2022年二次函数与一元二次方程的关系.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校 彭足琼 凡是学过中学数学的同学,你问他们中学数学中,最难的学问 是什么？他们会不约而同地说： “ 二次函数” ；没错,不仅仅是同学觉 得二次函数难, 包括全部从事中学数学教学的一线老师也会有同样的 感受；所以,怎样才能学好二次函数,成为了中学同学和老师最最苦 恼的问题； 二次函数之所以难, 我认为二次函数难就难在函数本身就 是一个比较抽象的学问, 再加上二次函数有三个参数, 比一次函数和 反比例函数都多,仍有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的学问,它仍可以把中学全部的代数和几何学问放入其中,为各个

2、地区中考的压轴题变成了理所当然的事；可见,二次函数成既然二次函数题可以把中学全部的代数和几何学问放入其中,因此,把二次函数与其它学问紧密联系起来,是我们老师和同学必需把握的本事； 这里,我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及 怎样运用一元二次方程的学问来解决一些二次函数的题目,期望能给 同学们和老师一点点启示和收成；1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区分；我们清晰的 明白,形如： ax 2 +bx+c=0（a、b、c 为常数,且 a 0）的方程是一元二次方程,而形如： y= ax2 +bx+c（a、b、c 为常数, a 0）是二次函数；仔细观看一元二次方程：ax2 +bx+c=0（a

3、、b、c 为常数,且 a 0）和二次函数： y= ax2 +bx+c（a、b、c 为常数, a 0）,不难发现,它们在形式上几乎相同, 差别也只是一元二次方程的表达式等于1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0,而二次函数的表达式等于y；为什么会这样？主要是由于当二次函数中的变量 y 取 0 时,二次函数就变成了一元二次方程；2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系；正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似,使得二者在二次函数的图像上的关系特别亲密； 二次函数的图像是一条抛物线, 在求抛物线：y= ax2

4、 +bx+c 与 x 轴的交点坐标时,令y=0, 即：ax2 +bx+c=0,二次函数一下就变成了一元二次方程,再求出该方程的解, 这个方程的解便是抛物线与 x 轴的交点坐标的横坐标； 由于一元二次方程ax2 +bx+c=0的根有三种情形 b2-4ac 0 时有两个不等的实数根； b2-4ac=0 时有两个相等的实数根 b2-4ac 0 时没有实数根,所以相应地：抛物线 y= ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点情形有 3 种：当 b2-4ac 0 时,抛物线与 x 轴有两个交点当 b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有一个交点当 b2-4ac 0 时,抛物线与x 轴有没有交点；因此,一元

5、二次方程ax2 +bx+c=0 的解就是二次函数y= ax2 +bx+c 的图像与 x 轴的交点的横坐标；二次函数 y= ax2 +bx+c 的图像与 x 轴的交点情形与一元二次方程： ax 2 +bx+c=0 的根情形有关；可见二者在二次函数的图像上的关系特别亲密；3、应用一元二次方程解决二次函数问题；正是由于一元二次方程与二次函数无论在形式上,仍是在图形上,关系都非常紧密,所以 在解决许多二次函数题时, 常常都要应用一元二次方程的学问； 这里,我就列举几个典型题：典型例题（ 1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1 的值2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2

6、页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 恒为正；分析：要证明该函数的函数值恒为正,只要能够证明到该抛物线的开口向上且与x 轴没有交点即可,二次函数y= ax2 +bx+c 中,当 a0 时,图像开口向上；当b2-4ac 0 时,抛物线与 x 轴没有交点；所以此题只需证明到 a0 同时 b2-4ac 0；证明： y=3x2+（2m+3）x+2m2+1 3 6 3 =（2m+3）2-12（2m2+1）=-20（m-10）2-5,（ m-10）23 3 60,-20 （m-10）20, =-20（m-10）2-50,抛物线与x 轴没有交点,30,抛物线开口向上,二次函数 y=

7、3x2+（2m+3）x+2m2+1 的值恒为正 . 典型例题（ 2）：二次函数的图象过点（ 1,0）、（3,0）,且与y 轴交于（ 0,3）,求该二次函数的解析式；此题除了用二次函数的交点式和一般式来解外,仍可以用一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理来解决该题； 过程如下：设抛物线的解析式为： y=ax 2 +bx+c, 抛物线与 y 轴交于（ 0,3）,c=3, 二次函数的图象过点（1,0）、（3,0）,一元二次方程： ax 2 +bx+c=0 的两个根为 x 1 =-1,x 2=3,3 ba =-1 3,a=-1, -1 =-1+3, b=2, 二次函数的解析式为：y=-x 2+2x+

8、3 1x1）xk（1）典型例题（ 3）: 如图,已知抛物线 y=22（k 2试求 k 为何值时,抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如抛物线与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左边）,与 y 轴的负半轴交于点 C,3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 试问：是否存在实数k,使 AOC与 COB相像？如存在,求出相应的 k 值；如不存在,请说明理由1 1分析：问题（ 1）抛物线 y=2 x 2（k 2）xk 与 x 轴只有一1 1个公共点, y=2 x 2（k 2）xk 中 =0,从而可以求出 k 的值；AO C

9、O问题（ 2）如 AOC和 COB中,当 BO CO 时,就 AOC和 COB相AO CO似；当 CO BO 时,就 AOC和 COB相像； A、B两点的横坐标就是1 1一元二次方程 2 x 2（k 2）xk =0 的两个解,所以线段 OA和 OB可以用含 k 的代数式表示出来,从而建立方程可以把 k 的值求出来；1 1详细步骤如下：解：（1）抛物线抛物线 y=2 x 2（k 2）xk 与1 2 1 1-（k）4 k 0x 轴只有一个公共点,2 2；（ k-2）2=0,1 1 1k=2；2 c（0,k）且 k0,OC=-k,2 x 2（k 2）xk =0 ,1 1 2k k 2 22 1x=

10、2 , k 0, x 1=2k, x2 =1, OA=-2k,OB=1, 当AO CO 2 k k 1 AO COBO CO 时, AOC BOC,1 k,k=-2 ; 当 CO BO 时,2 k k 1 AOC COBk 1 , k=-2, 当 k=-2 或-2 时 AOC和 COB相像；通过上面的 3 个例子,你得到了什么启示, 又有哪些收成？正是4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于二次函数与一元二次方程有着亲密的关系,所以在解决二次函数问题时常常会应用二元一次方程的学问；我们肯定要牢牢把握好二次函数与一元二次方程的亲密关系,在面对二次函数时, 奇妙的运用一元二次方程的学问来解决二次函数中的问题；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页