2022年任意角的三角函数教案设计对比.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载11、任意角的三角函数（1）一、教学内容分析三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型,有特别广泛的应用 . 直角三角形简洁朴实的边角关系, 以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义,紧紧扣住三角函数定义这个珍贵的源泉,自然地导出三角函数线、定义域、符号判定、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质； 三角函数定义必定是学好全章内容的关键,假如同学把握不好, 将直接影响到后续内容的学习, 由三角函数定义的基础性和应用的广泛性打算了本节 教材的重点就是定义本身 . 二、同学学习情形分析在中学同学学习过锐

2、角三角函数；因此本课的内容对于同学来说, 有比较厚实的基础, 新课的引入会比较简洁和顺畅；同学要面对的新的学习问题是,角的概念推广了,原先同学所熟识的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题,让同学体会到新学问的发生是可能的,自然的；三、设计思想教学中留意用新课程理念处理教材,采纳同学自主探究、 动手实践、 合作交流、阅读自学,师生互动,老师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导同学主体参加、揭示本质、经受过程 . 依据本节课内容、高一同学认知特点,本节课采纳“ 启示探究、讲练结合”的方法组织教学 .四、教学目标1把握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和

3、函数值在各象限的符号） ；2、懂得任意角的三角函数不同的定义方法；把握并能初步运用公式一；树立映射观点,正确懂得三角函数是以实数为自变量的函数 . 3、通过单位圆和角的终边 , 探讨任意角的三角函数值的求法 , 最终得到任意角三角函数的定义 . 依据角终边所在位置不同, 分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号. 借助有向线段进一步熟识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义,熟识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例,加深特殊与一般关系的懂得；5、通过三角函数的几何表示,使同学进一步加深对数形结合思想的懂得,拓展思维空间；通过同学积极参加学问的“ 发觉” 与“ 形成” 的过程,

4、培育合情推测的才能,从中感悟数学概念的严谨性与科学性；五、教学重点和难点名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载重点: 任意角的正弦、 余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号） ；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、 余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和 函数值在各象限的符号） ；六、教学过程设计 教学过程 一、复习引入、回想再认（情形 1）我们在中学通过锐角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想

5、：这三个三角函数分别是怎样规定的？同学口述后再投影展现,老师再依据投影进行强调：邻边对sin =对边,con =邻边,tan =对边边斜边斜边邻边二、引伸铺垫、创设情形（图 1）（情形 2）我们已经把锐角推广到了任意角,锐角的三角函数概念也能推广 到任意角吗？试试看,可以独立摸索和探究,也可以相互争论！留时间让同学独立摸索或自由争论, 老师参加争论或巡回对学困生作启示引 导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让同学回答 . 用角的对边、临边、斜边比值的说法明显是受到阻碍了,由于 1.1 节已经以直角坐标系为工具来争论任意角了, 同学一般会想到 （否就老师进行提示） 连续用直角坐标系来争论

6、 任意角的三角函数 . 老师对同学回答情形进行点评后布置任务情形：争论锐角三角函数定义！请同学们用直角坐标系重新师生共做（同学口述,老师板书图形和比值）：把锐角 安装（如何安装？角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴非负半轴重合）在直角坐标系中,在角 终边上任取一点 P,作 PMx 轴于 M,构造一个Rt OMP,就 MOP= （锐角）,设 P（x,y ）（x0、y0）, 的临边 OM =x、对边 MP=y,斜边长 |OP =r. 依据锐角三角函数定义用x、y、r 列出锐角 的正弦、余弦、正切三个比值,并补充对应列出三个倒数比值：y 名师归纳总结 O Px,y x sin =对边 斜边=y ,

7、con = r邻边 斜边=x , tan = r对边=y第 2 页,共 12 页邻边xM .=r.=r.=xyxy（图 2）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载P 在的终边上（情形 3）摸索：对于确定的角,这三个比值是否会随点的位置的转变而转变呢？明显,我们可以将点取在使线段OP 的长r1的特殊a的终边Px,yO y x 位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinMPb; cosOMa; OPOPtanMPb. OMa摸索：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 . 那么, 角的概念推广以后, 我们应当

8、如何对中学的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢？本节课就争论这个问题任意角的三角函数 . 先让同学想象摸索, 作出主观判定, 再用几何画板动画演示, 同时作好说明说明：引导同学观看图3,联系相像三角形学问,探究发觉：对于锐角 的每一个确定值,三个比值都是y P P确定的,不会随 P 在终边上的移动而变化 . O M M x （图 3）三、探究新知1. 探究 : 结合上述锐角的三角函数值的求法, 我们应如何求解任意角的三角函数值呢 . 明显, 我们只需在角的终边上找到一个点 , 使这个点到原点的距离为 1, 然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了 . 所以 , 我们在此引入单位圆的定义

9、 : 在直角坐标系中 , 我们称以原点 O 为圆心 , 以单位长度为半径的圆 . 名师归纳总结 2. 摸索 : 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义. 第 3 页,共 12 页如图, 设是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点P x y , 那么 : 1 y 叫做的正弦 sine,记做 sin, 即 siny ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2） x 叫做学习必备欢迎下载x；的余弦 cossine,记做 cos, 即 cos（3）y x叫做的正切 tangent,记做 tan, 即 tany x x0. 留意: 当 是锐角时, 此定义与中学定

10、义相同 （指出对边, 邻边,斜边所在）；当 不是锐角时,也能够找出三角函数,由于,既然有角,就必定有终边,终边就必定与单位圆有交点P x y ,从而就必定能够最终算出三角函数值. 四、探究定义域（情形 4）1、函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法就、定义域、值域 . 正弦函数 sin 的对应法就是什么？正弦函数 sin 的对应法就,实质上就是sin 的定义：对 的每一个确定的值,有唯独确定的比值y/r与之对应,即 y/r= sin . 2、布置任务情形：什么是三角函数的定义域？恳求出三个三角函数的定义域,填写下表：三角函数sin costan 定义域引导同学自主探究：假如没有特殊说明,

11、那么使解析式有意义的自变量的取值范畴叫做函数的定义域,三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角 的取值范畴 . 关于 sin =y/r 、 cos =x/r ,对于任意角 （弧度数）,r 0,y/r 、 x/r恒有意义,定义域都是实数集 R. 对于 tan =y/x , = k + /2 时 x=0,y/x 无意义,tan 的定义域是： | R,且 k + /2 . 、cos 、tan 的定义域必需紧扣三角函数定义在懂得的 老师指出 : sin 基础上记熟；五、符号判定、形象识记（情形 5）能判定三角函数值的正、负吗？试试看！引导同学紧紧抓住三角函数定义来分析,r 0, 三角函数值的符号打算

12、于x、y 值的正负,依据终边所在位置总结出形象的识记口诀：名师归纳总结 y x y x y x 第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载sin = y/r ：上正下负横为 0 cos =x/r ：左负右正纵为 0 tan =y/x ：交叉正负六、练习巩固、懂得记忆1、自学 例 1：求5 3的正弦、余弦和正切值；2、角 的终边经过点 P（ 3,-4 ）,求 的正弦,余弦及正切值 . 课堂练习：p17 题 1、2、3 处理：要求取点用定义求解,针对运算过程提问、点评,懂得巩固定义 . 强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角,如

13、0、 /2 、 、3 /2 等,今后常常用到轴线角的三角函数值,要结合三角函数定义记熟这些值 . 七、回忆小结、建构网络要求全体同学依据老师所提问题进行总结识记,提问检查并强调：1你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数详细是怎样定义的？（建立直角坐标系,使角的顶点与坐标原点重合,- ,在终边上任意取定一点 P,- ）2你如何判定和记忆正弦、 余弦、正切函数的定义域？ （依据定义,-）3你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（依据定义,想象坐标位置, -）设计意图：遗忘的规律是先快后慢, 回忆再现是记忆的重要途径, 在课堂内准时总结识记主要内容是上策 . 此处以问题形式

14、让同学自己归纳识记本节课的主体内容,抓住要害,人人参加,准时建构学问网络,优化学问结构,培育认知才能 . 八、布置课外作业1书面作业：习题 1.2 第 1、2 题. 2仔细阅读 p20“ 阅读与摸索：三角学与天文学”的重要作用；,明白三角学在天文学中名师归纳总结 12、任意角的三角函数（1）第 5 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、教学内容分析 ：本节课是三角函数这一章里最重要的一节课,它是本章的基础, 主要是从通过问题引导同学自主探究任意角的三角函数的生成过程,从而很好懂得任意角的 三角函数的定义；在课程标准中：

15、三角函数是基本初等函数,它是描述周期 现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用；课程标准仍要 求我们借助单位圆去懂得任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；在本模块中, 同学将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在 解决具有变化规律的问题中的作用；二、同学学习情形分析 我们的课堂教学常用“ 高起点、大容量、快推动” 的做法,忽视了学问的发生进展过程,以腾出更多的时间对同学加以反复的训练,无形增加了同学的负担,消灭了同学学习的爱好； 我们虽然刻意地去转变教学的方式,但仍太多旧时的痕迹,如为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影,失去新课程自然与单纯之味；如何让同学把对中

16、学锐角三角函数的定义及解直角三角形的学问迁移到学习 任意角的三角函数的定义中？一般高中数学课程标准 试验 解读中在三角函数的教学中, 老师应当关 注以下两点：第一、依据同学的生活体会,创设丰富的情境,例如单调弹簧振子,圆上一 点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使同学感受周期现象的广 泛存在,熟识周期现象的变化规律, 体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以 及三角函数模型的意义；其次、留意三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的 现象（周期振荡现象） ,解决一些实际问题,这也是课程标准在三角函内容 处理上的一个突出特点；依据课程标准 的指导思想, 任意角的三角函数的

17、教学应当帮忙同学解决 好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆懂得任意角三角函数的定义并熟识其定义域、函数值的符 号；三、设计理念：本节课通过多媒体信息技术展现摩天轮旋转及生成的图像,让同学感受到数 学来源于生活,数学应用于生活,激发同学们学习的乐趣；并通过问题的探究,体验“ 数学是过程的思想”,转变课程实施过程于强调接受学习,死记硬背,机械训练的现状,提倡同学主动参加,乐于探究,勤于动手,培育同学同学收集和名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载处理信息的才能, 获

18、得新学问的才能, 分析与解决问题的才能以及沟通合作的能 力；四、教学目标：1. 借助摩天轮的情形问题很好地融合中学对三角函数的定义,也能很好入在 直角坐标系中, 很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡,从通 从而很好懂得任意 过问题引导同学自主探究任意角的三角函数的生成过程,角的三角函数的定义；2. 从任意角的三角函数的定义熟识其定义域、函数值的符号；3. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简洁问题；五、教学重点和难点：1. 教学重点：任意角三角函数的定义. OPA2. 教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域详细设计如下：六、教学过程 第一部分情形引入 问题 1: 如图是一

19、个摩天轮, 假设它的中心离地面的高度为h ,它的直径为 2R,逆时针方向匀速转动,转动一周需要360图 1 秒,如现在你坐在座舱中, 从初始位置 OA动身（如图 1 所示）,过了 30 秒后,你离地面的高度h 为多少？过了 45 秒呢？过了 t 秒呢？【设计意图】：高中同学已经具有丰富的生活体会和肯定的科学学问,因此 挑选感爱好的、 与其生活实际亲密相关的素材, 此情形设计应当有助于同学对知 识的发生进展的懂得； 这个数学模型很好融合中学对三角函数的定交,也能放在 直角坐标系中, 很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡,揭示函数 的本质；其次部分复习回忆锐角三角函数 让同学自主摸索如何

20、解决问题： “ 过了 30 秒后,你离地面的高度为多少？”【分析】：作图如图 2 很简洁知道： 从起始位置 OA运动30 秒后到达 P点位置,由题意知AOP300,作 PH垂直OMPA地面交 OA于 M,又知 MHh ,所以本问题转变成求PH再次转变为求 PM；要求 PM就是回到中学所学的解直角三角形的问题即锐名师归纳总结 BN第 7 页,共 12 页图 2 H- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载角的三角函数；问题 2：锐角 的正弦函数如何定义？【同学自主探究】：同学很简洁得到sin|MP|MP|MP|Rsin|PH|h0RsinP|O

21、P|Rhh 0Rsin所以同学很自然得到“ 过了30 秒后,过了 45 秒,你离地面的高度 h 为多少？”hh 1h0Rsin300OaYOPAMXh2h 0Rsin450【老师总结】：0t 在锐角的范畴中,h 0Rsin t0M第三部分引入新课B问题 3：请问 t 的范畴呢？随着时间的推移,你离地面的高度 h 为多少？能不能猜想hh 0Rsin t0？【分析】：如想做到这一点,就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦；今日我们就要来学习任意角的三函数角函数；问题 4：如图建立直角坐标系, 设点PxPyP,能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角 弦、正切）？的正弦函数的定义吗？能否也定义其

22、它函数（余【同学自主探究】：sin|MP|y PPR|OP|cos|OM|xP,tan|MPy|OP|R|OM|xP问题 5：转变终边上的点的位置,这三个比值会转变吗？为什么？【分析】：先由同学回答疑题,老师再引导同学选几个点,运算比值,获得名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载详细熟识,并由相像三角形的性质证明；【设计意图】：让同学深刻懂得体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的转变而转变,只与角有关系；通过摩天轮的演示, 让同学感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义 一样；问题 6：大家依据第

23、一象限角的正弦函数的定义,能否也给出其次象限角的 定义呢？y【同学自主探究】：同学通过上面已知学问得到sin|MP|y PPOx|OP|R同学定义好其次象限角后,让同学自己算 出摩天轮座舱在第 150 秒时,离地面的高度 h ？h通过摩天轮知道：sin|MP|图 3h 0Rsin1500h 1h0Rsin300yP 在其次象限角是否 R由此得到：0 sin 15012【设计意图】：通过这个,让同学检验|OP|正确？问题 7：sin|MP 在第三象限角或第四象限能成立吗？OP |【设计意图】：让同学通过模型,检验定义是否正确,从中让同学自己发觉正、负符号的偏差；这与（可以让同学取t210,从而h

24、h 0Rsin2100,得到sin21001 ,发觉 2sin|MP|不相符,实际上是sin| MP ）OP |OP|【老师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范畴内如何运算自已此时离名师归纳总结 地面的高度,用数学模型hh0Rsin t0来表示,当摩天轮转动,角度的概念也第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载不知不觉地推广到任意角, 对于任意角的正弦不能只是依靠于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了,我更应当用点P 的横坐标来代替| MP 或| MP ,那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义；第三

25、部分给出任意角三角函数的定义如图 3, 已知点Px,y为角终边上的点,点 P 到顶点 O 的距离为 R,就siny（R ）Rcosx（R）Rtany（2k）x【分析】：让同学通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离；问题 8：当摩天轮的半径 R1 时,三角函数的定义会发生怎样的变化；【同学自主探究】：siny,cosx,tany；1 的点可以使x老师引导同学进行对比, 同学通过对比发觉取到原点的距离为表达式简化；老师进一步给出单位圆的定义给出以下表格,让同学自己补充完整；三角函数定义一：| OP|1定义二：|OP |R定义域ksinyyRR xxRcosR

26、 ytany2xx准时归纳总结有利同学对所学学问的巩固和把握；第三部分例题讲解例 1. （课本 P14例 2）已知角终边经过点P 03,4,求角的正弦、余弦和正切值；【分析】：让同学现学现卖,得用上面的定义二就可以得到答案；名师归纳总结 例 2. （课本 P14例 1）求5的正弦、余弦和正切值；第 10 页,共 12 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【同学自主探究】：让同学自己摸索并独立完成；然后与课本的解答相对比一下,发觉此题的难点；【老师讲解】：此题题意很简洁,但是如何入手 y却是难点,关键是对本节课的三角函数定义的要点有没

27、有领悟清晰（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离） ,因此此题的重点之处MPx是如何利用单位圆找到这个点P,如图 4 可以知道OPOM3,又点 P 在第四象限,得到P1,3,22这样就可以很简洁得到此题答案；图 4不妨让同学取R| OP|4,能否也得到点 P 的坐标,得到的三角函数值是否与单位圆的一样；这样可以让同学更深刻体验三角函数的定义；第四部分巩固练习练习 1. 例 2 变式求7的正弦、余弦和正切值；6练习 2. 问题 9：通过观看摩天轮的旋转, 三角函数的角的终边所在象限不同,请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号 究” ；.独立完成课本 P15的“ 探【设计意

28、图】：练习 1、练习 2 的设计与例 2、例 3 连接,主要目的是帮忙 同学巩固三角函数的本质特点, 引导同学从定义动身利用坐标平面内的点的坐标特点自主探究三角函数的有关问题的思想方法；思想方法；第五部分小结与作业 同学自我总结 作业： P23习题 1.2A 组 1,2,3 七、教学反思并在特殊情形中体会数形结合的上述教学设计及详细教学实施过程我认为有以下几点意义：1. 教学设计紧扣课程标准的要求,重点放在任意角的三角函数的懂得上；背景创设是同学熟识的摩天轮, 认知过程符合同学的认知特点和同学的身心进展 规律详细到抽象,现象到本质,特殊到一般,这样有利同学的摸索；名师归纳总结 - - - -

29、- - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 情形设计的数学模型很好地融合中学对三角函数的定义,也能很好引入 在直角坐标系中, 很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡,同时能 够揭示函数的本质；3. 通过问题引导同学自主探究任意角的三角函数的生成过程,让同学在情境中活动, 在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧学问的内在联系, 在体验中领悟数学的价值,它渗透了蕴涵在学问中的思想方法和争论性学习的策略,使同学在懂得数学的同时, 在思维才能、 情感态度与价值观等多方面得到进步和 进展；这和课程标准的理念是一样的；4. 标准把

30、进展同学的数学应用意识和创新意识作为其目标之一 , 在教 学中不仅要突出学问的来龙去脉仍要为同学创设应用实践的空间 , 促进同学在学习和实践过程中形成和进展数学应用意识, 提高同学的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的才能, 进展同学的数学应用意识和创新意识, 使其上升为一种数学意识 , 自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出摸索和判断；在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观看生活、 分析自然现象、 解决实际问题的策略 , 使同学熟识到数学原先就来自身边的现实世界, 是熟识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和才能；数学的信心；增进了他们对数学的懂得和应用名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页