2022年二次函数图像与性质总结 2.pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc 的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。4. 2ya xhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随

2、 x 的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 c a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时

3、，y随 x 的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或

4、左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）三、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同

5、的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，四、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x 轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y轴的交点 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

6、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料五、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而减小； 当2bxa时，y随 x的增大而增大； 当2bxa时，y有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，

7、y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ，b， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （ a ，h，k为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yax

8、bxc 中， a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

9、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a 确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物

10、线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标

11、，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称2ya xb xc关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

12、- 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料3. 关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线

13、的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：十一、y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=2 x2-4y=2 x2+2y=2 x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

14、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例 1】求作函数64212xxy的图象【解】)128(21642122xxxxy2-4)(214-4)(212222xx以4x为中间值，取x的一些值，列表如下：x-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y250 23-2 230 25【例 2】求作函数342xxy的图象。【解】)34(3422xxxxy7)2(7)2(22xx先

15、画出图角在对称轴2x的右边部分，列表【点评】 画二次函数图象步骤： (1)配方； (2) 列表；(3) 描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。二、一元二次函数性质【例 3】求函数962xxy的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】7)3(79626222xxxxxy由配方结果可知：顶点坐标为)73(，对称轴为3x；01当3x时，7miny函数在区间 3(，上是减函数，在区间)3，上是增函数。【例 4】求函数1352xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值。103)5(232ab，2029)5(431)5(44422abac

16、x-2 -1 0 1 2 y7 6 5 4 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029x05当103x时，函数取得最大值2029mazy函数在区间103,(上是增函数，在区间),3上是减函数。【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例3 (2

17、) 公式法：适用于不容易配方题目( 二次项系数为负数或分数) 如例 4， 可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22aabacabxay【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例 1 如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么 m的值为。例 2 抛物线422xxy的开口方向是；对称轴是；顶点为。2.关于二次函数的性质及图象例 3 函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，则 a、b、c，cba，cba的符号为，例 4 已知abc=0 9a3bc=0,则二次函数y=ax2bxc 的图像的顶点可能在（）（A） 第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限

18、（D）第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例 5 已知：函数cbxaxy2的图象如图：那么函数解析式为（）（A）322xxy（B）322xxy（C）322xxy（D）322xxy-1 O X=1 Y X 3 o -1 3 y x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y

19、=ax2+bx+c(a 0), 它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 例 7 如图： ABC是边长为 4 的等边三角形，AB在 X 轴上，点 C在第一象限， AC与 Y轴交于点 D， 点 A的坐标为（-1 ， 0）（1） 求 B、 C 、 D三点的坐标； （2） 抛物线cbxaxy2经过 B、C 、D三点，求它的解析式；642-6510DOCAB【练习题】一、选择题1. 二次函数247yxx的顶点坐标是 ( )A.(2, 11) B.（ 2，7） C.（2，11） D. （2， 3）2. 把抛物线22yx向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)yx B. 22(1)yx C.

20、 221yx D. 221yx3. 函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料4. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示, 则下列结论 : a,b 同号 ; 当1x和3x时, 函数值相等 ; 40ab当2y时, x的值只能取0. 其中正确的个数是 ( ) A.1 个 B

21、.2个 C. 3个 D. 4个5. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3xx和（） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A第一象限B第二象限C第三象限 D 第四象限7. 方程222xxx的正根的个数为（）A.0 个 B.1个 C.2个. 3 个8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22yxx B. 22yxxC.

22、22yxx或22yxx D. 22yxx或22yxx二、填空题9二次函数23yxbx的对称轴是2x，则b_。10已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果 y 随 x 的增大而减小， 那么 x 的取值范围是 _. 11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当x0 时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。12抛物线22(2)6yx的顶点为 C，已知直线3ykx过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数2241yxx的图象是由22yxbxc的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的 , 则 b= ,c=

23、。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段AB上离中心M处 5 米的地方，桥的高度是 (取 3.14). 三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是30 x, 图象经过 (1,-6),且与y轴的交点为 (0,52). (1) 求这个二次函数的解析式; (2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0? (3) 当 x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y随 x 的增大而增大? 第 15 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9

24、 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料16. 某种爆竹点燃后， 其上升高度h （米）和时间 t （秒） 符合关系式2012hv tgt（0t 2） ，其中重力加速度g 以 10 米/ 秒2计算这种爆竹点燃后以v0=20 米/ 秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由 . 17. 如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为

25、D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4 的点 P的坐标。一，选择题、1A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7C 8 C 二、填空题、 9 4b 10 x-3 11 如224,24yxyx等（答案不唯一）121 13-8 7 1415 三、解答题15 (1) 设抛物线的解析式为2bxcyax, 由题意可得解得15,3,22abc所以215322yxx(2)1x或-5 (2)3x16 （1）由已知得，211520102tt，解得123,1tt当3t时不合题意，舍去。32652baabcc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

26、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料所以当爆竹点燃后1 秒离地 15 米 （2）由题意得，2520htt25(2)20t，可知顶点的横坐标2t，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升17 （1） 直线3yx与坐标轴的交点A （3， 0） ， B （0，3） 则9303bcc解得23bc所以此抛物线解析式为223yxx （2）抛物线的顶点D（1， 4） ，与x轴的另一个交点C（ 1，0）. 设 P2( ,23)a aa，则211(423) :(44)5: 422aa.化简得2235aa当223aa0 时，2235aa得4,2aaP（4，5）或 P（ 2，5）当223aa0 时，2235aa即2220aa，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（ 2，5） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -