2022年中考数学复习专题——二次函数知识点归纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考复习专题二次函数学问点归纳二次函数学问点总结：1二次函数的概念：一般地,形如 y ax 2bx c （ a, , 是常数,a 0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2bxc 的结构特点：x的二次式,x 的最高次数是2 等号左边是函数,右边是关于自变量a, , 是常数, a是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：oo结论： a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；总结：a的符号

2、2开口方向顶点坐标对称轴x性质a0向上0,0y 轴0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 2. yaxc 的性质：结论：上加下减；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴x性质a0向上0,cy 轴0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x

3、0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：结论：左加右减；总结：4. a 的符号h开口方向顶点坐标对称轴x性质a0向上h,0X=h h 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随x的增大而减小；xh 时, y 有最小值 0 a0向下h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随x的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 ya x2k 的性质：总结：2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 的符号开口方向顶

4、点坐标对称轴性质a0向上h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随x的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随x的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式ya xh2k,确定其顶点坐标h,k； 保持抛物线y2 ax 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：y=ax2向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左 h0 【或下 k0【或下 k0】平移 |k|个单位y=a x-h2+k2k ； 2. 平移

5、规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移” 概括成八个字“ 左加右减,上加下减”三、二次函数ya xh2k 与yax2bxc 的比较请将y22 x4x5利用配方的形式配成顶点式；请将yax2bxc 配成ya xh总结：从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即ya xb24ac2 b,其中hb,k4acb22 aax24a2a4 ac 图象的画法四、二次函数ybx3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五点绘图法：利用配方法将二次函数 y

6、ax 2bx c 化为顶点式 y a x h 2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、 与 y 轴的交点 0,c、以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c、与 x 轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x轴的交点,与 y 轴的交点 . 2五、二次函数 y ax bx c的性质 1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4acb2b时, y有最小2 a2 a4 a当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时

7、, y 随 x 的增大而增大；当x2a2 a2 a值4 acb2当xb时, y 随4 a 2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb,顶点坐标为b,4 ac4 ab22a2a2ax 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 有最大值4ac2 b2a2a4a六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yax2bxxc （ a, b , c 为常数 ,a0）；x 轴两交点的横坐标）. 2. 顶点式：ya xh2k （ a , h , k 为常数 ,a0）；3. 两根式：ya xx 1x 2（a0,1x,x 是抛物线与留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并

8、非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24 ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc 中, a作为二次项系数,明显a0 当a0时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大； 当a0时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大总结起来, a打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - -

9、- - - - - - - 2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下,当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2 a 在 a 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2 a总结起来,在 a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置总

10、结： 3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的

11、坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x轴对称yax2bxc ；yax2bxc 关于 x轴对称后,得到的解析式是 2. ya xh2k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；关于 y轴对称 3. yax2bxc 关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是a xh2k ；y关于原

12、点对称yax2bxc 关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. ya xh2k 关于原点对称后,得到的解析式是ya xh2k ；2 nk关于顶点对称 5. yax2bxc 关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxcb2；2aya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xh2k 关于点m,n对称ya xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是ya xh2m2依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a 永久不变 求抛物线的对

13、称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与ax2x 轴交点情形）：y0时的特别情形 . 一元二次方程ax2bxc0是二次函数ybxc 当函数值图象与 x 轴的交点个数：当b24 ac0时,图象与x 轴交于两点A x 1,0,B x2,0x 1x 2,其中的x 1,x 2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx 2x 12 ba4 ac. 当0 时

14、,图象与x 轴只有一个交点；y0；当0 时,图象与x 轴没有交点 . 1 当a0时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有2当a0时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图象与y 轴肯定相交,交点坐标为0 ,c ；3. 二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与 x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a, b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称,可利

15、用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 0抛物线与x 轴有6 二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根名师归纳总结 两个交点可零、可负第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0抛物线与x 轴只0二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根与二次有一个交点x 轴无函数有0抛物线与二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 关的仍交点c a有二次三项式,二次三项式ax2bx本身就是所含字母x的二次函数； 下面以a0时为例, 揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=2x2y=x2y=x2 2y= -x2 2y= -x2y=-2x27 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - y=3x+42y=3x2y=3x-22y=-2x+32y=-2x2 y=-2x-32y=2x2+2y=2x2y=2x2 y=2x-42y=2x2-4y=2x-42-38 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页