2022年中考数学压轴题正方形问题精选解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 中考数学压轴题正方形问题精选解析 二 例 3 如图,在边长为6 的正方形 ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形 DMNK ,恰好使得B E N、A、F 三点在始终线上,连接MF 交线段 AD 于点 P,连接 NP,设正方形BEFG 的边长为 x,正方形 DMNK 的边长为 yx 的取值范畴；N K （1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量（2）当 NPF 的面积为 32 时,求 x 的值；A （3）以 P 为圆心, AP 为半径的圆能否与以G 为圆心, GF 为G F 半径的圆相切？假如能,恳求出 x 的

2、值, 假如不能, 请说明理由M P C 解析 ：（1）正方形 BEFG、正方形 DMNK 、正方形 ABCD E F90 O ,AE MC,MC NKD AE NK, KNA EAF KNA EAF,NK EAKA EF,即y x6y6xyx6（0x 6）（2）由（ 1）知 NKAE, ANAF正方形 DMNK , AP NM ,FP PM AF AN1FP PM , S MNP S NPF 32S 正方形 DMNK 2S MNP 64 y8, x2（3）连接 PG,延长 FG 交 AD 于点 H,就 GH AD易知： APy 2,AHx,PH y 2x, HG6；PGAPGF y 2x当两圆

3、外切时在 Rt GHP 中, PH2HG2PG2,即 y 2x262y 22x解得： x 333（舍去）或x 333 当两圆内切时在 Rt GHP 中, PH2HG2PG2,即 y 2x262y 22x方程无解所以,当 x3 33 时,两圆相切例 4 已知：正方形 ABCD 的边长为 1,射线 AE 与射线 BC 交于点 E,射线 AF 与射线 CD交于点 F, EAF45,连接 EF（1）如图 1,当点 E 在线段 BC 上时,试猜想线段 明 你的猜想；EF、 BE、DF 有怎样的数量关系？并证（2）设 BEx,DFy,当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点 B、C）,求 y 关于 x

4、的函数解析式,并指出 x 的取值范畴；（3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点 B）,点 F 在射线 CD 上运动试判定以 E 为圆心,以 BE 为半径的 E 和以 F 为圆心,以FD 为半径的 F 之间的位置关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（4）如图 2,当点 E 在 BC 的延长线上时,设AE 与 CD 交于点 G问： EGF 与 EFA 能否相像？如能相像,求出BE 的长,如不行能相像,A F E 请说明理由A D D F B G C B E C 解析：图 1 图 2 （1）

5、猜想： EFBEDF证明：将ADF 绕点 A 顺时针旋转90 ,得 ABF,易知点F、B、E 在同始终线上（如.图 1）AFAFFA 2 D FAE13 23904545EAF又 AEAE, AFE AFE1 E F EF FEBEBFBEDF（2）在 Rt EFC 中, EC2FC2EF2B EC1x,FC1y,EF xy 1x 2 1y 2 xy 2C y1x 1x（0 x1）图 1 （3）当点 E 在点 B、C 之间时,由（ 1）知 EFBEDF ,故此时 E 与 F 外切；当点 E 在点 C 时, DF0, F 不存在 . 当点 E 在 BC 延长线上时,将ADF 绕点 A 顺时针旋转

6、90,得ABF（如图 2）就 AF AF, 12,BF DF, FAF90 FAEEAF 45又 AEAE, AFE AFEEF EFBEBFBEDF此时 E 与 F 内切综上所述,当点 E 在线段 BC 上时, E 与 F 外切；当点 E 在 BC 延长线上时, E 与 F内切（4） EGF 与 EFA 能够相像,只要当EFGEAF45 即可名师归纳总结 此时 CECF 2 A 2 FF E 设 BEx,DF y,由（ 3）知 EFxyD 在 Rt CFE 中, CE2CF2EF2 x12 1y2 xy21 G yx1 x1（x 1）由 CECF,得 x1 1y,即 x11x1 x1B C

7、化简得 x22x10,解得 x112（舍去）,x21图 2 第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料2 欢迎下载 EGF 与 EFA 能够相像,此时BE 的长为 1例 5 已知：如图,在直角梯形ABCD 中, AD BC, B90,AD2,BC6,AB3E为 BC 边上一点,以 BE 为边作正方形 BEFG,使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时,求 BE 的长；（2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移,记平移中的正方形 BEFG 为正方形 B

8、EFG,当点 E 与点 C 重合时停止平移 设平移的距离为t,正方形 BEFG 的边 EF 与 AC 交于点 M,连接 BD,BM,DM 是否存在这样的t,使 BDM 是直角三角形？如存在,求出t 的值；如不存在,请说明理由；（3）在（ 2）问的平移过程中,设正方形BEFG 与 ADC 重叠部分的面积为S,请直接写C 出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范畴A D A D B C B 备用图解析：（1）如图,设正方形 BEFG 的边长为 x就 BEFGBG xAB3,BC6, AGABBG3xA D GF BE,AGF ABCAG ABGF BC,即3xxG F 36解得 x

9、2,即 BE2 名师归纳总结 （2）存在满意条件的t,理由如下：B E 图C 如图,过D 作 DH BC 于点 H就 BHAD2,DH AB3 由题意得： BBHE t,HB| t2| ,EC4t在 Rt BME 中, BM2BE2ME222 2 1 2 t 2 1 4 t22t8A D G F EF AB, MEC ABCME ABEC BC,即ME 34t, ME 21 2 t6在 Rt DHB 中, BD2DH2BH232 t2 2t24t13 B N BM 过 M 作 MN DH 于点 N就 MN HEt,NHME 21 2 tH E C 图第 3 页,共 5 页DN DH NH 3

10、21 2 t 1 2 t1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt DMN 中, DM学习好资料2t1 欢迎下载2 DN2MN2 5 4 t（）如 DBM90,就 DM2 BM2BD217,t2 317 F F C 即5 4 t2t1 1 4 t22t8 t24t13 ,解得 t 20 7（）如 BMD 90,就 BD2 BM2DM2即 t24t13 1 4 t22t8 5 4 t2t1 ,解得 t1 30t 4, t317 A D （）如 BDM 90,就 BM2BD2DM2即1 4 t22t8 t24t13 5 4 t2t1 ,此方程无解综上所

11、述,当t20 7或317 时,BDM 是直角三角形（3）当 0t 4 3时, S 1 4 t2G 当4 3t2 时, S 1 8 t2t 2 3B BH E 当 2t 10 3时, S 3 8 t22t 5 3图当10 3t 4 时, S 1 2 t 5A D G 提示：当点 F 落在 CD 上时,如图FE2,EC4t,DH 3,HC4 由 FEC DHC ,得FE ECDHB H BE C HC即4t 3 4, t 4图当点 G 落在 AC 上时,点 G 也在 DH 上（即 DH 与 AC 的交点）t2DHA G D F C 当点 G 落在 CD 上时,如图GB2,BC6tM 由 GBC D

12、HC ,得GB BCN HC即2 6t3 4, t10B BD E 3当点 E 与点 C 重合时, t 4 图当 0 t4 3时,如图A MF t,FN1 2 tB G M P F Q C SS FMN 1 2 t1 2 t1 4 t2N BE 图名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当4 3t 2 时,如图学习好资料欢迎下载名师归纳总结 PF t4 3, FQ 3 4 PF 3 4 t1 A D F S FPQ 1 2 t 4 3 4 t1 3 8 t2t 2 3G P SS FMN S FPQ 1 4 t2 3 8

13、t2t 2 3 1 8 t2t 2 3M Q 当 2 t10 3时,如图N BM1 2 BC2 6t 3 1 2 tB BE C 图GM 2 31 2 t 1 2 t1 A D F S 梯形 GMNF 1 2 1 2 t1 1 2 t 2t1 SS梯形 GMNF S FPQ t1 3 8 t2t 2 3 3 8 t22t 5 3当10 3t 4 时,如图PB3 4 BC4 6t 93 4 tG GP2 9 23 4 t 3 4 t 5B P Q N E C M S 梯形 GPQF 1 2 3 4 t 53 4 t1 2 3 2 t 7BSS梯形 GMNF S梯形 GPQF t1 3 2 t 7 2 1 2 t 5 2图第 5 页,共 5 页- - - - - - -