2022年二次根式及性质_练习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次根式及性质. 1.2 二次根式的性质(1) 【教学重点、难点】重点：本节的重点是二次根式性质：aa2(a 0), aa2= )0()0(aaaa难点：aa2= )0()0(aaaa【教学过程】一、引入新课1）提问： 2 的平方根是什么？什么数的平方是2？（2）得到：（2）2=2 （2)2=2 2）提问：（2)7=？ （?)21?()2122选三个中下游的学生回答，教师鼓励学生大胆发言。二、新课讲授1、由上面的提问得到什么样的结论？aa22、那么对于上面的性质，a 能小于 0 吗？（不能， a 必须大于等于0）aa2（a0 ）3、提问：?22?2?)5(25？?0?02请几个

2、中游的学生回答。（ 2，2 ；5，5 ；0，0 ）4、议一议：2a与a有什么关系？当a0 时，2a=？当 a0 时，2a=？经学生讨论后，指定一名学生（程度中下）回答，再指定一名学生（程度较好）点评。教师总结：2a=a)0()0(aaaa5、提问：?)7(2=？）（236.一般地，二次根式的积与商的性质：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载积的性质：ab=ab(a0,b 0);商的性质：ab=ab（

3、 a0,b0）1.3 二次根式的运算（1）教师活动教学内容设计意图学生活动回顾），（），（），（0,00,0|022baabbababaabaaaaa化简下列二次根式：12，313，311，48。109.0，303.0教师书写课题二次根式的运算1（乘除运算）教师活动教学内容设计意图学生活动新课讲解)0,0();0,0(babababaabba39109.0109.01.001.0303. 0303. 0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - -

4、- - - - - - 学习必备欢迎下载5、 出示例1 例 1 计算62)1 (1027321)2(97103.1102 .5)3(（ 2 ） 中 被 开 方 数 是 带 分 数 要 先 化 成 假 分 ， 运 算 结 果。或不能写成25 .12211223解： （3）51102104103 .1102.5297原式规范书写知道运算程序(1),(2)题两位学生板演。领悟与练习（1）运用法则，化归为根号内的实数运算；（2）完成根号内相乘、相除（约分）等运算；（3）化简二次根式8、 屏幕 显示 例2， 帮助 学生 审题。（1）AD作BC，则2222121BCCDBD（2）由勾股定理算出AD 628

5、)2()22(2222CDACAD（3）路标的面积32126222121ADBCS（平方单位）说明计算结果能化简的，则应化简。 没有精确度要求，结果用化简的二次根式表示。计算正三角形的面积得先算高。讨论，自由回答问题。课堂小结10、问 ：这 一节 课学 习了 什么二次根式的乘除运算法则。)0,0();0,0(babababaabba被开方数是带分数要先化成假分。规范书写。如。或不能写成25 .12211223二次根式的简单应用 三角形面积算法。帮助学生梳理知识理解数学的应用价值自由回答。布置作业完成课本作业第13 页（做在 A 本上）和作业本（1）1. 复习回忆 : 整式中的有关法则、运算律、

6、运算次序.(通过复习对例3 的计算思路的形成有所帮助,一定程度上降低了例3 的教学难度 ) 2. 举例分析：例 1.先化简 ,再求出近似值 (精确到 0.01) 3113112启发提问 : 这是一题二次根式的什么运算?能否适用合并同类项的方法进行合并?(学生会做出否定回答) 上面的二次根式是否还可以化简?请同学们试一下.然后再回答提问( 最后教师板书名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解题过程 )

7、归纳: 二次根式加减之前,应先化简二次根式;再把所含二次根式完全相同的合并成一项. 在二次根式加减(或其它运算 )时,把根号前的乘数看作它的系数.如中62的 2 就看作6的系数三. 知识要点：（1）平方根与立方根a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。用a表示。例如：因为()525252552，所以的平方根为。b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。0 的算术平方根为0。用a表示 a 的算术平方根。例如： 3 的平方根为3，其中3为 3 的算术平方根。c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根，用a3表示。

8、例如：因为3272727333，所以的立方根为。d. 平方根的特征：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0 有一个平方根，就是0本身。负数没有平方根。e. 立方根的特征：正数有一个正的立方根。负数有一个负的立方根。0 的立方根为0。aa33。立方根等于其本身的数有三个：1，0， 1。（2）二次根式a. 二次根式的概念：形如a（a0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a0） 。b. 二次根式的基本性质：aa00（）()aaa20（）aaaaaaa20000| |（）（）（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

9、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ababab（，）00babaab（，）00c. 二次根式的乘除法ababab（，）00babaab（，）00d. 最简二次根式的标准：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。被开方数中不含开得尽方的因数或因式。e. 同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。例如：82 22与是同类二次根式，35aa与是同类二次根式。f. 二次根式的加减法运算法则：在加减运算中，一般把

10、二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）。h. 使分母不带根号（分母有理化）常用方法：化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。i. 形如ba的式子，利用()aa2，分子、分母同乘以a得bab aab aa()2ii. 形如cabcaxby或的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以abaxb y或（）得cabc ababcaxbyc axbya xb y()()222或注意：分子、分母同时所乘以的式子必须不为0。即如：xyxyxyxyxyxyxy

11、()()()()，这样运算不一定正确，因为xy有可能为0。化去分母中的根号，有时通过约分来解决如：xyxyxyxy（且，）00名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载()()xyxyxyxy（3）实数与数轴：a. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。b. 实数的概念：有理数与无理数统称为实数。c. 实数的分类：按实数的定义分类实数有理数整数正整数负整数自然数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理

12、数正无理数负无理数无限不循环小数0按正负分类实 数正 实 数正 有 理 数正 整 数正 分 数正 无 理 数零负 实 数负 有 理 数负 整 数负 分 数负 无 理 数d. 实数与数轴上的点之间的关系：实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来每一个实数都可以用数轴上的点来表示。e. 常见的几种无理数：根号型：如243、等开方开不尽的数。构造型：如1.21121112等无限不循环小数。化简后含有（圆周率）的数。在今后学习中还会遇到三角函数型等。f. 实数比较大小的几种常用方法：数轴比较法：将两实数分别表示在数轴上，右边的

13、数总比左边的数大，表示在同一点上的两个数相等。差值比较法： 设 a、 b 是任意两实数， 若ab0， 则ab； 若ab0， 则 ab； 若abab0，则。商值比较法：设a、b 是两个正实数若abab1，则；若abab1，则；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载若abab1，则。注：除此以外还有平方法等方法。【典型例题】例 1. 判断下列说法是否正确：（1）4 的平方根是2 （2） 25 的平方根是

14、5 （3）()82的算术平方根是8 （4） 0.027 的立方根是0.3 （5）827的立方根是23解析： 要作出正确判断，必须弄清平方根、算术平方根的概念和立方根的概念。例 2. 要使下列各式有意义，字母x 的取值必须分别满足什么条件？（1）34x（2）x2（3）xx12（4）31xx解析： 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为0，对于含有多个表达式的式子需同时让每一个式子有意义，此表达式才有意义。例 3. 已知abab35与|互为相反数，求ab22的值。例 4. 计算下列各式：（1）()232（2）()7 52（3）2 36（4）41322x yxy（5）()

15、123554（6）6 301248.（7）()(. )124183134 0 5解析：（1）由公式()aaa20（）可以直接得到。（2）根据积的乘方法则()ababnnn可以求解。（3）利用ababab（，）00进行乘法计算。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（4）利用ababab（，）00进行乘法计算，但应知道yx00，。（5）利用ababab（，）00进行计算。（6）和（ 7）应先对式子中的每

16、个二次根式进行化简，然后对同类二次根式进行合并。例 5. 化简下列各式：（1）()22（2）()xx222（）（3）xx2816（4）1244a b c（5）123（6）baab（，）00解析：（1） （2） （3）都是形如a2的化简，关键是正确理解和使用aaaaaa200| |（）（）（4）运用ababab（，）00对二次根式进行化简时尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。（5） （6）去掉分母中的根号，常用的方法是使分母化为a2（或a2）的形式。例 6. 已知 a、b 均为有理数，并且满足等式：532233aba，求 a、b 的值。解析： 因为532233aba所以()()aba25233

17、0因为 a、b 均是有理数所以5223aba与都是有理数所以有520230aba解得ab23136例 7. 比较3221与的大小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析： 比较3221与的大小，可先将各数的近似值求出来32173214140318.21141410414.再比较大小，本题还有一种方法“分子有理化”解： 32323232132()()21212121121()()()又1321213

18、221例 8. 观察下列各式及其验证过程：223223验证：22323222212 2122122333222()()338338验证：33838333313 3133133833222()()（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路猜想4415的变形结果并进行验证。（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n 为任意自然数，且n2）表示的等式，并给出证明。【模拟试题】（答题时间： 80分钟）一. 填空题1. 计算|2=_；273=_。2. 若代数式112x有意义，则x 的取值范围是 _。3. 计算：12118=_ 。4. 在实数范围内分解因式：xx22 33_。名师资料总结 - - -精品

19、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5. 若 x5，则()x52_。6. 绝对值不超过3 的无理数有 _（只需写出3 个即可）。7. 已知ab152152，则ab227的值为 _。8. 实数 a、b、c 在数轴上的对应点如图。化简：aabcbc|2_。9. 已知()abab12402，计算 ab=_。10. 3的整数部分为a，小数部分为b，则 a=_，b=_。二. 选择题11. 在二次根式589223aacaba，中，最简二次

20、根式共有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个12. 在二次根式：（1）12； （2）23； （3）23； （4）27中，与3是同类二次根式的是（）A. （1）和（ 3）B. （2）和（ 3）C. （1）和（ 4）D. （3）和（ 4）13. 下列实数中，无理数是（）A. 3.14 B. 12C. 0 D. 314. 下列各组数中，互为相反数的是（）A. 212和B. |22与C. 222与()D. 283和15. 若 a为实数，下列代数式中，一定是负数的是（）A. a2B. ()a12C. a2D. (|)a 116. 如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A、B，点 B 关于

21、A 对称点为 C，则点 C 所表示的数是 （）A. 21B. 12C. 22D. 2217. 下列命题中正确的是（）A. 如果 a、b 同号，则abab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载B. 如果 a、b 异号，则ababC. 如果 a、b 异号，则ab有意义D. 如果 a、b 同号，则ab无意义18. 下列计算正确的是（）A. aaa1B. ababC. ()abab2D. 342 3aa19

22、. 若 x 为任意实数，下列各式一定有意义的是（）A. x23B. 112()xC. xx22D. x2120. 把xx1根号外的因式移入根号内等于（）A. xB. xC. xD. x三、解答题21. 在实数范围内分解因式（1）xx310；（2）9164x。22. 计算：（1）24152233232；（2）()328920322xxxx（）23. 比较两数的大小：（1）7 66 7和；（2）36 535 6和。24. 化简求值：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页

23、，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a bb aabbabbabbab()1，其中ab3535，。25. 解不等式或方程：（1）312 22xx；（2）52532xx。26. 某公司向银行贷款20 万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余6.4 万元，若在经营期间每年比上一年资金增长百分数相同，试求这个百分数。27. 阅读（ 1） ，解答（ 2） 、 （3） 。（1）举例说明“两个无理数的和有可能为有理数。”解：如22、都是无理数，而220()，0就是有理数。（2）有没有不相等

24、的两个无理数的差为有理数？如果有，请用与235、相关的数举例说明。（3）有没有绝对值不相等的两个无理数的平方差为有理数？如果有，请用与23、5相关的数举例说明。28. 先观察下列等式，再回答问题：1111211111111222；1121311212111622；11314113131111222。（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想1141522的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n 为正整数）表示的等式，并加以验证。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

25、 - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【试题答案】一. 1. 23，2. x123. 4 214. ()x325. 5x6. 235、（答案不唯一）7. 5 8. 2c9. 6 10. 1，31二. 11. B 12. C 13. D 14. C 15. D 16. C 17. C 18. A 19. D 20. D 三. 21. （1）xxx xx xx3210101010()()()（2）91634 343432324222xxxxxx()()()()()22. （1）241522332322 615236323232322 6152

26、3652 6236155()()()()（2）343x23. （1）7 66 7（2）36 535 624. 化简得2 ab，计算得 4 25. （1）()32221xxx2 2132234 22 6（2）5532xx()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载322 33xx26. 设每年比上年资金增长百分数为x%，则有2012012%16 42(%)().x(%).%.1288201441122x

27、xxx20220或（舍去）答：这个百分数为20%。27. （2）有()()32522（3）有()()2 33 26 32802228. （1）1141511415112022证：11415111612544116252120112022（2）1111111111222nnnnnn()证：111111222222nnnnnn()()()nnn nnnnnnnnnnnnn2222222111111()1、判断下列代数式中哪些是二次根式？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14

28、 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载21， 16， 9a， 12x， 222aa，x（0 x） ， 23m。答：_ 2、求下列二次根式中字母x 的取值范围：12x，32x，52x，xx22，11xx，xx22. 3、计算25，25，251，25，255，223131，913.03122. 4、化简：16.001.0，416，3532，22125，1.8，16194. 5、写出下列各式成立的条件（即x 的取值范围）：xx242，222xx，xx23392xxx，55xxxx. 6、若代数式2242aa的值是常数2，则a的取值范围是 _。7、若221x，则化简1

29、222xx=_。8、若 x、 y 都为实数，且15200752008xxy，则yx2=_。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载9、在如图的44 的方格内画 ABC ，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为2，214，12552。10、解方程：4822x，823x. 11、计算：个个2005220052333444，8312、观察下列各式及验证过程：式：322322验证：322122122122223232222233式：833833验证：833133133133338383322233 针对上述式、式的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子； 请写出满足上述规律的用n（n 为任意自然数，且n2）表示的等式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -