2022年函数定义域值域求法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式（或组）即得原函数的定义域；例 1 求函数yx22x15的定义域；|x3|8解：要使函数有意义,就必需满意x22x150x|x5；|x3|80由解得x x53 或或 xx5；11由解得和求交集得x3且x11或 x5；故所求函数的定义域为x|x3 且x11 例 2 求函数ysinx161x2的定义域；解：要使函数有意义,就必需满意sinx0x x2k,kZ16x204由解得2 k4由解得由

2、和求公共部分,得4x或0x4,0,故函数的定义域为评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情形；（1）已知fx的定义域,求fgx的定义域；fgx的定义域是解agxb,（2）其解法是：已知fx的定义域是a,b求即为所求的定义域；例 3 已知fx的定义域为2,2,求fx21的定义域；|x|3,从而解：令2x212,得1x23,即0x23,因此0axb,求3x3,故函数的定义域是x|3x3；（2）已知fgx的定义域,求fx 的定义域；其解法是：已知fgx的定义域是 a,

3、 b,求 fx 定义域的方法是：由gx的值域,即所求fx 的定义域；例 4 已知f2 x1 的定义域为 1,2,求 fx 的定义域；解：由于1x2,2 x4,2x15；即函数 fx 的定义域是x|3x5 ；三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范畴；特殊是对于已知定义域为 R,求 参数的范畴问题通常是转化为恒成立问题来解决；名师归纳总结 例 5已知函数ymx26mxm68的定义域为R 求实数 m 的取值范畴；x2项第 1 页,共 12 页分析： 函数的定义域为R,说明mx2mx8m0,使一切 xR 都成立, 由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

4、- - 的系数是 m,所以应分m=0 或m精品资料欢迎下载0进行争论；解：当 m=0 时,函数的定义域为R；是当m0时,mx26mxm80是二次不等式, 其对一切实数x 都成立的充要条件m04m m806 m20 m综上可知01m1；评注：不少同学简洁忽视m=0 的情形,期望通过此例解决问题；kx例 6 已知函数fxkx2kx73的定义域是R,求实数 k 的取值范畴；R,即4 kx解：要使函数有意义,就必需kx24kx3 0 恒成立,由于fx的定义域为24 kx30无实数当 k 0 时,16k243 k0恒成立,解得0k3；4当 k=0 时,方程左边 =3 0 恒成立；综上 k 的取值范畴是0

5、k3；4四、实际问题型这里函数的定义域除满意解析式外,仍要留意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍留意,并形成意识；例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域；解：设矩形一边为x,就另一边长为1a2 x于是可得矩形面积；2x,2yx1a2x1axx222x21ax；2由问题的实际意义,知函数的定义域应满意xa02x0x001a2x2a0 x；2故所求函数的解析式为 y x 2 1 ax,定义域为（ 0,a ）；2 2例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,如矩形底边长为求此框架围成的面积y 与 x 的函数关系式,

6、并求定义域；解：由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 CD=AB=2x ,所以CDx2精品资料AD欢迎下载CDL2 xx,x,所以LAB22故y2xL2 xx222 2 x Lx2依据实际问题的意义知0x2L2Lx,定义域（ 0,L2）；2x0L2xx02故函数的解析式为y2x2五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必需对分母分类争论；例 9 已知fx的定义域为 0,1,求函数F xfxa fxa的定义域；解：由于fx的定义域为 0,1,即

7、0x1；故函数F x的定义域为以下不等式组的解集：0xa1,即aaxx11aa0xa1即两个区间a,1a与 a,1+a的交集,比较两个区间左、右端点,知（1）当1 2a0时, F（x）的定义域为x|ax1a ；1时, F（x）的定义域为x|ax1a ；（2）当0a2（3）当a1或a1时,上述两区间的交集为空集,此时F（x）不能构成函数；22六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域,但是不留意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中, 例如函数的单调区间是其定义域的子集；求定义域；因此,求函数的单调区间,必需先例 10 求函数 y log 2 x 2 2 x 3 的单调区间；解：由 x 2

8、 2 x 3 0,即 x 2 2 x 3 0,解得 1 x 3；即函数 y 的定义域为（ 1,3）；函数 y log 2 x 2 2 x 3 是由函数 y log 2,t x 22 x 3 复合而成的；2 2t x 2 x 3 x 1 4,对称轴 x=1,由二次函数的单调性,可知 t 在区间, 上是增函数；在区间 , 上是减函数,而 y log 2 t 在其定义域上单调增；2 1, ,1 1,1, 1, 1,3,所以函数 y log 2 x 2 x 3 在区间 1, 上是增函数,在区间 1 , 上是减函数；函数值域求法十一种1. 直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；名师归纳

9、总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1. 求函数y1精品资料欢迎下载的值域；x解：x0,10x明显函数的值域是：, 00例 2. 求函数y3x的值域；解：x0x0, 3x3故函数的值域是：, 32. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例 3. 求函数yx22x,5x,12的值域；4,当x1时,y max8解：将函数配方得：yx124x,12由二次函数的性质可知：当 x=1时,y min故函数的值域是：4,8 3. 判别式法例 4. 求函数y11xxx2的值域；2解：原函数化为关于 x 的一元二次方程名师归纳

10、总结 y1x2y1x0y20（1）第 4 页,共 12 页（1）当y1时,xR124y1 y1 0解得：1y322（2）当 y=1时,x01,而1,322故函数的值域为1,322例 5. 求函数yxx2x的值域；解：两边平方整理得：2x22y1xxR4y1 28y0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得：12y12精品资料欢迎下载但此时的函数的定义域由 x 2 x 0,得 0 x 2由 0 ,仅保证关于x 的方程：2 x 2 2 y 1 x y 2 0 在实数集 R有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程（1）有实根,由 01 , 3求出

11、的范畴可能比 y 的实际范畴大,故不能确定此函数的值域为 2 2；可以实行如下方法进一步确定原函数的值域；0 x 2y x x 2 x 0y min 0 , y 1 2 代入方程（1）2 2 2 4 2x 1 ,0 2 解得：24x 1 2 2 2 2即当 2 时,原函数的值域为： 1,0 2 注：由判别式法来判定函数的值域时,如原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除；4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 6. 求函数3x4值域；46yx35x6解：由原函数式可得：x5y3就其反函数为：y46y,其定义域为：5 x35

12、故所求函数的值域为：,3 55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域；名师归纳总结 例 7. 求函数yex1的值域；1第 5 页,共 12 页ex1解：由原函数式可得：exyy1ex0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y10精品资料欢迎下载y1解得：1y1x3y,可化为：故所求函数的值域为1,1 例 8. 求函数ycosx3的值域；sinx解：由原函数式可得：ysinxcosy21sinxx3y即sinxx3y1y2xRsinxx1,1即13y11y2解得：2y244故函数的值域为2,2446. 函

13、数单调性法名师归纳总结 例 9. 求函数y2x5log3x12x10的值域；第 6 页,共 12 页解：令y12x5,y2log3x1就y1y2在2,10上都是增函数所以yy1y2在2,10上是增函数当 x=2时,ymin23log32118当 x=10时,ymax25log3933故所求函数的值域为：1,338例 10. 求函数yx1x1的值域；解：原函数可化为：yx12x1令y1x1,y2x1,明显y 1y2在 ,1上为无上界的增函数所以yy1,y 在 ,1上也为无上界的增函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以当 x=1时,yy1y精品资料欢迎

14、下载222有最小值2 ,原函数有最大值2明显y0,故原函数的值域为,027. 换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用；名师归纳总结 例 11. 求函数yxx1的值域；第 7 页,共 12 页解：令x1t,t0 就xt21yt2t1t12324又t0,由二次函数的性质可知当t0时,y min1当t0时,y故函数的值域为 ,1例 12. 求函数yx21x1 2的值域；解：因1x120即x1 21故可令x1cos,0,ycos11cos 2sincos12sin410,04542

15、sin41202sin4112故所求函数的值域为01,2例 13. 求函数yx4x3xx1的值域；22解：原函数可变形为：y112 x21x22x1x2可令xtg,就有12x2sin2,1x2cos 2x1x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y1sin2cos21精品资料欢迎下载sin424当k8时,y max1124当k8时,y min24而此时tan有意义；故所求函数的值域为1,12的值域；44例 14. 求函数ysinx1 cosx1,x12,解：ysinx1 cosx1 sinxcosxsinxcosx1令sinxcosxt,就sinxcos

16、x1t212y1t21 t11t1 222y32由tsinxcosx2sinx/4 且x12,2可得：2t22当t2时,y max32,当t2时,2242故所求函数的值域为32,32；422例 15. 求函数yx45x2的值域；解：由5x20,可得|x|5故可令x5cos,0,y5cos45sin10sin4405名师归纳总结 444105,410第 8 页,共 12 页当/ 时,y max4当时,y min454故所求函数的值域为：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的

17、距离公式直 线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目；例 16. 求函数yx22y|x82|的值域；解：原函数可化简得：x2|x8|上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）,B8间的距离之和；由上图可知,当点P在线段 AB上时,y|x2|x8|AB|10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,|x2|x8|AB|10故所求函数的值域为： 10 ,例 17. 求函数yx26 x13x24 x5的值域；解：原函数可变形为：yyx3 202 2x2 2012上式可看成 x 轴上的点Px, 0到两定点A,3 2,B,21 的距离之和,由 图 可 知 当 点P为

18、线 段 与x轴 的 交 点 时 ,min|AB| 32 221243,故所求函数的值域为43,例 18. 求函数yx26 x13x24 x5的值域；解：将函数变形为：yx3202 2x2 20B121, 到点Px, 0上式可看成定点 A（3,2）到点 P（x,0）的距离与定点2的距离之差；即：y|AP|BP|由图可知：（1）当点 P在 x 轴上且不是直线 AB与 x 轴的交点时,如点名师归纳总结 P , 就 构 成|A BP , 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 , 有第 9 页,共 12 页|AP|BP|AB32221226- - - - - - -精选学习资料 - -

19、 - - - - - - - 即：26y26精品资料欢迎下载（2）当点P恰好为直线 AB与 x 轴的交点时,有|AP|BP|AB|26综上所述,可知函数的值域为：26,26注：由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,就要使A,B两点在 x 轴的同侧；如：例 17的 A,B两点坐标分别为：（3,2）, 2 , 1,在 x 轴的同侧；例 18的 A,B两点坐标分别为（3,2）, ,2 1 ,在 x 轴的同侧；9. 不等式法利用基本不等式ab2ab,abc33abc,ab,cR,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析

20、式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧；例 19. 求函数ysinx1x2cosx1x24的值域；sincos解：原函数变形为：y1sin2xcos2x21x1xsin2cos2ces2xsec 2x3tan2xcot2x33tan2xcot2x5名师归纳总结 当且仅当tanxcotx第 10 页,共 12 页即当xk4时 kz,等号成立故原函数的值域为：,5例 20. 求函数y2sinxsin2x的值域；解：y4sinxsinxcosx4sin2xcosx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y16sin4xcos2x精品资料欢

21、迎下载8sin2xsin2x22sin2x2x/338 sin2xsin2x22sin64 27当且仅当 sin2x22sin2x,即当sin2x2时,等号成立；3由y264可得：893y89327893,893故原函数的值域为：10. 一一映射法原理：由于yaxbc0在定义域上 x 与 y 是一一对应的；故两个变cxd量中,如知道一个变量范畴,就可以求另一个变量范畴；例 21. 求函数y1x3x的值域；1 221解：定义域为x|x1或x2由y1x3 x得x1y2y321故x1y1或x1y12y322y32解得y3或y322故函数的值域为,33,2211. 多种方法综合运用名师归纳总结 例 2

22、2. 求函数yx02t21x1 时取等号,第 11 页,共 12 页3的值域；x解：令tx2t,就x3yt11,当且仅当 t=1,即t21t12（1）当t0时,t所以0y12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（2）当 t=0 时,y=0；综上所述,函数的值域为：0,12注：先换元,后用不等式法1 x 2 x 2 x 3 x 4例 23. 求函数 y1 2 x 2 x 4的值域；1 2 x 2 x 4 x x 3解：y1 2 x 2 x 4 1 2 x 2 x 42 21 x x1 x 2 1 x 21 x 2 22令 x tan2,就 1 x 2 cos1 xx 2 12 siny cos 2 1 sin sin 2 1 sin 12 22sin 1 174 16sin 1y max 17当 4 时,16当 sin 1 时,y min 2此时 tan2 都存在,故函数的值域为 ,2 1716注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin的有界性；总之,在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特征,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页