2022年大一微积分复习资料.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 函数一本章重点 复合函数及分解,初等函数的概念；二复习要求1、 能娴熟地求函数定义域；会求函数的值域；2、懂得函数的简洁性质,知道它们的几何特点；3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式,知道它们的定义域、值域、性质及图形特 点；其中 . 对于对数函数 y ln x 不仅要熟记它的运算性质,仍能娴熟应用它与指数函数 y e x 互为反函数的关系,能娴熟将幂指函数作如下代数运算：u v e v ln u. 对于常用的四个反三角函数,不仅要熟习它们的定义域、值域及简洁性质,仍要熟记它们在特

2、殊点的函数值 . 4、 把握复合函数,初等函数的概念,能娴熟地分解复合函数为简洁函数的组合；5、 知道分段函数,隐函数的概念；. 三例题选解 例 1. 试分析以下函数为哪几个简洁函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？.ye sin x；.yarctan112x分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行,每一步的中间变量都必需是基本初等函数或其线性函数（即简洁函数）解：.yeu ,uv2,vsinx.yarctanu,u1,vx21.yarc cotx的 定 义 域 是v例 2. yarccotx 的定义域、值域各是什么？arc cot1？答：yarc cot x是yco

3、tx,x0,的 反 函 数 , 根 据 反 函 数 的 定 义 域 是 原 来 函 数 的 值 域 , 反 函 数 的 值 域 是 原 来 函 数 的 定 义 域 , 可 知Df,值域为Zf0,. arc cot14四练习题及参考答案1. f xarctanx,值域为. 就 fx定义域为f1 = ；f02.fxarcsinx,值域为. 就 fx定义域为f1 = ；f 323.分解以下函数为简洁函数的复合：名师归纳总结 .ye3 x第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - .ylnx31答案：1.（- + ） , 2,2,4,02.1,1

4、 ,2,2,2,3.3. .yeu,u3x.ylnu,ux31.自我复习：习题一.（ A ）55、；习题一 .（ B）.11. 其次章 极限与连续 一本章重点 极限的运算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性；二复习要求1明白变量极限的概念,把握函数fx在 x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等；2.懂得无穷小量与无穷大量的概念和关系,把握无穷小量的运算性质,特殊是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小；例如：lim x 0xsin10,lim xsinx0xx3.会比较无穷小的阶；在求无穷小之比的极限时,利用等价无穷小代换可使运算简化,常用的等价无穷小代换有：当x0 时,有

5、：1 的如下扩展形式求 1型未定式sin x； tanxxex1 ;ln1 x; n1 1xn1cos 2 . . 2（参见教材P79）4.把握两个重要极限: .lim x 0sinx1 .lim1 x1xelim1 x 0xxxx记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式变形式 .并能娴熟应用其求极限,特殊是应用重要极限极限：lim1 xkxeklim1 x 0kx1lim1 xkxeklim1 x 0kx1fx在分段点xxxx5.把握函数连续的概念,知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的,分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点；函数x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在

6、且等于f x0,即：x lim xf x 0 f x0f x0. 当分段函数在分段点x0的左右两边表达式不相同时,函数 fx在分段点 x0处连续的充要条件就是：lim x x 0f x lim x x 0f x 6. 把握函数间断点及类型的判定；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的不连续点称为间断点,函数fx在x点间断,必至少有以下三种情形之一发生：、f x 在x点无定义；、lim x xf 0x不存在；、存在lim x xf 0x,但x lim xf x f x 0. x0为f x 的第一类间断点,特殊lim

7、 x x 0fx如x 0为f 的间断点,当lim x x 0fx 及lim x x 0fx都存在时,称lim x x 0fx 时（即x lim xf x 0 存在时）,称x 为fx的可去间断点；fxlim x x 0fx时称x为f 的跳动间断点；lim x x 0不是第一类间断点的都称为其次类间断点；7.明白连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特殊要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值；8.能够娴熟地利用极限的四就运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材 P69公式（ 2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法就 第四章 求函数的极限；三.例题选解例

8、1.单项挑选题以下极限中正确选项（B. lim x）11C. lim x 0sinx21D. lim x 0tanx1A.lim xsinx1sinx1xxxx 当x0时,122 x1是2 sin x的（）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小,但不是等价无穷小；D. 等价无穷小；分析与解：A 与 C 明显都不对,对于D, 1记f x tanx,x就f tanxx0xtanxx0xx lim 0f x x lim 0tanx1xlim x 0f x lim x 0tanx1lim x 0f x x即 D 也不对,剩下的B 就是正确答案；由于lim x 012x21代换lim x 02x

9、2lim x 0x22 2 xsin2xx2 应挑选 D. 例 3.求极限：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0ln1x2 lim xx2x1cos xx5解: 此极限为0型2, 1cosx x20当x0时,有ln1x2x2lim x 0ln1x2lim x 0x21cosx2x 22 此极限为 1 型,可用重要极限；lim x xx 25 xlimx 1x 35 xlimx 1x 35 x3 5x 35xlimx 1x 35 x3 5x 35xe. 3 lim 3x lim 3 x3 x x 5 x

10、x 52例 2判定函数 y 2 x 9 的间断点,并判定其类型；x x 62解：由于 y 2 x 9 x 3（x +3x x 6 x 3 x 2x 3, x 2 是函数 y 无定义的点,因而是函数 y 的间断点；lim x 3 x 3lim x 3 6x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 5x 3 为函数 y 的可去间断点；x lim 2 xx 33 xx 32 x lim 2 xx 32x 2 为函数 y 的其次类（无穷型）间断；例 3函数fx1cosxx0x0 的左右两边表达式相同,因此f 在x0连续的充要条件是2x2x0k在点x0处连续,求常数k . 分析与解：由于分段函数f x 在分

11、段点lim x 0f f0k.1. 8x21. 8klim x 0fxlim x 01cosx代换lim x 028 x 2x2四.练习题及参考答案名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.填空.当x2x0时, ex1sin 2x与 1x1ln12 相比,是 _无穷小；.lim x1x_； .lim x 0cos3 1tan x32 x 2 e 1ln1 5 x _. 2x32.单项挑选题设yx23x2,下面说法正确选项_；x5x6A.点x3,x2都是可去间断点；B.点x2是跳动间断点,点x3是无穷间断点；C.点x2是

12、可去间断点,点x3是无穷间断点；D.点x2是可去间断点,点x3是跳动间断点；下面正确选项 _.A.lim x 0tanx1；B. lim x 0xsin10； C. lim x 0tanx不存在；D. lim x 0tanx1. xxxx答案 :1. .同阶而不等价的； .e2； .3. 2. .C; .B . 20自我复习 .习题二 A 11. 4. 24. , 4, . 27. . 4.28. , . 30. . 37 , . 习题二 B.14.第三章 导数与微分 一.本章重点 . 导数的概念,导数及微分的运算 . 二.复习要求1.把握函数x在x 处可导的定义,并能娴熟应用导数的定义式求分

13、段函数在分段点的导数；0xfx0导数是一个逐点概念,x在x处的导数的定义式常用的 有如下三种形式：fx0lim x0fxxlim h 0fx0hfx 0hlim x x0fxfx0. xx02.知道导数的几何意义,会求x在x处的切线方程；3.熟记基本求导公式及求导的运算法就,娴熟把握以下求导方法,并能娴熟应用它们求函数的导数：运用基本求导公式及求导的四就运算法就求导；复合函数求导法；隐函数求导法；取对数求导法；4.懂得高阶导数的概念,能娴熟求函数的二阶导数；5.懂得微分的概念,能应用微分基本公式及运算法就求函数的微分；6.把握函数可微 ,可导及连续的关系；三.例题选解名师归纳总结 - - -

14、- - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1.求以下函数的导数：yf1x2,求y,y. y =x3 x, 求y.设 y =etan x,求 dy. yln1x3,求 y解：、此题为抽象函数求导,由复合函数求导法,得：yf 1x21x2x；f1x2 2x2xf1x2. y2f1x22xf1x2 22f1x242 x f1x2 此题为幂指函数求导,必需用取对数求导法原方程两边取对数：ln y 3 x ln x上式两边对 x 求导,视 y 为中间变量 : 3x1 2ln 2x1y=23xlnx3x1y3xyy31 ln 2x1xx3x31 ln 2x

15、13xx注：此题除此方法外,也可以：名师归纳总结 ye3xlnxx: . 第 6 页,共 13 页ye3xlnx21x3lnx3 x13xyetanxtanxetanx2 secdyetanx2 secxdx. y3x231xy6 1x3x3x23x23 2x3x313212例 2. 设x在x1处可导 ,且12. 求lim x 143 x1分析 : 将x在x1处的导数的定义式懂得为结构式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1=lim 011其中为xx1或x的函数 . 且当x0时,0即可 . 解: 名师归纳总结 lim x143x10lim x0（fx）f

16、0第 7 页,共 13 页xlim x1xx11333f16例 3求曲线x33 y3axya3在点0 ,a处的切线方程；解：明显,点0 ,a在曲线上,现求切线的斜率,即y0,a曲线方程两边对x 求导：3x23y2y3ay3axy0解得yayx2y2axy0,a1 切线方程为： yax即yxa例 4、设fxex21xx0x0试争论f x在x0处的连续性及可导性；分析与解：由已知,f00；（1）争论f x在x0处的连续性；lim x0fxlim x0ex21x代换lim x0x20f0.xfx在x0处连续；（2）争论f x在x0处的可导性；分段函数在分段点的导数必需用定义求：f x0lim x 0

17、ex 210x0xlim x 0ex221代换lim x 0x21xx2即存在f 1.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四.练习题及参考答案1.单项挑选题.设ln12x2x001；xfx 1x0下面说法正确选项（）. A.f x在x0不连续；B. .f x在x0连续,但不行导；C. f x 在x0可导,且f0D. f x在x0可导,且f0. 2.填空题f x 在xfx处可导,且 0xfx01, 就（1）lim h 00_x0hfhh3.求函数的导数或微分：1yxx, 求 yyfln1x x1,求y,yylnfx21,求 dy. 4.设y3xcos xy

18、确定 y 是 x 的函数,求x是偶函数,dy dx,并求出函数在点 0,1 的切线方程；5、证明：（1）如fx是偶函数且可导,那么fx是奇函数,（2）如fx是奇函数且可导,那么答案： 1.D. 2. 23. .yx121lnx2.yx11fln1x；xyx12 1ffln1x.dyx2x1dx.x12ln1x14.dy31ysinxy ；dx2 yxsinxy 切线方程： 3yx3. 自我复习 :习题三 A 13； 21, ,；24. ,；25；26. , ; 27. ； 29. ,；47. , 54. 名师归纳总结 习题三 B 1 ；3；11. 第 8 页,共 13 页第四章中值定理与导数的

19、应用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一.本章重点求未定式极限的洛必达法就；应用导数判定函数的单调性,求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；二.复习要求1 知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论, 会求定理中的,把握拉格朗日定理推论的意义；2.娴熟把握用洛必达法就求未定式极限的方法；留意 : 洛必达法就只能直接用于求“0” 型或“” 型未定式的极限,对于其他类型的未定式极限,必需将其转化为“0” 型或“” 型未00定式才能使用法就；洛必达法就可以连续使用, 当再次使用法就时 , 肯定要检验法就的条件是否成立, 当条

20、件不满意时必需停止使用, 改用其他求极限的方法运算. 在求未定式极限时,将洛必达法就和等价无穷小代换等其它方法结合使用,可使运算更简便；3. 把握用一阶导数判定函数单调性的方法 , 并能利用函数的单调性证明不等式；4. 把握函数极值的概念及求函数极值方法 .5. 把握最值的概念及其与极值的关系 , 能娴熟求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值 . 如求最大总收入 , 最大总利润等 .6. 把握函数的凹向 , 拐点的概念及求曲线凹向 , 拐点的方法 .三.例题选解例 1. 求以下极限名师归纳总结 1. lim x 0exsinx2x12. lim x 0x 2sinx3. li

21、m x 011x第 9 页,共 13 页xln1xxln1解： 1 lim x 0exsinx2x10xln1x0evlnu,得：代换lim x 0x esinx2x1x2洛lim x 0excosx20 02x洛lim x 0exsinx不是未定式2=1. 22 原式为幂指型不定式（00型）,利用代数变换：uvlim x 0x2sinxlnxlim x 0e2sinxlnxx m02sinxe其中x lim 2sin0xlnx0lim x 02xlnx（代换）x lim02lnx（）1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 洛lim x 02x 1x 2

22、0lim 2 x 0 . 原式e 1x 03 lim 1 1 型 x 0 x ln1 x = lim x 0 ln1x ln1 x x x 通分化为 00 型 = lim ln1 x x（代换）x 0 x x11lim 1 x（洛必达）x 0 2 xlim x 0 2 x 1 xx 12 . x例 2.求函数 y 2 的单调区间和极值,凹凸区间和拐点；1 x解：函数 y x2 的定义域为 , 1 x2 2y 1 x 2 22 x x 1 x2 2,1 x 1 x 2 2 2 2 2 1 x 21 x 2 x 1 x y 2 41 x 2 x x 2 3；2 31 x 令 y 11 x 1x 2

23、 2 x 0,得驻点 x 1,x 1；无不行导点；两驻点分定义域为三个子区间,列表争论如下：令x x, 11 1,111,y2x30 0y微小极大2x330y1x得x0,x3,无 y不存在的点；曲线的凹向及拐点列表争论如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - x ,333,03 0 0,33 3,y- 0 + 0 -0 + y拐点拐点拐点由上面的争论看出：函数y1xx2的单减区间为,11,；3 3,0,3 单增区间为 1,1；微小值是y11,2极大值是y11；曲线yx的凸区间是 ,1x22凹区间是 3 , 03 ,

24、；3, 0,0 ,3；曲线y1xx2的拐点有三个：3,441x2xx0例 3.证明不等式1xln1x2分析与证：证明不等式的方法许多,利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一；这里用单调性来证明；即令fx1x ln1x1x2xx02就问题转化为证fx0f0即证在x0时,fx单减；x xx01fxln1x11ln1xxx0fx11x11xx0时,f 单减,有, 证毕；0fxf00fx也单减,有fxf例 4.证明：对任意x1,有11arctanx21arcsinx2分析：此题为恒等式的证明；我们设Fxarctanx21arcsinx由拉格朗日定理的推论,如能证明名师归纳总结 Fx0就1Fx

25、2c,再确定c2即可；2第 11 页,共 13 页证：当x1时,21x211Fx1xx11x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11122x1111x2x2x2x2x113120xx21xx2Fxc1F1arctan0arcsinc2,证毕！5x31在区间例 5 求出函数yx55x42,1上的最大、最小值；x1在闭区间5解：明显函数yx55x4 2,1上连续,因而必存在最大、最小值；y5x420x315x25x2x1x3x2,得到的总收益是Rx8x0.02x2,求诞生产该商品由y0,解得区间 1,2 内的可疑点为：x 10,x21. 比较以下函数值,f1

26、10,f01,f12,f27得fmax12 ,fmin110. 例 6. 某食品加工厂生产 x 单位的总成本为Cx2004x0.03x 单位的边际利润、生产300 单位时的边际利润,当生产多少单位时利润最大；解： .利润函数LxRxCx0.01x24x200边际利润函数Lx0.02x4. 也称为边际函数；. 当x300时,L3000.0230042.令Lx0.02x40解得：x2000.020,L200产量x200单位时,可获最大利润；注：设函数yfx可导,导函数f x 四.练习题与参考答案1. 求极限名师归纳总结 1 lim xx211cos1. lim x011xlim tan x 0x1

27、x第 12 页,共 13 页lnxxsin2. 证明. 当x时,有 : x1 lnx32x1x03 证明：cosx11 2x24 .求yx3x9单调区间和极值,凹凸区间和拐点；x29- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 证明当x0时,有：arctanxarctan1xC,并求出常数C. 参考答案：1. 1. 1； . 0； .e . ；2）.24. 单增区间 ,13,单减区间 1,1；极大值y114,微小值y318；（- 1 ） ； 拐点（1 , 上凹区间 （ 1 ）；下凹（凸）区间5. C2. 自我复习：名师归纳总结 习题四（A ）第 13 页,共 13 页8, 9. , , ,； 14. , , ； 18. ,； 19. ；20. , ； 32. ,； 37； 41 ；习题四（B ） 10；12. - - - - - - -