2022年初中数学概念整理 2.pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1、整数整数（ Integer） ：像-2，-1，0，1，2 这样的数称为整数。整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。如何分类我们以 0 为界限，将整数分为三大类a、正整数，即大于0 的整数如， 1，2，3，n， b、0 既不是正整数，也不是负整数，他是介于正整数和负整数的数c、负整数，即小于0 的整数如， -1，-2，-3，-n，2、分数把整体 “1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份 ,分子是表示这样几份的数。把1 平均分成分母份，表示这样的分子份。分子在上分母在下， （如这样表示ba）也可以把它当做除法来看

2、，用分子除以分母，相反除法也可以改为用分数表示。百分数与分数的区别（1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。（2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除0 以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。（3）任何一个百分数都可以写成分母是100 的分数，而分母是100 的分数并不都具有百分数的意义。（4）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中的不到整数结果时使用。3、正数与负数正数：大于0 的数叫正数。

3、如1、15、3000、负数：比零小（0， 必可找到一个自然数n， 使 nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。有理数加减混合运算1.理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。2.有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数；正数、负数和零；

4、负有理数，非负有理数11、乘方乘方的意义、各部分名称及读写在na中，相同的乘数a 叫做底数 (base number)，a 的个数 n 叫做指数 (exponent)，乘方运算的结果na叫做幂 (念 m ） 。na读作 a的 n 次方，如果把na看作乘方的结果，则读作a 的 n次幂。2a或 a 的二次方（或a 的二次幂）也可以读作a 的平方；3a或 a 的三次方（或a 的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料

5、收集于网络，仅供参考学习资料三次幂）也可以读作a 的立方。每一个自然数都可以看作这个数的一次方，也叫作一次幂。如：8 可以看作18。当指数是 1 时，通常省略不写。运算顺序：先乘方，再括号，接乘除，尾加减。（1） 、相同乘数相乘的积用乘方表示（2） 、根据乘方的意义计算出答案1）49； 2）n0。49=9 9 9 9=6561 可以看出n0=0（n 为正数）（3） 、0n=1（n0 ）（4） 、区别易混的概念1）38与 8 3； 2) 5 2 与25； 3）254与2)54(（5） 、计算一个数的小数次方，如果那个小数是有理数，就把它化为p/q（即分数）的形式，那么任何一个数n 的 p/q 次

6、方就等于n 的 p 次方再开 q 次根号七年级上1.5.1 12、单项式数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式(单项式是整式，而不是分式） ） 。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。任何一个非零数的零次方等于1。注意：1） 、分母含有未知数的式子不属于单项式。例如，x1不是单项式。2） 、单独的一个数字或字母也是单项式。例如，1和yx2也是单项式，nm5.0不是单项式。单项式是字母与数的乘积。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数。如：2xy 的系数是2；-5zy 的系数

7、是 -5 字母 t 的指数是 1，100t 是一次单项式如：abg、3xy、b 都是单项式。用运算符号把表示数的字母或数连接起来的式子叫代数式。代数式不含有“”、“ ” 、“ ” 、“”符号等单项式书写规则：数与字母相乘时，数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数单项式是几次，就叫做几次单项式字母不能在分母中“”是数，不是字母,读 pai 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - -

8、 - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料注意1.数字写在字母的前面，省略乘号。5a 、16xy 等 2.常数 (也就是自然数）的次数为0。3.单项式分母不能为字母。（因为这样为分式，不为单项式）4. 是常数，因此也可以作为系数。5.若系数是带分数，要化成假分数。6.但一个单项式的系数是1 或-1 时， “1”通常省略不写，如（-1）ab 写成 -ab 等。7.在单项式中字母不可以做分母,分子可以。【注：像三分之a+b 之类的不是单项式】8.单项式中系数不为0，否则单项无意义。单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数

9、作为积的一个因式13、多项式若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫做常数项。如一式中：最高项的次数为5，此式有 3 个单项式组成，则称其为：五次三项式。比较广义的定义，1 个或 0 个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起的定理：0 作为多项式时，次数为负无穷大。注意：（1）由于多项式的每一项都是单项式，股每一项既有系数，又有次数，整个多项式没有系数； （2）多项式的次数是组成多项式的各单项式中次数

10、最高的那个单项式次数；（3）把多项式的项和次数结合起来，通常叫做几次几项式，如12xx是二次三项式； （4）多项式的每一项都包括其前面的符号。14、整式整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算 ,但在整式中除数不能含有字母 .单项式和多项式统称为整式. 2x/3 是单项式、 0.4X+3 是多项式，他们都属于整式。而x/y 不是整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者 ,则称为整式 . 代数式 :由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如:ax 2

11、b，23，b2/26，a+2 等。注意：1、不包括等于号（=、 ） 、不等号（ 、 、 、） 、约等号 。 2、可以有绝对值。例如：|x|，|-2.25| 等。整式不包括开方，分母是字母的数。整式可以分为定义和运算,定义又可以分为单项式和多项式,运算又可以分为加减和乘除. 加减包括合并同类项,乘除包括基本运算、法则和公式,基本运算又可以分为幂的运算性质,法则可以分为整式、除法,公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂.数与字母的乘积叫做单项式。几个单项式的和是多项式。单项式与多项式统称为整式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。单项式中所有字母的指数和叫做单项式的指数。多项式中次数最高名师

12、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料项的次数叫做多项式的次数。多项式可以按降幂和升幂排列，（1）升幂： 按照多项式中制定的未知数的次数从低到高排列；（ 2） 降幂：按照多项式中制定的未知数的次数从高到低排列。七年级上2.1 15、分式分式的基本概念：形如A/B ，A、B 是整式， B 中含有未知数且B 不等于 0 的整式叫做分式(fraction) 。其中 A 叫做分式的分子，B 叫

13、做分式的分母。掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B 的形式，关键要满足。（1）分式的分母中必须含有未知数。（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。整式和分式统称为有理式。带有根号的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式分式的法则1）.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分。2).分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。3）. 分式的加减法法则：同分母的

14、分式相加减，分母不变，把分子相加减。4）.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2 和 2/3 可化为9/6和 4/6.即： 3*3/2*3 ，2*2/3*2 ！5）.异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。注:分式的概念包括3 个方面：分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中

15、某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。分式的基本性质和变形应用1.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以） 同一个不为0 的整式， 分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=AC/BC （A,B,C 为整式，且 C0 ）2.约分 :把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分3.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去 . 注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母

16、取分子和分母共有的字母 ,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 4.最简分式 :一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时 ,一般将一个分式化为最简分式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料5.通分 :把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分. 6.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公

17、分母 .同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. 注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积. 注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质2.(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程. 分式的四则运算1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变 ,把分子相加减.用字母表示为：a/c b/c=a b/c 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分 ,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b c/d=ad cb/bd 3.分式的乘法法则:两个分式相乘 ,把分子相乘的积作为积的分子,

18、把分母相乘的积作为积的分母 .用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b c/d=ad/bc (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b c/d=a/b*d/c 16、方程含有未知数的等式叫方程方程（英文： equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。等式的基本性质1 等式两边同时加(或减 )同一个数或同一个代数式，所得

19、的结果仍是等式。用字母表示为：若ab，c 为一个数或一个代数式。则：(1)a+cb+c (2)a-cb-c 等式的基本性质2 等式的两边同时乘或除以同一个不为的数所得的结果仍是等式。()若 a=b,则 b=a（等式的对称性） 。()若 a=b,b=c 则 a=c（等式的传递性） 。用字母表示为：若ab，c 为一个数或一个代数式（不为）。则：a c=b c a cb c 方程的一些概念：方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。解方程的依据：1.移项；2.等式的基本性质；3.合并同类项；4. 加减乘除各部分间的关系。解方程的步骤：1.能计算的先计算

20、；2.转化 计算 结果17、一元一次方程只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。通常形式是ax+b=0(a，b 为常数，且a0 ） 。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料我们将 ax+b=0（其中 x 是未知

21、数， a、b 是已知数，并且a0 ）叫一元一次方程的标准形式。这里 a 是未知数的系数， b 是常数， x 的次数必须是1。一元一次方程英文是(linear equation in one）性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二:等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0 的数，等式仍然成立。等式的性质三:等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减一同一个数，等式仍然成立。一般解法1）去分母方程两边同时乘各分母的最大公倍数。2）去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但

22、顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。3）移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样： （比方）从5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！ 4）合并同类项将原方程化为ax=b(a0) 的形式。5）系数化一方程两边同时除以未知数的系数。6）得出方程的解。同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。方程的同解原理：（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。（2）方程的两边同乘或同除同一个不为的数所得的方程与原方程是同解方程。做一元一次方程应用题的重要方法：

23、（1）认真审题（2）分析已知和未知的量（3）找一个等量关系（4）设未知数（ 5）列方程（6）解方程（ 7）检验（ 8）写出答18、二元一次方程二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1 的整式方程， 叫二元一次方程二元一次方程组定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5 6x+13y=89 解：由得x=5

24、-y 把带入，得6(5-y)+13y=89 ，解得 y=59/7 把 y=59/7 带入，得x=5-59/7 ，即 x=-24/7 x=-24/7，y=59/7 这种解法就是代入消元法。加减消元法例：解方程组x+y=9 x-y=5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解： +，得 2x=14，即 x=7 把 x=7 带入，得7+y=9，解得 y=2 x=7，y=2 这种解法就是加减

25、消元法。二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组 x+y=5 6x+13y=89 的解为 x=-24/7 ，y=59/7。2.有无数组解如方程组 x+y=6 2x+2y=12 ，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作 “ 方程有两个相等的实数根” ） ，所以此类方程组有无数组解。3.无解如方程组x+y=4 2x+2y=10 ，因为方程化简后为x+y=5 ，这与方程相矛盾，所以此类方程组无解。20、一元二次方程在一个等式中， 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式

26、方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为)0(02acbxax的形式， 则这个方程就为一元二次方程（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足)0(a一般解法1）配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x2+2x3=0 解：把常数项移项得：x2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x2+2x+1=4 因式分解得： （x+1)2=4 解得： x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2）公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过b2-4ac 的值来判断一元二次方程

27、有几个根1.当 b2-4ac0 时 x 无实数根（初中）2.当 b2-4ac=0 时 x 有两个相同的实数根即 x1=x2 3.当 b2-4ac0 时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3 两种情况方程有根则可根据公式：x=- b（b24ac）/2a 来求得方程的根3）因式分解法 （可解部分一元二次方程） （因式分解法又分“ 提公因式法 ” 、“ 公式法（又分 “ 平名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - -

28、- - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料方差公式 ” 和“ 完全平方公式” 两种） ” 和 “ 十字相乘法 ” 。如：解方程：x2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式分解得：（ x+12=0 解得： x1=x2=-1 4.直接开平方法（可解部分一元二次方程）如何选择最简单的解法：（1） 、看是否可以直接开方解；（2） 、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）；（3） 、使用公式法求解；（ 4） 、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦） 。例题精讲：1） 、直接开平方法：直接开平方法就

29、是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n 0)的方程，其解为x=m n 例 1解方程（ 1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2 ，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解： (3x+1)2=7 (3x+1)2=7 3x+1=7( 注意不要丢解 ) x= . 原方程的解为x1=.,x2= . （2）解：9x2-24x+16=11 (3x-4)2=11 3x-4=11 x= . 原方程的解为x1=.,x2= . 2配方法：例 1 用配方法解方程

30、3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方： (x-)2= 直接开平方得：x-=x= 原方程的解为x1=,x2= . 3公式法：把一元二次方程化成ax2+bx+c 的一般形式，然后把各项系数a, b, c 的值代入求根公式就可得到方程的根。当 b2-4ac0 时，求根公式为x1=- b+(b2-4ac)/2a,x2=-b- (b2 -4ac)/2a（两个不相等的实数根）当 b2-4ac=0 时，求根公式为x1=x2=-b/2a （两个相等的实数根）当 b2-4ac0

31、x= = = 原方程的解为x1=,x2= . 4因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式， 让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例 4用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 ( 选学）(4)x2-4x+4=0 （选学）(1)解： (x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 ( 方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 ( 方程左边分解因式)

32、x-5=0 或 x+2=0 ( 转化成两个一元一次方程) x1=5,x2=-2 是原方程的解。(2)解： 2x2+3x=0 x(2x+3)=0 ( 用提公因式法将方程左边分解因式) x=0 或 2x+3=0 ( 转化成两个一元一次方程) x1=0，x2=-3/2 是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0 这个解，应记住一元二次方程有两个解。(3)解： 6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 ( 十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 2x-5=0 或 3x+10=0 x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。(4)解： x2-4x+4 =0 （ 4 可分

33、解为2 2 ，此题可用因式分解法）(x-2)(x-2 )=0 x1=2 ,x2=2 是原方程的解。小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法） ，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是， 配方法在学习其他数学知识时有广泛的

34、应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法） 。21、分式方程分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的方程叫做分式方程（fractional equation ） 。例如 100/x=95/x+0.35 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料分式方程的解法：去分母 方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母 :系数

35、取最小公倍数出现的字母取最高次幂出现的因式取最高次幂）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号;按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号,注意变号 ,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;验根 (求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根 ). 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。一般的， 解分式方程

36、时， 去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是 “ 去分母 ” ，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。例题：（1）x/(x+1)=2x/(3x+3)+1 两边乘 3(x+1) 3x=2x+(3x+3) 3x=5x+3 2x=-3 x=-3/2 分式方程要检验经检验， x=-3/2 是方程的解（2）2/（ x-1）=4/（x2-1）两边乘 (x+1)(x-1) 2(x+1)=4 2x+2=4 2x=2 x=1 分式方程要检验把

37、 x=1 带入原方程，使分母为0，是增根。所以原方程2/x-1=4/x2-1 无解一定要检验！ ！检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x=a 使最简公分母为0,则 a 是原方程的增根.若x=a 使最简公分母不为零,则 a 是原方程的根 .注意：可凭经验判断是否有解。若有解，带入所有分母计算：若无解，带入无解分母即可22、不等式一般的，用符号“ ” （或 “”） ，“ ” （或 “”） , “”连接的式子叫做不等式。不等式中可以含有未知数，也可以不含）不等式的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子 )，不等号的方向不变。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

38、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（4）不等式的两边都乘以0,不等号变等号。不等式的基本性质（字母表示）性质 1：如果 ab,那么 a cbc 性质 2：如果 ab，c0，那么 acbc(或 a/cb/c) 性质 3：如果 ab，c0，那么 acbc(或 a/c0 时，图像位于第一、三象限，y 随 x 的

39、增大而增大（单调递增）；当 k0), 此时的y与 x,同时扩大，同时缩小，比值不变例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料以上各种商都是一定的，那么被除数和除数所表示的两种相关联的量，成正比例关系 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量， 随着另一种的变化而变化，但它们相对应

40、的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。30、一次函数一次函数（ linear function ） ，也作线性函数，在x,y 坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和 y，并且对于x 每一个确定的值，在y 中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是 x 的函数，也可以说x 是自变量， y 是因变量。表示为ykx b（k0 ，k、b 均为常数），当 b0 时称 y 为 x 的正比例函数，正比

41、例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。现在是初二教学本里最难的一章（当然有一些人例外） ，应用最广泛，知识最丰富的数学课题相关性质函数性质：1）y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k. 即： y=kx+b （ k0) （ k 不等于 0，且 k、b 为常数），当 x 增加 m， k（x+m)+b=y+km,km/m=k。2）当 x=0 时， b 为函数在y 轴上的点 ,坐标为 (0，b)。3）当 b=0 时(即 y=kx) ， 一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4）在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k 相同， b 也相同时，两一次函数图像

42、重合；当两一次函数表达式中的k 相同， b 不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k 不相同， b 不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k 不相同，b 相同时，两一次函数图像交于y 轴上的同一点 （0，b） 。图像性质1）作法与图形：通过如下个步骤：（1）列表 . （2）描点； 一般取两个点,根据 “ 两点确定一条直线” 的道理，也可叫“ 两点法 ” 。（3）连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x 轴和 y 轴的交点分别是-k 分之 b 与 0，0与 b）. 2）性质：（1）在一次函数上的任意

43、一点P（x，y） ，都满足等式：y=kx+b(k 0) 。 （2）一次函数与y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（ -b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4）k，b 与函数图像所在象限：y=kx 时（即 b 等于 0，y 与 x 成正比例 )：当 k0 时，直线必通过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小。y=kx+b 时：当 k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k0,b0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；名师资料总结 - - -

44、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料当 k0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当 k0,b0 时，图象分别位于第一、三象限， 同一个象限内， y 随 x 的增大而减小； 当 k0 时，函数在x0 上同为减函数；k0 时，函数在x0 上同为增函数。定义域为 x0 ；值域为y0 。3.因为在 y=k/x(k 0) 中， x 不能为 0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能

45、与y 轴相交。4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点 P，Q 分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2 则 S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6.若设正比例函数y=mx 与反比例函数y=n/x 交于 A、B 两点（ m、n 同号），那么 A B两点关于原点对称。7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n ，要使它们有公共交点，则n²+4k m （不小于） 0。8.反比例函数y=k/x 的渐近线： x 轴与 y 轴

46、。9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称 ,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m 向 x、y 分别做垂线，交于q、w，则矩形 mwqo（o 为原点）的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。32、二次函数二 次 函 数 是 指

47、 未 知 数 的 最 高 次 数 为 二 次 的 多 项 式 函 数 。 二 次 函 数 可 以 表 示 为f(x)=ax2+bx+c(a不为 0)。其图像是一条主轴平行于y 轴的抛物线。一般式y=ax2+bx+c(a0,a 、b、c 为常数 )，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ；顶点式y=a(x+h)2;+k(a 0,a 、h、k 为常数 ),顶点坐标为（ -h，k）或（h,k）对称轴为 x=-h 或 x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ax2;的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x- x2) (a 0) 仅限于与 x 轴

48、即 y=0 有交点 A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线 ,即 b²-4ac=0 ；由一般式变为交点式的步骤：x1+x2=-b/a x1x2=c/a y=ax2;+bx+c=a(x2;+b/ax+c/a) =ax2;-(x1+x2)x+x1x2=a(x-x1)(x-x2) 重要概念： a，b，c 为常数， a0 ，且 a 决定函数的开口方向。a0 时，开口方向向上；a0 时, 函数图像与x 轴有两个交点。当 =b24ac=0 时 ,函数图像与x 轴有一个交点。当 =b24ac0 时 ,函数图像与x 轴没有交点。轴对称1）二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者 x=

49、-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0 时，二次函数图像的对称轴是y 轴（即直线x=0）a,b 同号，对称轴在y 轴左侧b=0,对称轴是y 轴a,b 异号，对称轴在y 轴右侧顶点2）二次函数图像有一个顶点P，坐标为 P ( h,k ) 当 h=0 时， P 在 y 轴上；当 k=0 时， P 在 x 轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a 开口3）二次项系数a 决定二次函数图像的开口方向和大小。当 a0 时，二次函数图像向上开口；当a 0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。28、点到直线的距离名师资料总结 - - -

50、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离29、平行线在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线(parallel lines) ，平行线具有传递性。平行线的判定方法1）平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。）2）平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。4）内错角相等，两直线平行。