米）与时间 t （秒）的函数关系式；（2）假如第 24 秒末不刹车连续匀速行驶,那么动身多少秒后通过终点？（3）假如10 秒后仍按s2 at 的运动

16、方式行驶,那么动身多少少后通过终点？2、杭州体博会期间,嘉年华游乐场投资150 万元引进一项大型游乐设施,如不计修理保养名师归纳总结 费用,估计开放后每月可创收33 万元,而该游乐设施开放后,从第1 个月到第 x 个月的维第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 修保养费用累计为y 万元,且yax学习必备欢迎下载1 个月为 2 万元,第 2 个月2bx ,如修理保养费用第为 4 万元；如将创收扣除投资和修理保养费用称为游乐场的纯收益 二次函数；（1）求 y 关于 x 的解析式；（2）求纯收益 g 关于 x 的解析式；g万元, g 也时关于

17、 x 的（3）问设施开放几个月后,游乐场的纯收益达到最大？几个月后能收回投资？3、已知二次函数yx22mxm21. （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（ 0,0）时,求二次函数的解析式；（2）如图,当 m=2 时,该抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为 D,求 C、D 两点的坐标；（3）在（ 2）的条件下, x 轴上是否存在一点 P,使得 PC+PD 最短？如 P 点存在,求出 P点的坐标；如 P 点不存在,请说明理由；4、新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱,每台进价为2500 元,市场调研说明；当销售价定为 2900 元时, 平均每天能售出8 台；而当销售价每降低50 元时, 平均每天就能多售出 4 台. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 均每天可以售出多少台冰箱？4800 元,每台冰箱的定价应为多少元？平每天的销售利润 4800 元日是不是最大利润？如不是,试求每台冰箱的定价为多少元时利润最高,最高是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页