2022年外接球内切球专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法1.如棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,就该球的表面积为1,2,3. 2.一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为,就此球的表面积为. 3. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一9个球面上,且该六棱柱的体积为8 ,底面周长为,就这个球的体积为. 二、构造法名师归纳总结 4. 如三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,就其外接球的表面积是. 第 1 页,共 6 页5. 一个四周体的全部棱长都为2,四个顶点在同一球面上,就此球的表面积为（）A

2、. 3B. 4C. 3 3D. 66. 在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=600,E为AB的中点,将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,就三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）. A. 4 3B. 6C. 6D. 62728247. 已知球O的面上四点A 、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=3,就球O的体积等于. 8. 已 知 点A 、 B 、 C 、 D在 同 一 个 球 面 上 ,AB平面BCD,BCDC, 如AB6,AC=2 13,AD=8,就 B、C 两点间的球面距离是. - - - - - - -精选学习资料 - - - -

3、- - - - - 再练习1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,就该正三棱锥的体积是（）A3 3 B3 C3 D34 3 4 122. 直三棱柱 ABC A B C 1 的各顶点都在同一球面上,如AB AC AA 1 2 , BAC 120,就此球的表面积等于；3正三棱柱 ABC A B C 1 1 1 内接于半径为 2 的球,如 A B 两点的球面距离为,就正三棱柱的体积为4. 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,就此球的体积为A2 B1 C2 D2 23 3 3 35. 已知正方体外接球的体积是 32,那么正方体的棱长

4、等于（）3A.2 2 B. 2 3C.4 2D.4 33 3 36.（2006 山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A . 13 B. 13 C. 13 3 D. 19 7.（2022 宁夏卷）一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,就这个球的体积为88. （2007 天津）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,就此球的表面积为9.（2007 全国）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为2 cm 的球面上；假如正四 cm 2

5、. 名师归纳总结 10.（2006 辽宁）如图,半径为2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF,就此正六棱第 2 页,共 6 页锥的侧面积是 _P C D B A F E - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 棱长为 2 的正四周体的四个顶点都在同一个球面上,如过该球球心的一个截面如图,就图中三角形 正四周体的截面 的面积是 . ）12.一个几何体的三视图如右图所示,就该几何体外接球的表面积为（A3B2C16D以上都不对313.设正方体的棱长为2 3 3,就它的外接球的表面积为（）8 4A B 2 C4 D3 314（2022 新课标）已知三棱锥

6、 S ABC 的全部顶点都在球 O 的求面上 , ABC 是边长为 1的正三角形 , SC 为球 O 的直径 , 且 SC 2 ; 就此棱锥的体积为（）A2 B3 C2 D26 6 3 215（2022 辽宁文）已知点 P,A,B,C,D 是球 O表面上的点 ,PA平面 ABCD,四边形 ABCD是边长为 2 3 正方形 . 如 PA=2 6 , 就 OAB的面积为 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高考数学中的内切球和外接球问题答案：1.解析： 要求球的表面积,只要知道球的半径即可.由于正方体内接于球,所以它

7、的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,再运算半径 .故表面积为27. 2. 解析：关键是求出球的半径,由于长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径；长方体体对角线长为14,故球的表面积为14. 96 x3,x h1 , 23. 解析 : 设正六棱柱的底面边长为x,高为 h ,就有63 42 x h ,38正六棱柱的底面圆的半径r1,球心究竟面的距离d3.外接球的半径22Rr2d21.V球4. 34. 解析：此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球的半径 .而作为填空题,我们更想使用较为便利的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我

8、们很快联想到长方体的一个角,3立刻构造长方体, 且侧棱长均相等, 所以可构造正方体模型,如图 1,就AC=BC=CD,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求表面积是9.如图 1 EAAD名师归纳总结 B图 1 CDB图 2 C第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 解析：一般解法, 需设出球心, 作出高线, 构造直角三角形, 再运算球的半径 .在此,由于全部棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,再 寻 找 棱 长 相 等 的 四 面 体 , 如 图 2 , 四 面 体 A BDE 满

9、 足 条 件 , 即AB=AD=AE=BD=DE BE 2,由此可求得正方体的棱长为 1,体对角线为 3,从而外接球的直径也为 3,所以此球的表面积便可求得,应选 A. 如图 2 06. 解析：（如图 3） 由于 AE=EB=DC=1,DAB= CBE= DEA=60,所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥 P-DCE 为正四周体,至此,这与例 6 就完全相同了,应选 C. D C PA E B D CE图 3 7. 解析：此题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径 .而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于 DA 平面 ABC,AB BC,联想长方体中的相应线段关

10、系,构造如图 4 所示的长方体, 又由于 DA=AB=BC= 3,就此长方体为正方体,所以 CD长即为外接球的直径,利用直角三角形解出 CD=3 .故球 O 的体积等于 9.（如图 4）2DOA名师归纳总结 8. 解析：第一可联想到例B图 4 CAD为球的直径, O 为球心,第 5 页,共 6 页8,构造下面的长方体,于是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OB=OC=4为半径,要求 B、C 两点间的球面距离, 只要求出BOC即可,在Rt ABC中,求出BC=4,所以BOC=600,故 B、C 两点间的球面距离是4.（如图 5）3AOBCD图 5 再练习答案名师归纳总结 1. B120,可得BC2 3, 由正弦定理,可得第 6 页,共 6 页2. 解 : 在ABC中ABAC2,BACABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O,球心为O,在RT OBO中,易得球半径R5,故此球的表面积为4R220.a的正三角形, 所以由83 a22 3知,3.8 4. A【解析】此正八面体是每个面的边长均为4a1,就此球的直径为2,应选 A；9. 24 210. 6 75. D 6. C 7.48.14311.212. C13. C- - - - - - -